p-Laplaciano

En matemáticas , el p -Laplaciano , u operador p -Laplace , es un operador diferencial parcial elíptico cuasilineal de segundo orden. Es una generalización no lineal del operador de Laplace , donde se permite que α alcance . Se escribe como ${\estilo de visualización p}$${\displaystyle 1<p<\infty}$

${\displaystyle \Delta _ {p}u:=div(|\nabla u|^{p-2}\nabla u).}$

Donde el se define como ${\displaystyle |\nabla u|^{p-2}}$

${\displaystyle \quad |\nabla u|^{p-2}=\left[\textstyle \left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)^{2}\right]^{\frac {p-2}{2}}}$

En el caso especial cuando , este operador se reduce al laplaciano habitual . ^[1] En general, las soluciones de ecuaciones que involucran el p -laplaciano no tienen derivadas de segundo orden en el sentido clásico, por lo que las soluciones de estas ecuaciones deben entenderse como soluciones débiles . Por ejemplo, decimos que una función u que pertenece al espacio de Sobolev es una solución débil de ${\estilo de visualización p=2}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega)}$

${\displaystyle \Delta _ {p}u=0{\mbox{ en }}\Omega }$

Si para cada función de prueba tenemos ${\displaystyle \varphi \en C_{0}^{\infty }(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }|\nabla u|^{p-2}\nabla u\cdot \nabla \varphi \,dx=0}$

donde denota el producto escalar estándar . ${\displaystyle \cdot }$

Solución débil de la ecuación p -Laplace con condiciones de contorno de Dirichlet

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta _{p}u=f&{\mbox{ in }}\Omega \\u=g&{\mbox{ on }}\partial \Omega \end{cases}}}$

En un dominio es el minimizador de la función energética.${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}}$

${\displaystyle J(u)={\frac {1}{p}}\,\int _{\Omega }|\nabla u|^{p}\,dx-\int _{\Omega }f\,u\,dx}$

entre todas las funciones en el espacio de Sobolev que satisfacen las condiciones de contorno en el sentido de la traza . ^[1] En el caso particular y es una bola de radio 1, la solución débil del problema anterior se puede calcular explícitamente y se da por ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$${\displaystyle f=1,g=0}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle u(x)=C\,\left(1-|x|^{\frac {p}{p-1}}\right)}$

donde es una constante adecuada que depende de la dimensión y de solo. Obsérvese que la solución no es dos veces diferenciable en el sentido clásico. ${\displaystyle C}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>2}$

• Laplaciano infinito

• Evans, Lawrence C. (1982). "Una nueva prueba de regularidad local C 1 , α {\displaystyle C^{1,\alpha }} para soluciones de ciertas EDP elípticas degeneradas" Journal of Differential Equations . 45 : 356–373. doi : 10.1016/0022-0396(82)90033-x . MR  0672713.
• Lewis, John L. (1977). "Funciones capacitivas en anillos convexos". Archivo de Mecánica Racional y Análisis . 66 (3): 201–224. Bibcode :1977ArRMA..66..201L. doi :10.1007/bf00250671. MR  0477094. S2CID  120469946.

• Ladyženskaja, OA ; Solonnikov, VA; Ural'ceva, NN (1968), Ecuaciones lineales y cuasi-lineales de tipo parabólico, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 23, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. XI+648, ISBN 9780821886533, MR  0241821, Zbl  0174.15403.
• Uhlenbeck, K. (1977). "Regularidad para una clase de sistemas elípticos no lineales". Acta Mathematica . 138 : 219–240. doi : 10.1007/bf02392316 . MR  0474389.
• Notas sobre la ecuación p-Laplace de Peter Lindqvist
• Juan Manfredi, Principio de comparación fuerte para funciones p-armónicas