función exponencial p -ádica

En matemáticas , particularmente en el análisis p -ádico , la función exponencial p -ádica es un análogo p -ádico de la función exponencial usual en los números complejos . Al igual que en el caso complejo, tiene una función inversa , denominada logaritmo p -ádico .

La función exponencial usual en${\displaystyle \mathbb {C} }$se define por la serie infinita

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

De forma totalmente análoga, se define la función exponencial en${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$, la finalización del cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, por

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Sin embargo, a diferencia de exp que converge en todos los${\displaystyle \mathbb {C} }$,${\displaystyle \exp _{p}}$solo converge en el disco

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

Esto se debe a que las series p -ádicas convergen si y solo si los sumandos tienden a cero, y dado que${\displaystyle n!}$en el denominador de cada sumando tiende a hacerlos grandes p -ádicamente, se necesita un valor pequeño de z en el numerador. De la fórmula de Legendre se deduce que si${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}}$entonces${\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}}$tiende a${\displaystyle 0}$, p -ádicamente.

Aunque la exponencial p -ádica a veces se denota${\displaystyle e^{x}}$El número e en sí mismo no tiene un análogo p -ádico. Esto se debe a que la serie de potencias${\displaystyle \exp _{p}(x)}$no converge en${\displaystyle x=1}$Es posible elegir un número${\displaystyle e}$ser una raíz p -ésima de${\displaystyle \exp _{p}(p)}$para${\displaystyle p\neq 2}$, ^{[ a ]} ​​pero existen múltiples raíces de este tipo y no hay una elección canónica entre ellas. ^{[ 1 ]}

La serie de poder

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

converge para${\displaystyle x}$en${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$satisfactorio${\displaystyle |x|_{p}<1}$y así define la función logaritmo p -ádica${\displaystyle \log _{p}(z)}$para${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$satisfaciendo la propiedad habitual${\displaystyle \log _{p}(zw)=\log _{p}(z)+\log _{p}(w)}$. La función${\displaystyle \log _{p}}$puede extenderse a todos${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  (el conjunto de elementos distintos de cero de${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$) imponiendo que continúe satisfaciendo esta última propiedad y estableciendo${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$. Específicamente, cada elemento${\displaystyle w}$de${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  se puede escribir como${\displaystyle w=p^{r}\cdot \zeta \cdot z}$con${\displaystyle r}$un número racional ,${\displaystyle \zeta }$una raíz de unidad y${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$, ^{[ 2 ]} en cuyo caso${\displaystyle \log _{p}(w)=\log _{p}(z)}$. ^{[ b ]} Esta función en${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  a veces se denominalogaritmo de Iwasawapara enfatizar la elección de${\displaystyle \log _{p}(p)=0}$De hecho, existe una extensión del logaritmo desde${\displaystyle |z-1|_{p}<1}$a todos${\displaystyle \mathbb {C} }$× p  para cada elección de${\displaystyle \log _{p}(p)}$en${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$ambos están en el radio de convergencia para${\displaystyle \exp _{p}}$, entonces su suma también lo es y tenemos la fórmula de suma habitual:${\displaystyle \exp _{p}(z+w)=\exp _{p}(z)\exp _{p}(w)}$.

De manera similar si${\displaystyle z}$y${\displaystyle w}$son elementos distintos de cero de${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$entonces${\displaystyle \log _{p}(zw)=\log _{p}(z)+\log _{p}(w)}$.

Para${\displaystyle z}$en el dominio de${\displaystyle \exp _{p}}$, tenemos${\displaystyle \exp _{p}(\log _{p}(1+z))=1+z}$y${\displaystyle \log _{p}(\exp _{p}(z))=z}$.

Las raíces del logaritmo de Iwasawa${\displaystyle \log _{p}(z)}$son exactamente los elementos de${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$de la forma${\displaystyle p^{r}\cdot \zeta }$dónde${\displaystyle r}$es un número racional y${\displaystyle \zeta }$es una raíz de unidad. ^{[ 4 ]}

Tenga en cuenta que no existe un análogo en${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$de la identidad de Euler ,${\displaystyle e^{2\pi i}=1}$Esto es un corolario del teorema de Strassmann .

Otra diferencia importante con respecto a la situación en${\displaystyle \mathbb {C} }$es que el dominio de convergencia de${\displaystyle \exp _{p}}$es mucho más pequeño que el de${\displaystyle \log _{p}}$En su lugar, se puede utilizar una función exponencial modificada —la exponencial de Artin-Hasse— que converge en${\displaystyle |z|_{p}<1}$.

• exponencial p-ádico y logaritmo p-ádico