Función L p -ádica

En matemáticas , una función zeta p -ádica , o más generalmente una función L p - ádica , es una función análoga a la función zeta de Riemann , o funciones L más generales , pero cuyo dominio y objetivo son p-ádicos (donde p es un número primo ). Por ejemplo, el dominio podría ser los enteros p -ádicos Z _p , un p- grupo profinito , o una familia p -ádica de representaciones de Galois , y la imagen podría ser los números p -ádicos Q _p o su clausura algebraica .

La fuente de una función L p -ádica tiende a ser de dos tipos. La primera fuente —a partir de la cual Tomio Kubota y Heinrich-Wolfgang Leopoldt dieron la primera construcción de una función L p -ádica ( Kubota y Leopoldt 1964 ) — es a través de la interpolación p -ádica de valores especiales de funciones L. Por ejemplo, Kubota-Leopoldt usaron las congruencias de Kummer para los números de Bernoulli para construir una función L p -ádica , la función zeta de Riemann p- ádica ζ _p ( s ), cuyos valores en enteros impares negativos son los de la función zeta de Riemann en enteros impares negativos (salvo un factor de corrección explícito). Las funciones L p -ádicas que surgen de esta manera se denominan típicamente funciones L p -ádicas analíticas . La otra fuente principal de funciones L p -ádicas —descubierta por primera vez por Kenkichi Iwasawa— proviene de la aritmética de los cuerpos ciclotómicos o, más generalmente, de ciertos módulos de Galois sobre torres de cuerpos ciclotómicos o incluso torres más generales. Una función L p -ádica que surge de esta manera se denomina típicamente función L p -ádica aritmética , ya que codifica datos aritméticos del módulo de Galois involucrado. La conjetura principal de la teoría de Iwasawa (ahora un teorema debido a Barry Mazur y Andrew Wiles ) es la afirmación de que la función L p -ádica de Kubota-Leopoldt y un análogo aritmético construido por la teoría de Iwasawa son esencialmente lo mismo. En situaciones más generales donde se construyen (o se esperan) funciones L p -ádicas tanto analíticas como aritméticas , la afirmación de que coinciden se denomina la conjetura principal de la teoría de Iwasawa para esa situación. Estas conjeturas representan afirmaciones formales sobre la filosofía de que los valores especiales de las funciones L contienen información aritmética.

La función L de Dirichlet viene dada por la continuación analítica de

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n}{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}}$

La función L de Dirichlet en enteros negativos viene dada por

${\displaystyle L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}}$

donde B _{n , χ} es un número de Bernoulli generalizado definido por

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}$

para χ un carácter de Dirichlet con conductor f .

La función L p -ádica de Kubota-Leopoldt L _p ( s , χ ) interpola la función L de Dirichlet sin el factor de Euler en p . Más precisamente, L _p ( s , χ ) es la única función continua del número p -ádico s tal que  

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi (p)p^{n-1}\right)L(1-n,\chi )}$

para enteros positivos n divisibles por p  −  1. El lado derecho es simplemente la función L de Dirichlet usual, excepto que se elimina el factor de Euler en p , de lo contrario no sería p -ádicamente continua. La continuidad del lado derecho está estrechamente relacionada con las congruencias de Kummer .

Cuando n no es divisible por p − 1, esto no suele ser cierto; en cambio  

${\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=\left(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1}\right)L\left(1-n,\chi \omega ^{-n}\right)}$

para enteros positivos n . Aquí χ se retuerce mediante una potencia del carácter de Teichmüller ω .

Las funciones L p -ádicas también pueden considerarse como medidas p -ádicas (o distribuciones p -ádicas ) en grupos de Galois p- profinitos. La traducción entre este punto de vista y el punto de vista original de Kubota-Leopoldt (como funciones Q _p -valuadas en Z _p ) se realiza a través de la transformada de Mazur-Mellin (y la teoría de cuerpos de clases ).

Deligne y Ribet (1980) , basándose en el trabajo previo de Serre (1973) , construyeron funciones L p -ádicas analíticas para cuerpos totalmente reales. De forma independiente, Barsky (1978) y Cassou-Noguès (1979) hicieron lo mismo, pero sus enfoques siguieron el método de Takuro Shintani para el estudio de los valores L.

• Barsky, Daniel (1978), "Fonctions zêta p -adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels" , en Amice, Y .; Barsky, D.; Robba, P. (eds.), Groupe d'Étude d'Analyse Ultramétrique (5 ^e años: 1977/78) , vol.  16, París: Secretariado Matemático, ISBN 978-2-85926-266-2, MR 0525346 
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), "Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p -adiques", Inventiones Mathematicae , 51 (1): 29– 59, Bibcode : 1979InMat..51...29C , doi : 10.1007/BF01389911 , ISSN 0020-9910 , SEÑOR 0524276  
• Coates, John (1989), "Sobre las funciones L p -ádicas " , Astérisque (177): 33–59 , ISSN 0303-1179 , MR 1040567  
• Colmez, Pierre (2004), Anillos de Fontaine y funciones L p -ádicas (PDF) , archivado del original (PDF) el 11 de marzo de 2012 , consultado el 12 de mayo de 2011.
• Deligne, Pierre ; Ribet, Kenneth A. (1980), "Valores de funciones L abelianas en enteros negativos sobre cuerpos totalmente reales", Inventiones Mathematicae , 59 (3): 227–286 , Bibcode : 1980InMat..59..227D , doi : 10.1007/BF01453237 , ISSN 0020-9910 , MR 0579702  
• Iwasawa, Kenkichi (1969), "Sobre las funciones L p -ádicas ", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 89 (1), Annals of Mathematics: 198–205 , doi : 10.2307/1970817 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970817 , MR 0269627   
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Lecciones sobre funciones L p -ádicas , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526 
• Katz, Nicholas M. (1975), " Funciones L p - ádicas mediante módulos de curvas elípticas", Geometría algebraica , Actas del Simposio de Matemáticas Puras, vol. 29, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 479–506 , MR 0432649   
• Koblitz, Neal (1984),Números p -ádicos, análisis p -ádico y funciones zeta , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  58, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96017-3, MR 0754003 
• Kubota, Tomio ; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), "Eine p -adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p -adischen Dirichletschen L -Funktionen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 214/215: 328– 339, doi : 10.1515/crll.1964.214-215.328 , ISSN 0075-4102 , SEÑOR 0163900  
• Serre, Jean-Pierre (1973), "Formes modulaires et fonctions zêta p -adiques", en Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre (eds.), Funciones modulares de una variable, III (Actas de la Escuela Internacional de Verano, Universidad de Amberes, 1972) , Lecture Notes in Math, vol.  350, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 191–268 , doi : 10.1007/978-3-540-37802-0_4 , ISBN  978-3-540-06483-1, MR 0404145