Algoritmo de generación de grupos P

En matemáticas, específicamente en teoría de grupos , grupos finitos de orden potencia de un número primo${\displaystyle p^{n}}$, para un número primo fijo${\displaystyle p}$y exponentes enteros variables${\displaystyle n\geq 0}$, se denominan brevemente p-grupos finitos .

El algoritmo de generación de p -grupos de MF Newman ^{[ 1 ]} y EA O'Brien ^{[ 2 ] [ 3 ]} es un proceso recursivo para construir el árbol descendiente de un p -grupo finito asignado que se toma como la raíz del árbol.

Para un p -grupo finito${\displaystyle G}$, la serie central de exponente p inferior (brevemente serie central p inferior ) de${\displaystyle G}$ es una serie descendente${\displaystyle (P_{j}(G))_{j\geq 0}}$de subgrupos característicos de${\displaystyle G}$, definido recursivamente por

${\displaystyle (1)\qquad P_{0}(G):=G}$y${\displaystyle P_{j}(G):=\lbrack P_{j-1}(G),G\rbrack \cdot P_{j-1}(G)^{p}}$, para${\displaystyle j\geq 1}$.

Dado que cualquier p -grupo finito no trivial${\displaystyle G>1}$es nilpotente, existe un entero${\displaystyle c\geq 1}$de tal manera que${\displaystyle P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1}$ y${\displaystyle \mathrm {cl} _ {p}(G):=c}$se denomina clase exponente- p (brevemente clase p ) de${\displaystyle G}$. Solo el grupo trivial${\displaystyle 1}$tiene${\displaystyle \mathrm {cl} _ {p}(1)=0}$En general, para cualquier p -grupo finito${\displaystyle G}$, su clase p puede definirse como${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G):=\min \lbrace c\geq 0\mid P_{c}(G)=1\rbrace }$.

La serie p inferior completa -central de${\displaystyle G}$por lo tanto, está dado por

${\displaystyle (2)\qquad G=P_{0}(G)>\Phi (G)=P_{1}(G)>P_{2}(G)>\cdots >P_{c-1}(G)>P_{c}(G)=1}$,

desde${\displaystyle P_{1}(G)=\lbrack P_{0}(G),G\rbrack \cdot P_{0}(G)^{p}=\lbrack G,G\rbrack \cdot G^{p}=\Phi (G)}$es el subgrupo Frattini de${\displaystyle G}$.

Para comodidad del lector y para señalar la numeración desplazada, recordamos que la serie central inferior (habitual) de${\displaystyle G}$También es una serie descendente${\displaystyle (\gamma _ {j}(G))_{j\geq 1}}$de subgrupos característicos de${\displaystyle G}$, definido recursivamente por

${\displaystyle (3)\qquad \gamma _{1}(G):=G}$y${\displaystyle \gamma _{j}(G):=\lbrack \gamma _{j-1}(G),G\rbrack }$, para${\displaystyle j\geq 2}$.

Como se indicó anteriormente, para cualquier p- grupo finito no trivial${\displaystyle G>1}$, existe un número entero${\displaystyle c\geq 1}$de tal manera que${\displaystyle \gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1}$ y${\displaystyle \mathrm {cl} (G):=c}$se denomina la clase de nilpotencia de${\displaystyle G}$, mientras${\displaystyle c+1}$se denomina índice de nilpotencia de${\displaystyle G}$. Solo el grupo trivial${\displaystyle 1}$tiene${\displaystyle \mathrm {cl} (1)=0}$.

La serie central inferior completa de${\displaystyle G}$es dado por

${\displaystyle (4)\qquad G=\gamma _{1}(G)>G^{\prime }=\gamma _{2}(G)>\gamma _{3}(G)>\cdots >\gamma _{c}(G)>\gamma _{c+1}(G)=1}$,

desde${\displaystyle \gamma _{2}(G)=\lbrack \gamma _{1}(G),G\rbrack =\lbrack G,G\rbrack =G^{\prime }}$es el subgrupo conmutador o subgrupo derivado de${\displaystyle G}$.

Para la clase exponente p, se deben recordar las siguientes reglas :

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​un p -grupo finito.

R

1. Regla:${\displaystyle \mathrm {cl} (G)\leq \mathrm {cl} _ {p}(G)}$, ya que el${\displaystyle \gamma _ {j}(G)}$descienden más rápidamente que el${\displaystyle P_{j}(G)}$.
2. Regla: Si${\displaystyle \vartheta \in \mathrm {Hom} (G,{\tilde {G}})}$, para algún grupo${\displaystyle {\tilde {G}}}$, entonces${\displaystyle \vartheta (P_{j}(G))=P_{j}(\vartheta (G))}$, para cualquier${\displaystyle j\geq 0}$.
3. Regla: Para cualquier${\displaystyle c\geq 0}$las condiciones${\displaystyle N\triangleleft G}$y${\displaystyle \mathrm {cl} _ {p}(G/N)=c}$implicar${\displaystyle P_{c}(G)\leq N}$.
4. Regla: Deje${\displaystyle c\geq 0}$. Si${\displaystyle \mathrm {cl} _ {p}(G)=c}$, entonces${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=\min(k,c)}$, para todos${\displaystyle k\geq 0}$, En particular,${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G/P_{k}(G))=k}$, para todos${\displaystyle 0\leq k\leq c}$.

El padre${\displaystyle \pi (G)}$de un p -grupo finito no trivial${\displaystyle G>1}$con exponente- clase p${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1}$ se define como el cociente${\displaystyle \pi (G):=G/P_{c-1}(G)}$de${\displaystyle G}$por el último término no trivial${\displaystyle P_{c-1}(G)>1}$de la serie central de exponente inferior- p de${\displaystyle G}$. Por el contrario, en este caso,${\displaystyle G}$se le llama descendiente inmediato de${\displaystyle \pi (G)}$. Las clases p del padre y del descendiente inmediato están conectadas por${\displaystyle \mathrm {cl} _ {p}(G)=\mathrm {cl} _ {p}(\pi (G))+1}$.

Un árbol descendiente es una estructura jerárquica para visualizar las relaciones padre-descendiente entre clases de isomorfismo de p- grupos finitos . Los vértices de un árbol descendiente son clases de isomorfismo de p- grupos finitos. Sin embargo, un vértice siempre se etiquetará seleccionando un representante de la clase de isomorfismo correspondiente. Siempre que un vértice${\displaystyle \pi (G)}$es el padre de un vértice${\displaystyle G}$ una arista dirigida del árbol descendiente se define por${\displaystyle G\to \pi (G)}$ en la dirección de la proyección canónica${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$sobre el cociente${\displaystyle \pi (G)=G/P_{c-1}(G)}$.

En un árbol descendiente, los conceptos de padres y descendientes inmediatos pueden generalizarse. Un vértice${\displaystyle R}$es descendiente de un vértice${\displaystyle P}$, y${\displaystyle P}$es un antepasado de${\displaystyle R}$, si alguno${\displaystyle R}$es igual a${\displaystyle P}$ o hay un camino

${\displaystyle (5)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, dónde${\displaystyle m\geq 1}$,

de bordes dirigidos desde${\displaystyle R}$a${\displaystyle P}$Los vértices que forman el camino coinciden necesariamente con los padres iterados .${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$de${\displaystyle R}$, con${\displaystyle 0\leq j\leq m}$:

${\displaystyle (6)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, dónde${\displaystyle m\geq 1}$.

También pueden considerarse como cocientes sucesivos.${\displaystyle Q_{j}=R/P_{c-j}(R)}$de clase p${\displaystyle c-j}$de${\displaystyle R}$ cuando la clase p de${\displaystyle R}$es dado por${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(R)=c\geq m}$:

${\displaystyle (7)\qquad R\simeq R/P_{c}(R)\to R/P_{c-1}(R)\to \cdots \to R/P_{c+1-m}(R)\to R/P_{c-m}(R)\simeq P}$, dónde${\displaystyle c\geq m\geq 1}$.

En particular, todo p - grupo finito no trivial${\displaystyle G>1}$define un camino máximo (que consta de${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$bordes)

${\displaystyle (8)\qquad G\simeq G/1=G/P_{c}(G)\to \pi (G)=G/P_{c-1}(G)\to \pi ^{2}(G)=G/P_{c-2}(G)\to \cdots }$

${\displaystyle \cdots \to \pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\to \pi ^{c}(G)=G/P_{0}(G)=G/G\simeq 1}$

terminando en el grupo trivial${\displaystyle \pi ^{c}(G)=1}$. El penúltimo cociente del camino máximo de${\displaystyle G}$es el grupo p abeliano elemental${\displaystyle \pi ^{c-1}(G)=G/P_{1}(G)\simeq C_{p}^{d}}$de rango${\displaystyle d=d(G)}$, dónde${\displaystyle d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$denota el rango del generador de${\displaystyle G}$.

Generalmente, el árbol descendiente${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$de un vértice${\displaystyle G}$es el subárbol de todos los descendientes de${\displaystyle G}$, comenzando por la raíz${\displaystyle G}$El árbol descendiente máximo posible${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$del grupo trivial${\displaystyle 1}$contiene todos los p -grupos finitos y es excepcional, ya que el grupo trivial${\displaystyle 1}$tiene todos los infinitos grupos p abelianos elementales con rango de generador variable${\displaystyle d\geq 1}$como sus descendientes inmediatos. Sin embargo, cualquier p- grupo finito no trivial (de orden divisible por${\displaystyle p}$) posee solo un número finito de descendientes inmediatos.

Dejar${\displaystyle G}$sea ​​un p -grupo finito con${\displaystyle d}$generadores . Nuestro objetivo es compilar una lista completa de descendientes inmediatos no isomorfos por pares de${\displaystyle G}$Resulta que todos los descendientes inmediatos pueden obtenerse como cocientes de una cierta extensión.${\displaystyle G^{\ast }}$de${\displaystyle G}$ que se denomina grupo de recubrimiento p de${\displaystyle G}$y se puede construir de la siguiente manera.

Ciertamente podemos encontrar una presentación de${\displaystyle G}$en forma de una secuencia exacta

${\displaystyle (9)\qquad 1\longrightarrow R\longrightarrow F\longrightarrow G\longrightarrow 1}$,

dónde${\displaystyle F}$denota el grupo libre con${\displaystyle d}$generadores y${\displaystyle \vartheta$ :\ F\longrightarrow G} es un epimorfismo con núcleo${\displaystyle R:=\ker(\vartheta )}$. Entonces${\displaystyle R\triangleleft F}$es un subgrupo normal de${\displaystyle F}$que consiste en las relaciones definitorias para${\displaystyle G\simeq F/R}$. Para elementos${\displaystyle r\in R}$y${\displaystyle f\in F}$, el conjugado${\displaystyle f^{-1}rf\in R}$y por lo tanto también el conmutador${\displaystyle \lbrack r,f\rbrack =r^{-1}f^{-1}rf\in R}$están contenidos en${\displaystyle R}$. Como consecuencia,${\displaystyle R^{\ast }:=\lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}}$es un subgrupo característico de${\displaystyle R}$y el multiplicador p${\displaystyle R/R^{\ast }}$de${\displaystyle G}$es un p -grupo abeliano elemental, ya que

${\displaystyle (10)\qquad \lbrack R,R\rbrack \cdot R^{p}\leq \lbrack R,F\rbrack \cdot R^{p}=R^{\ast }}$.

Ahora podemos definir el grupo de p -recubrimiento de${\displaystyle G}$por

${\displaystyle (11)\qquad G^{\ast }:=F/R^{\ast }}$,

y la secuencia exacta

${\displaystyle (12)\qquad 1\longrightarrow R/R^{\ast }\longrightarrow F/R^{\ast }\longrightarrow F/R\longrightarrow 1}$

muestra que${\displaystyle G^{\ast }}$es una extensión de${\displaystyle G}$por el p -multiplicador abeliano elemental. Lo llamamos

${\displaystyle (13)\qquad \mu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(R/R^{\ast })}$

el rango del multiplicador p de${\displaystyle G}$.

Supongamos ahora que el p -grupo finito asignado${\displaystyle G\simeq F/R}$es de clase p${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c}$Entonces las condiciones${\displaystyle R\triangleleft F}$y${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(F/R)=c}$implicar${\displaystyle P_{c}(F)\leq R}$, según la regla (R3), y podemos definir el núcleo de${\displaystyle G}$por

${\displaystyle (14)\qquad P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$

como un subgrupo del p -multiplicador. En consecuencia, el rango nuclear

${\displaystyle (15)\qquad \nu (G):=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(P_{c}(G^{\ast }))\leq \mu (G)}$

de${\displaystyle G}$está acotado superiormente por el rango del multiplicador p .

Como antes, dejemos${\displaystyle G}$sea ​​un p -grupo finito con${\displaystyle d}$generadores .

Proposición. Cualquier extensión central abeliana p -elemental

${\displaystyle (16)\qquad 1\to Z\to H\to G\to 1}$

de${\displaystyle G}$ por un subgrupo abeliano p -elemental${\displaystyle Z\leq \zeta _{1}(H)}$de tal manera que${\displaystyle d(H)=d(G)=d}$ es un cociente del grupo de recubrimiento p${\displaystyle G^{\ast }}$de${\displaystyle G}$.

Para ver la prueba, haga clic en " mostrar" en el lado derecho.

En particular, un descendiente directo${\displaystyle H}$de${\displaystyle G}$es una extensión central abeliana p -elemental

${\displaystyle (17)\qquad 1\to P_{c-1}(H)\to H\to G\to 1}$

de${\displaystyle G}$, desde

${\displaystyle 1=P_{c}(H)=\lbrack P_{c-1}(H),H\rbrack \cdot P_{c-1}(H)^{p}}$implica${\displaystyle P_{c-1}(H)^{p}=1}$y${\displaystyle P_{c-1}(H)\leq \zeta _{1}(H)}$,

dónde${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(H)}$.

Definición. Un subgrupo${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$del p -multiplicador de${\displaystyle G}$Se considera admisible si lo proporciona el kernel.${\displaystyle M/R^{\ast }=\ker(\psi ^{\ast })}$de un epimorfismo${\displaystyle \psi ^{\ast }:\ G^{\ast }\to H}$ sobre un descendiente inmediato${\displaystyle H}$de${\displaystyle G}$.

Una caracterización equivalente es que${\displaystyle 1<M/R^{\ast }<R/R^{\ast }}$es un subgrupo propio que complementa el núcleo

${\displaystyle (18)\qquad (M/R^{\ast })\cdot (P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast })=R/R^{\ast }}$.

Por lo tanto, la primera parte de nuestro objetivo es compilar una lista de todos los descendientes inmediatos de${\displaystyle G}$se hace cuando hemos construido todos los subgrupos permitidos de${\displaystyle R/R^{\ast }}$que complementan el núcleo${\displaystyle P_{c}(G^{\ast })=P_{c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }}$, dónde${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$Sin embargo, en general la lista

${\displaystyle (19)\qquad \lbrace F/M\quad \mid \quad M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }{\text{ is allowable }}\rbrace }$,

dónde${\displaystyle G^{\ast }/(M/R^{\ast })=(F/R^{\ast })/(M/R^{\ast })\simeq F/M}$, será redundante, debido a isomorfismos${\displaystyle F/M_{1}\simeq F/M_{2}}$entre los descendientes inmediatos.

Dos subgrupos permitidos${\displaystyle M_{1}/R^{\ast }}$y${\displaystyle M_{2}/R^{\ast }}$se denominan equivalentes si los cocientes${\displaystyle F/M_{1}\simeq F/M_{2}}$, que son los descendientes inmediatos correspondientes de${\displaystyle G}$son isomorfos.

Tal isomorfismo${\displaystyle \varphi$ :\ F/M_{1}\to F/M_{2}} entre descendientes inmediatos de${\displaystyle G=F/R}$con${\displaystyle c=\mathrm {cl} _{p}(G)}$tiene la propiedad de que ${\displaystyle \varphi (R/M_{1})=\varphi (P_{c}(F/M_{1}))=P_{c}(\varphi (F/M_{1}))=P_{c}(F/M_{2})=R/M_{2}}$ y por lo tanto induce un automorfismo${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Aut} (G)}$de${\displaystyle G}$ que puede extenderse a un automorfismo${\displaystyle \alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })}$del grupo de recubrimiento p${\displaystyle G^{\ast }=F/R^{\ast }}$de${\displaystyle G}$. La restricción de este automorfismo extendido${\displaystyle \alpha ^{\ast }}$al multiplicador p${\displaystyle R/R^{\ast }}$de${\displaystyle G}$está determinado de forma única por${\displaystyle \alpha }$.

Desde${\displaystyle \alpha ^{\ast }(M/R^{\ast })\cdot P_{c}(F/R^{\ast })=\alpha ^{\ast }\lbrack M/R^{\ast }\cdot P_{c}(F/R^{\ast })\rbrack =\alpha ^{\ast }(R/R^{\ast })=R/R^{\ast }}$, cada automorfismo extendido${\displaystyle \alpha ^{\ast }\in \mathrm {Aut} (G^{\ast })}$induce una permutación${\displaystyle \alpha ^{\prime }}$de los subgrupos permitidos${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$. Definimos${\displaystyle P:=\langle \alpha ^{\prime }\mid \alpha \in \mathrm {Aut} (G)\rangle }$ser el grupo de permutaciones generado por todas las permutaciones inducidas por automorfismos de${\displaystyle G}$. Luego el mapa${\displaystyle \mathrm {Aut} (G)\to P}$,${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\prime }}$es un epimorfismo y las clases de equivalencia de subgrupos permitidos${\displaystyle M/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$son precisamente las órbitas de los subgrupos permitidos bajo la acción del grupo de permutación.${\displaystyle P}$.

Finalmente, nuestro objetivo es recopilar una lista.${\displaystyle \lbrace F/M_{i}\mid 1\leq i\leq N\rbrace }$de todos los descendientes inmediatos de${\displaystyle G}$Se hará cuando seleccionemos un representante.${\displaystyle M_{i}/R^{\ast }}$para cada uno de los${\displaystyle N}$órbitas de subgrupos permitidos de${\displaystyle R/R^{\ast }}$bajo la acción de${\displaystyle P}$Esto es precisamente lo que hace el algoritmo de generación de grupos p en un solo paso del procedimiento recursivo para construir el árbol descendiente de una raíz asignada.

Un p -grupo finito${\displaystyle G}$Se denomina capaz (o extensible ) si posee al menos un descendiente inmediato; de lo contrario, es terminal (o una hoja ). El rango nuclear${\displaystyle \nu (G)}$de${\displaystyle G}$admite una decisión sobre la capacidad de${\displaystyle G}$:

• ${\displaystyle G}$es terminal si y solo si${\displaystyle \nu (G)=0}$.
• ${\displaystyle G}$es capaz si y solo si${\displaystyle \nu (G)\geq 1}$.

En el caso de capacidad,${\displaystyle G=F/R}$tiene descendientes inmediatos de${\displaystyle \nu =\nu (G)}$diferentes tamaños de paso${\displaystyle 1\leq s\leq \nu }$, en función del índice${\displaystyle (R/R^{\ast }:M/R^{\ast })=p^{s}}$del subgrupo permitido correspondiente${\displaystyle M/R^{\ast }}$en el multiplicador p${\displaystyle R/R^{\ast }}$. Cuando${\displaystyle G}$está de orden${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$, entonces un descendiente inmediato del tamaño del paso${\displaystyle s}$está de orden${\displaystyle \#(F/M)=(F/R^{\ast }:M/R^{\ast })=(F/R^{\ast }:R/R^{\ast })\cdot (R/R^{\ast }:M/R^{\ast })}$${\displaystyle =\#(F/R)\cdot p^{s}=\vert G\vert \cdot p^{s}=p^{n}\cdot p^{s}=p^{n+s}}$.

Para el fenómeno relacionado de multifurcación de un árbol descendiente en un vértice${\displaystyle G}$con rango nuclear${\displaystyle \nu (G)\geq 2}$Consulte el artículo sobre árboles genealógicos descendientes .

El algoritmo de generación de grupos p proporciona la flexibilidad de restringir la construcción de descendientes inmediatos a aquellos de un único tamaño de paso fijo.${\displaystyle 1\leq s\leq \nu }$, lo cual es muy conveniente en el caso de un gran número de descendientes (véase la siguiente sección).

Denotamos el número de todos los descendientes inmediatos , respectivamente, descendientes inmediatos de tamaño de paso${\displaystyle s}$, de${\displaystyle G}$por${\displaystyle N}$, respectivamente.${\displaystyle N_{s}}$. Entonces tenemos${\displaystyle N=\sum _{s=1}^{\nu }\,N_{s}}$. Como ejemplos concretos, presentamos algunos p -grupos metabelianos finitos interesantes con conjuntos extensos de descendientes inmediatos, utilizando los identificadores SmallGroups y señalando además los números${\displaystyle 0\leq C_{s}\leq N_{s}}$de descendientes inmediatos capaces en el formato habitual${\displaystyle (N_{1}/C_{1};\ldots ;N_{\nu }/C_{\nu })}$según lo demuestran las implementaciones reales del algoritmo de generación de grupos p en los sistemas de álgebra computacional GAP y MAGMA.

Primero, dejemos${\displaystyle p=3}$.

Comenzamos con grupos que tienen abelianización de tipo${\displaystyle (3,3)}$Véase la figura 4 en el artículo sobre árboles descendientes .

• El grupo${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$de coclase${\displaystyle 1}$tiene rangos${\displaystyle \nu =2}$,${\displaystyle \mu =4}$y números de descendientes${\displaystyle (4/1;7/5)}$,${\displaystyle N=11}$.
• El grupo${\displaystyle \langle 243,3\rangle =\langle 27,3\rangle -\#2;1}$de coclase${\displaystyle 2}$tiene rangos${\displaystyle \nu =2}$,${\displaystyle \mu =4}$y números de descendientes${\displaystyle (10/6;15/15)}$,${\displaystyle N=25}$.
• Uno de sus descendientes inmediatos, el grupo${\displaystyle \langle 729,40\rangle =\langle 243,3\rangle -\#1;7}$, tiene rangos${\displaystyle \nu =2}$,${\displaystyle \mu =5}$y números de descendientes${\displaystyle (16/2;27/4)}$,${\displaystyle N=43}$.

En contraste, los grupos con abelianización de tipo${\displaystyle (3,3,3)}$están parcialmente ubicados más allá del límite de la computabilidad.

• El grupo${\displaystyle \langle 81,12\rangle }$de coclase${\displaystyle 2}$tiene rangos${\displaystyle \nu =2}$,${\displaystyle \mu =7}$y números de descendientes${\displaystyle (10/2;100/50)}$,${\displaystyle N=110}$.
• El grupo${\displaystyle \langle 243,37\rangle }$de coclase${\displaystyle 3}$tiene rangos${\displaystyle \nu =5}$,${\displaystyle \mu =9}$y números de descendientes${\displaystyle (35/3;2783/186;81711/10202;350652/202266;\ldots )}$,${\displaystyle N>4\cdot 10^{5}}$desconocido.
• El grupo${\displaystyle \langle 729,122\rangle }$de coclase${\displaystyle 4}$tiene rangos${\displaystyle \nu =8}$,${\displaystyle \mu =11}$y números de descendientes${\displaystyle (45/3;117919/1377;\ldots )}$,${\displaystyle N>10^{5}}$desconocido.

A continuación, dejemos${\displaystyle p=5}$.

Grupos correspondientes con abelianización de tipo${\displaystyle (5,5)}$tienen un mayor número de descendientes que para${\displaystyle p=3}$.

• El grupo${\displaystyle \langle 125,3\rangle }$de coclase${\displaystyle 1}$tiene rangos${\displaystyle \nu =2}$,${\displaystyle \mu =4}$y números de descendientes${\displaystyle (4/1;12/6)}$,${\displaystyle N=16}$.
• El grupo${\displaystyle \langle 3125,3\rangle =\langle 125,3\rangle -\#2;1}$de coclase${\displaystyle 2}$tiene rangos${\displaystyle \nu =3}$,${\displaystyle \mu =5}$y números de descendientes${\displaystyle (8/3;61/61;47/47)}$,${\displaystyle N=116}$.

Mediante el isomorfismo${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to \mu _{\infty }}$,${\displaystyle {\frac {n}{d}}\mapsto \exp \left({\frac {n}{d}}\cdot 2\pi i\right)}$ el grupo cociente${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\left\lbrace {\frac {n}{d}}\cdot \mathbb {Z} \mid d\geq 1,\ 0\leq n\leq d-1\right\rbrace }$ puede considerarse como el análogo aditivo del grupo multiplicativo${\displaystyle \mu _{\infty }=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid z^{d}=1{\text{ for some integer }}d\geq 1\rbrace }$de todas las raíces de la unidad .

Dejar${\displaystyle p}$ser un número primo y${\displaystyle G}$ser un p -grupo finito con presentación${\displaystyle G=F/R}$como en la sección anterior. Luego el segundo grupo de cohomología${\displaystyle M(G):=H^{2}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )}$del${\displaystyle G}$-módulo${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ se denomina multiplicador de Schur de${\displaystyle G}$También puede interpretarse como el grupo cociente.${\displaystyle M(G)=(R\cap \lbrack F,F\rbrack )/\lbrack F,R\rbrack }$.

IR Shafarevich ^{[ 4 ]} ha demostrado que la diferencia entre la relación rango${\displaystyle r(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$de${\displaystyle G}$ y el rango del generador${\displaystyle d(G)=\dim _{\mathbb {F} _{p}}(H^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$de${\displaystyle G}$viene dado por el número mínimo de generadores del multiplicador de Schur de${\displaystyle G}$, eso es${\displaystyle r(G)-d(G)=d(M(G))}$.

N. Boston y H. Nover ^{[ 5 ]} han demostrado que${\displaystyle \mu (G_{j})-\nu (G_{j})\leq r(G)}$, para todos los cocientes${\displaystyle G_{j}:=G/P_{j}(G)}$de clase p${\displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G_{j})=j}$,${\displaystyle j\geq 0}$, de un grupo pro- p${\displaystyle G}$con abelianización finita${\displaystyle G/G^{\prime }}$.

Además, J. Blackhurst (en el apéndice Sobre el núcleo de ciertos p-grupos de un artículo de N. Boston, MR Bush y F. Hajir ^{[ 6 ]} ) ha demostrado que un p -grupo finito no cíclico${\displaystyle G}$con multiplicador de Schur trivial${\displaystyle M(G)}$ es un vértice terminal en el árbol descendiente${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$del grupo trivial${\displaystyle 1}$, eso es,${\displaystyle M(G)=1}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \nu (G)=0}$.