Propiedad local

En matemáticas , se dice que un objeto matemático satisface una propiedad localmente si dicha propiedad se satisface en algunas porciones limitadas e inmediatas del objeto (por ejemplo, en algunos entornos de puntos suficientemente pequeños o arbitrariamente pequeños ).

Quizás el ejemplo más conocido de la idea de localidad reside en el concepto de mínimo local (o máximo local ), que es un punto en una función cuyo valor funcional es el más pequeño (respectivamente, el más grande) dentro de una vecindad inmediata de puntos. ^{[ 1 ]} Esto contrasta con la idea de mínimo global (o máximo global), que corresponde al mínimo (respectivamente, al máximo) de la función en todo su dominio. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Se dice a veces que un espacio topológico exhibe una propiedad localmente , si la propiedad se exhibe "cerca" de cada punto de una de las siguientes maneras:

1. Cada punto tiene un vecindario que exhibe la propiedad;
2. Cada punto tiene una base vecinal de conjuntos que exhiben la propiedad.

Cabe señalar que la condición (2) es, en general, más estricta que la condición (1), y que se debe tener especial cuidado al distinguirlas. Por ejemplo, la definición de compacidad local puede variar según la elección de estas condiciones.

Dada alguna noción de equivalencia (por ejemplo, homeomorfismo , difeomorfismo , isometría ) entre espacios topológicos , se dice que dos espacios son localmente equivalentes si cada punto del primer espacio tiene un entorno que es equivalente a un entorno del segundo espacio.

Por ejemplo, el círculo y la línea son objetos muy diferentes. No se puede estirar el círculo para que parezca una línea, ni comprimir la línea para que se ajuste al círculo sin dejar huecos ni superposiciones. Sin embargo, un pequeño trozo del círculo se puede estirar y aplanar para que parezca un pequeño trozo de la línea. Por esta razón, se puede decir que el círculo y la línea son localmente equivalentes.

De manera similar, la esfera y el plano son localmente equivalentes. Un observador lo suficientemente pequeño situado sobre la superficie de una esfera (por ejemplo, una persona y la Tierra) la encontraría indistinguible de un plano.

Para un grupo infinito , un "entorno pequeño" se define como un subgrupo finitamente generado . Se dice que un grupo infinito es localmente P si todo subgrupo finitamente generado es P. Por ejemplo, un grupo es localmente finito si todo subgrupo finitamente generado es finito, y un grupo es localmente soluble si todo subgrupo finitamente generado es soluble .

Para grupos finitos , un "vecindario pequeño" se define como un subgrupo en términos de un número primo p , generalmente los subgrupos locales , los normalizadores de los p -subgrupos no triviales . En tal caso, se dice que una propiedad es local si puede detectarse a partir de los subgrupos locales. Las propiedades globales y locales constituyeron una parte significativa de los primeros trabajos sobre la clasificación de grupos simples finitos , realizados durante la década de 1960.

Para anillos conmutativos, las ideas de la geometría algebraica hacen natural considerar un "entorno pequeño" de un anillo como la localización en un ideal primo . En tal caso, se dice que una propiedad es local si puede detectarse a partir de los anillos locales . Por ejemplo, ser un módulo plano sobre un anillo conmutativo es una propiedad local, pero ser un módulo libre no lo es. Para más información, véase Localización de un módulo .

• conectividad de la ruta local
• Principio local-global