Anillo identidad polinomial

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un anillo R es un anillo identidad polinomial si existe, para algún N > 0, un elemento P ≠ 0 del álgebra libre , Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ , sobre el anillo de enteros en N variables X ₁ , X ₂ , ..., X _N tal que

${\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0}$

para todas las N - tuplas r ₁ , r ₂ , ..., r _N tomadas de R .

Estrictamente hablando, las X _i aquí son "indeterminadas no conmutativas", por lo que "identidad polinómica" es un poco inexacto , ya que "polinomial" aquí se refiere a lo que normalmente se denomina "polinomio no conmutativo". La abreviatura PI-anillo es común. De forma más general, se puede usar el álgebra libre sobre cualquier anillo S , lo que da lugar al concepto de PI-álgebra .

Si el grado del polinomio P se define de la forma habitual, el polinomio P se denomina mónico si al menos uno de sus términos de mayor grado tiene un coeficiente igual a 1.

Todo anillo conmutativo es un anillo PI, que satisface la identidad polinómica XY − YX = 0. Por lo tanto, los anillos PI se suelen considerar generalizaciones cercanas de los anillos conmutativos . Si el anillo tiene una característica p distinta de cero, entonces satisface la identidad polinómica pX = 0. Para excluir tales ejemplos, a veces se define que los anillos PI deben satisfacer una identidad polinómica mónica . ^{[ 1 ]}

• Por ejemplo, si R es un anillo conmutativo , es un anillo PI: esto es cierto con

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~}$

• El anillo de matrices de 2 × 2 sobre un anillo conmutativo satisface la identidad de Hall.

${\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}$

Esta identidad fue utilizada por M. Hall ( 1943 ) , pero fue encontrada anteriormente por Wagner ( 1937 ) .  

• Un papel fundamental en la teoría lo desempeña la identidad estándar s _N , de longitud N , que generaliza el ejemplo dado para anillos conmutativos ( N = 2). Se deriva de la fórmula de Leibniz para determinantes.

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}}$

reemplazando cada producto en el sumando por el producto de los X _i en el orden dado por la permutación σ. En otras palabras, cada uno de los N ! órdenes se suma, y ​​el coeficiente es 1 o −1 según la signatura .

${\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~}$

El anillo de matrices m × m sobre cualquier anillo conmutativo satisface una identidad estándar: el teorema de Amitsur-Levitzki establece que satisface s _{2 m} . El grado de esta identidad es óptimo ya que el anillo de matrices no puede satisfacer ningún polinomio mónico de grado menor que 2 m . 

• Dado un cuerpo k de característica cero, tomemos R como el álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión infinita numerable con base e ₁ , e ₂ , e ₃ , ... Entonces R está generado por los elementos de esta base y

e _i e _j = − e _j e _i .

Este anillo no satisface s _N para ningún N y, por lo tanto, no puede ser incrustado en ningún anillo matricial. De hecho, s _N ( e ₁ , e ₂ ,..., e _N ) = N ! e ₁ e ₂ ... e _N ≠ 0. Por otro lado, es un anillo PI ya que satisface [[ x , y ], z ] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. Basta con comprobar esto para los monomios en los e _i 's. Ahora bien, un monomio de grado par conmuta con cada elemento. Por lo tanto, si x o y es un monomio de grado par, [ x , y ] := xy − yx = 0. Si ambos son de grado impar , entonces [ x , y ] = xy − yx = 2. xy tiene grado par y, por lo tanto, conmuta con z , es decir, [[ x , y ], z ] = 0.                                 

• Cualquier subanillo o imagen homomórfica de un anillo PI es un anillo PI.
• Un producto directo finito de anillos PI es un anillo PI.
• Un producto directo de anillos PI que satisfacen la misma identidad es un anillo PI.
• Siempre se puede asumir que la identidad que satisface el anillo PI es multilineal .
• Si un anillo es finitamente generado por n elementos como módulo sobre su centro , entonces satisface todo polinomio multilineal alternado de grado mayor que n . En particular, satisface s _N para N  > n y, por lo tanto, es un anillo PI. 
• Si R y S son anillos PI, entonces su producto tensorial sobre los enteros,${\displaystyle R\otimes _ {\mathbb {Z} }S}$, también es un anillo PI.
• Si R es un anillo PI, entonces también lo es el anillo de matrices n × n con coeficientes en R.

Entre los anillos no conmutativos, los PI-anillos satisfacen la conjetura de Köthe . Las PI-álgebras afines sobre un cuerpo satisfacen la conjetura de Kurosh , el Nullstellensatz y la propiedad catenaria para ideales primos .

Si R es un anillo PI y K es un subanillo de su centro tal que R es integral sobre K , entonces se satisfacen las propiedades de ir hacia arriba y hacia abajo para los ideales primos de R y K. También se satisface la propiedad de estar sobre (Si p es un ideal primo de K , entonces existe un ideal primo P de R tal que${\displaystyle p}$es mínimo sobre${\displaystyle P\cap K}$) y la propiedad de incomparabilidad (Si P y Q son ideales primos de R y${\displaystyle P\subset Q}$entonces${\displaystyle P\cap K\subset Q\cap K}$) están satisfechos.

Si F  := Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ es el álgebra libre en N variables y R es un anillo PI que satisface el polinomio P en N variables, entonces P está en el núcleo de cualquier homomorfismo 

${\displaystyle \tau }$: F${\displaystyle \rightarrow }$R.​

Un ideal I de F se llama T-ideal si${\displaystyle f(I)\subset I}$para cada endomorfismo f de F .

Dado un anillo PI, R , el conjunto de todas las identidades polinómicas que satisface es un ideal , pero aún más es un T-ideal. Recíprocamente, si I es un T-ideal de F , entonces F / I es un anillo PI que satisface todas las identidades en I. Se supone que I contiene polinomios mónicos cuando se requiere que los anillos PI satisfagan identidades polinómicas mónicas.

• Teorema de Posner
• polinomio central

• Latyshev, VN (2001) [1994], "Pi-algebra" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Formanek, E. (2001) [1994], "Teorema de Amitsur-Levitzki" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Identidades polinómicas en la teoría de anillos , Louis Halle Rowen, Academic Press, 1980, ISBN 978-0-12-599850-5
• Anillos identidad polinomiales , Vesselin S. Drensky, Edward Formanek, Birkhäuser, 2004, ISBN 978-3-7643-7126-5
• Identidades polinómicas y métodos asintóticos , A. Giambruno, Mikhail Zaicev, Librería AMS, 2005, ISBN 978-0-8218-3829-7
• Aspectos computacionales de las identidades polinómicas , Alexei Kanel-Belov, Louis Halle Rowen, AK Peters Ltd., 2005, ISBN 978-1-56881-163-5

• Formanek, Edward (1991). Las identidades polinomiales e invariantes de matrices n × n . Serie de conferencias regionales en matemáticas. Vol. 78. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN  0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001 . 
• Kanel-Belov, Alexei; Rowen, Louis Halle (2005). Aspectos computacionales de las identidades polinomiales . Notas de investigación en matemáticas. Vol.  9. Wellesley, MA: AK Peters. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018 . 

• Álgebra de identidades polinómicas en PlanetMath .
• Identidad estándar en PlanetMath .
• T-ideal en PlanetMath .