Dimensiones del embalaje

El siguiente ejemplo muestra la situación más sencilla en la que las dimensiones de Hausdorff y de embalaje pueden diferir.

Corregir una secuencia${\displaystyle (a_{n})}$de tal manera que${\displaystyle a_{0}=1}$y${\displaystyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$Definir inductivamente una secuencia anidada${\displaystyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$de subconjuntos compactos de la recta real de la siguiente manera: Sea${\displaystyle E_{0}=[0,1]}$. Para cada componente conectado de${\displaystyle E_{n}}$(que necesariamente será un intervalo de longitud${\displaystyle a_{n}}$), eliminar el intervalo medio de longitud${\displaystyle a_{n}-2a_{n+1}}$, obteniendo dos intervalos de longitud${\displaystyle a_{n+1}}$, que se tomarán como componentes conectados de${\displaystyle E_{n+1}}$A continuación, defina.${\displaystyle K=\bigcap _ {n}E_ {n}}$. Entonces${\displaystyle K}$es topológicamente un conjunto de Cantor (es decir, un espacio perfecto compacto totalmente disconexo). Por ejemplo,${\displaystyle K}$será el conjunto habitual de Cantor de tercios medios si${\displaystyle a_{n}=3^{-n}}$.

Es posible demostrar que Hausdorff y las dimensiones de empaque del conjunto${\displaystyle K}$están dadas respectivamente por:

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}}$

De ello se deduce fácilmente que dados los números${\displaystyle 0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1}$, uno puede elegir una secuencia${\displaystyle (a_{n})}$como se indicó anteriormente, de modo que el conjunto de Cantor (topológico) asociado${\displaystyle K}$tiene dimensión Hausdorff${\displaystyle d_{1}}$y dimensiones del embalaje${\displaystyle d_{2}}$.

Se pueden considerar funciones de dimensión más generales que "diámetro al s ": para cualquier función h  :  [0,  +∞)  →  [0,  +∞], sea la medida previa de empaquetamiento de S con función de dimensión h dada por

${\displaystyle P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ es una colección contable}}\\{\text{de bolas disjuntas por pares con}}\\{\text{diámetros }}\leq \delta {\text{ y centros en }}S\end{matrix}}\right\}}$

y definir la medida de empaquetamiento de S con función de dimensión h mediante

${\displaystyle P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ contable}}\right\}.}$

Se dice que la función h es una función de dimensión ( de empaquetamiento ) exacta para S si P ^h ( S ) es finita y estrictamente positiva.