Mesa Padé

En análisis complejo , una tabla de Padé es una matriz, posiblemente de extensión infinita, de los aproximantes racionales de Padé.

R _{m , n}

a una serie de potencias formal compleja dada . A menudo se puede demostrar que ciertas secuencias de aproximantes que se encuentran dentro de una tabla de Padé corresponden a convergentes sucesivos de una representación en fracción continua de una función holomorfa o meromorfa .

Aunque matemáticos anteriores habían obtenido resultados esporádicos que involucraban secuencias de aproximaciones racionales a funciones trascendentales , Frobenius (en 1881) fue aparentemente el primero en organizar las aproximaciones en forma de tabla. Henri Padé amplió aún más esta noción en su tesis doctoral Sur la representation approchée d'une fonction par des fractions rationelles , en 1892. Durante los siguientes 16 años, Padé publicó 28 artículos adicionales que exploraban las propiedades de su tabla y la relacionaban con fracciones analíticas continuas. ^{[ 1 ]}

El interés moderno por las tablas de Padé fue reavivado por HS Wall y Oskar Perron , quienes se interesaron principalmente en las conexiones entre las tablas y ciertas clases de fracciones continuas. Daniel Shanks y Peter Wynn publicaron artículos influyentes alrededor de 1955, y WB Gragg obtuvo resultados de convergencia de gran alcance durante la década de 1970. Más recientemente, el uso generalizado de las computadoras electrónicas ha estimulado un gran interés adicional en el tema. ^{[ 2 ]}

Una función f ( z ) se representa mediante una serie de potencias formal :

${\displaystyle f(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots =\sum _{l=0}^{\infty }c_{l}z^{l},}$

donde c ₀ ≠ 0, por convención. La entrada ( m , n ) ^{[ 3 ]} R _{m, n} en la tabla de Padé para f ( z ) viene dada entonces por

${\displaystyle R_{m,n}(z)={\frac {P_{m}(z)}{Q_{n}(z)}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{m}z^{m}}{b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots +b_{n}z^{n}}}}$

donde P _m ( z ) y Q _n ( z ) son polinomios de grados no mayores que m y n , respectivamente. Los coeficientes { a _i } y { b _i } siempre se pueden encontrar considerando la expresión

${\displaystyle f(z)\approx \sum _{l=0}^{m+n}c_{l}z^{l}=:f_{\mathrm {approx} }(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)f_{\mathrm {approx} }(z)=P_{m}(z)}$

${\displaystyle Q_{n}(z)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{m+n}z^{m+n}\right)=P_{m}(z)}$

y igualando los coeficientes de potencias iguales de z hasta m  + n . Para los coeficientes de potencias m + 1 a m + n , el lado derecho es 0 y el sistema resultante de ecuaciones lineales contiene un sistema homogéneo de n ecuaciones en las n + 1 incógnitas b _i , y por lo tanto admite infinitas soluciones, cada una de las cuales determina una posible Q _n . P _m se encuentra entonces fácilmente igualando los primeros m coeficientes de la ecuación anterior. Sin embargo, se puede demostrar que, debido a la cancelación, las funciones racionales generadas R _{m, n} son todas iguales, de modo que la entrada ( m , n ) en la tabla de Padé es única. ^{[ 2 ]} Alternativamente, podemos requerir que b ₀ = 1, poniendo así la tabla en una forma estándar.           

Aunque las entradas de la tabla de Padé siempre se pueden generar resolviendo este sistema de ecuaciones, este método es computacionalmente costoso. El uso de la tabla de Padé se ha extendido a funciones meromorfas mediante métodos más recientes y que ahorran tiempo, como el algoritmo épsilon. ^{[ 4 ]}

Debido a la forma en que se construye el aproximante ( m , n ), la diferencia

Q _n ( z ) f ( z ) − P _m ( z )  

es una serie de potencias cuyo primer término tiene un grado no menor que

m  + n + 1.   

Si el primer término de esa diferencia es de grado

m  + n + r + 1, r > 0,       

entonces la función racional R _{m,  n} ocupa

( r + 1) ²

celdas en la tabla de Padé, desde la posición ( m , n ) hasta la posición ( m + r , n + r ), inclusive. En otras palabras, si la misma función racional aparece más de una vez en la tabla, esa función racional ocupa un bloque cuadrado de celdas dentro de la tabla. Este resultado se conoce como el teorema del bloque .  

Si una función racional particular aparece exactamente una vez en la tabla de Padé, se denomina aproximante normal de f ( z ). Si cada entrada en la tabla de Padé completa es normal, se dice que la tabla misma es normal. Las aproximantes normales de Padé se pueden caracterizar utilizando determinantes de los coeficientes c _n en el desarrollo en serie de Taylor de f ( z ), como sigue. Definimos el determinante ( m , n ) mediante 

${\displaystyle D_{m,n}=\left|{\begin{matrix}c_{m}&c_{m-1}&\ldots &c_{m-n+2}&c_{m-n+1}\\c_{m+1}&c_{m}&\ldots &c_{m-n+3}&c_{m-n+2}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\c_{m+n-2}&c_{m+n-3}&\ldots &c_{m}&c_{m-1}\\c_{m+n-1}&c_{m+n-2}&\ldots &c_{m+1}&c_{m}\\\end{matrix}}\right|}$

con D _{m ​​,0} = 1, D _{m ,1} = c _m , y c _k  =  0 para k  <  0. Entonces

• La ( m , n )-ésima aproximación a f ( z ) es normal si y solo si ninguno de los cuatro determinantes D _{m , n − 1} , D _m,n , D _{m +1, n} y D _{m +1, n +1} se anula; y
• La tabla de Padé es normal si y solo si ninguno de los determinantes D _m,n es igual a cero (nótese en particular que esto significa que ninguno de los coeficientes c _k en la representación en serie de f ( z ) puede ser cero). ^{[ 5 ]}

Una de las formas más importantes en las que puede aparecer una fracción continua analítica es como una fracción continua regular , que es una fracción continua de la forma

${\displaystyle f(z)=b_{0}+{\cfrac {a_{1}z}{1-{\cfrac {a_{2}z}{1-{\cfrac {a_{3}z}{1-{\cfrac {a_{4}z}{1-\ddots }}}}}}}}}.}$

donde las a _i ≠ 0 son constantes complejas y z es una variable compleja.

Existe una estrecha relación entre las fracciones continuas regulares y las tablas de Padé con aproximantes normales en la diagonal principal : la secuencia escalonada de aproximantes de Padé R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , R _2,1 , R _2,2 , ... es normal si y solo si coincide con las convergentes sucesivas de una fracción continua regular. En otras palabras, si la tabla de Padé es normal en la diagonal principal, puede utilizarse para construir una fracción continua regular, y si existe una representación de fracción continua regular para la función f ( z ), entonces la diagonal principal de la tabla de Padé que representa f ( z ) es normal. ^{[ 2 ]}

Aquí hay un ejemplo de una tabla de Padé para la función exponencial .

Varias características resultan evidentes de inmediato.

• La primera columna de la tabla consta de las sucesivas truncaciones de la serie de Taylor para e ^z .
• De manera similar, la primera fila contiene los recíprocos de truncamientos sucesivos del desarrollo en serie de e ^{− z} .
• Las aproximaciones R _m,n y R _n,m son bastante simétricas : los numeradores y denominadores se intercambian, y los patrones de signos positivos y negativos son diferentes, pero los mismos coeficientes aparecen en ambas aproximaciones. Se pueden expresar en términos de funciones especiales como

${\displaystyle R_{m,n}={\frac {{}_{1}F_{1}(-m;-m-n;z)}{{}_{1}F_{1}(-n;-m-n;-z)}}={\frac {n!\,2^{m}\theta _{m}\left({\frac {z}{2}};n-m+2,2\right)}{m!\,2^{n}\theta _{n}\left(-{\frac {z}{2}};m-n+2,2\right)}}}$,

dónde${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$es una serie hipergeométrica generalizada y${\displaystyle \theta _{n}(x;\alpha ,\beta )}$es un polinomio de Bessel inverso generalizado . ^{[ 6 ]}

Las expresiones en la diagonal principal se reducen a${\displaystyle R_{n,n}=\theta _{n}(z/2)/\theta _{n}(-z/2)}$, dónde${\displaystyle \theta _{n}(x)}$es un polinomio de Bessel inverso . ^{[ 7 ]}

• Los cálculos que involucran R _{n , n} (en la diagonal principal) se pueden realizar de manera bastante eficiente. Por ejemplo, R _3,3 reproduce la serie de potencias para la función exponencial perfectamente hasta ¹ / ₇₂₀ z ⁶ , pero debido a la simetría de los dos polinomios cúbicos, se puede diseñar un algoritmo de evaluación muy rápido.

El procedimiento utilizado para derivar la fracción continua de Gauss se puede aplicar a una determinada serie hipergeométrica confluente para derivar la siguiente expansión en fracción C para la función exponencial, válida en todo el plano complejo:

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+-\ddots }}}}}}}}}}}}.}$

Aplicando las fórmulas de recurrencia fundamentales, se puede verificar fácilmente que las convergentes sucesivas de esta fracción C son la secuencia escalonada de aproximantes de Padé R _0,0 , R _1,0 , R _1,1 , ... En este caso particular, se puede obtener una fracción continua estrechamente relacionada a partir de la identidad

${\displaystyle e^{z}={\frac {1}{e^{-z}}};}$

Esa fracción continua se ve así:

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{2}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{6}}z}{1-{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{10}}z}{1-+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Las convergentes sucesivas de esta fracción también aparecen en la tabla de Padé y forman la secuencia R _0,0 , R _0,1 , R _1,1 , R _1,2 , R _2,2 , ...

Una serie de Newton formal L tiene la forma

${\displaystyle L(z)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\prod _{k=1}^{n}(z-\beta _{k})}$

donde la secuencia { β _k } de puntos en el plano complejo se conoce como el conjunto de puntos de interpolación . Se puede formar una secuencia de aproximantes racionales R _m,n para dicha serie L de una manera completamente análoga al procedimiento descrito anteriormente, y los aproximantes se pueden organizar en una tabla de Newton-Padé . Se ha demostrado ^{[ 8 ]} que algunas secuencias en forma de "escalera" en la tabla de Newton-Padé corresponden con las convergentes sucesivas de una fracción continua de tipo Thiele, que tiene la forma

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {a_{1}(z-\beta _{1})}{1-{\cfrac {a_{2}(z-\beta _{2})}{1-{\cfrac {a_{3}(z-\beta _{3})}{1-\ddots }}}}}}.}$

Los matemáticos también han construido tablas de Padé de dos puntos considerando dos series, una en potencias de z y la otra en potencias de 1/ z , que representan alternativamente la función f ( z ) en un entorno de cero y en un entorno de infinito. ^{[ 2 ]}

• Transformación de Shanks

• Jones, William B.; Thron, WJ (1980). Fracciones continuas: Teoría y aplicaciones . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. pp. 185–197 . ISBN  0-201-13510-8.
• Wall, HS (1973). Teoría analítica de las fracciones continuas . Chelsea Publishing Company . págs. 377–415 . ISBN  0-8284-0207-8.(Esta es una reimpresión del volumen publicado originalmente por D. Van Nostrand Company, Inc. , en 1948).