Padé aproximante

En matemáticas , una aproximación de Padé es la mejor aproximación de una función cerca de un punto específico mediante una función racional de un orden dado. Con esta técnica, la serie de potencias de la aproximación coincide con la serie de potencias de la función que aproxima. La técnica fue desarrollada alrededor de 1890 por Henri Padé , pero se remonta a Georg Frobenius , quien introdujo la idea e investigó las características de las aproximaciones racionales de series de potencias.

La aproximación de Padé suele proporcionar una mejor aproximación de la función que la truncación de su serie de Taylor , e incluso puede funcionar cuando la serie de Taylor no converge . Por estas razones, las aproximaciones de Padé se utilizan ampliamente en cálculos computacionales . También se han empleado como funciones auxiliares en la aproximación diofántica y la teoría de números trascendentales , aunque para obtener resultados precisos, se suelen sustituir por métodos ad hoc —en cierto modo inspirados en la teoría de Padé—. Dado que una aproximación de Padé es una función racional, puede aparecer un punto singular artificial como aproximación, pero esto se puede evitar mediante el análisis de Borel-Padé .

La razón por la que la aproximación de Padé tiende a ser mejor que una serie de Taylor truncada queda clara desde el punto de vista del método de suma de múltiples puntos. Dado que existen muchos casos en los que la expansión asintótica en el infinito se vuelve cero o una constante, puede interpretarse como la "aproximación de Padé incompleta de dos puntos", en la que la aproximación de Padé ordinaria mejora el método de truncamiento de una serie de Taylor.

Dada una función f y dos enteros m ≥ 0 y n ≥ 1 , la aproximación de Padé de orden [ m / n ] es la función racional.

$${\displaystyle R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},}$$ que coincide con f ( x ) al orden más alto posible, lo que equivale a $${\displaystyle {\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}}$$

De forma equivalente, si${\displaystyle R(x)}$se expande en una serie de Maclaurin ( serie de Taylor en 0), su primera${\displaystyle m+n}$los términos serían iguales al primero${\displaystyle m+n}$términos de${\displaystyle f(x)}$y por lo tanto $${\displaystyle f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots }$$

Cuando existe, la aproximación de Padé es única como serie de potencias formal para los m y n dados . ^{[ 1 ]}

El aproximante de Padé definido anteriormente también se denota como $${\displaystyle [m/n]_{f}(x).}$$

Para un f dado , los aproximantes de Padé se pueden calcular mediante el algoritmo épsilon de Wynn ^{[ 2 ]} y también otras transformaciones de secuencias ^{[ 3 ]} a partir de las sumas parciales. $${\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}$$ de la serie de Taylor de f , es decir, tenemos $${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}$$f también puede ser una serie de potencias formal y, por lo tanto, los aproximantes de Padé también se pueden aplicar a la suma de series divergentes .

Una forma de calcular una aproximación de Padé es mediante el algoritmo euclidiano extendido para el máximo común divisor de polinomios . ^{[ 4 ]} La relación $${\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}}$$ es equivalente a la existencia de algún factor${\displaystyle K(x)}$de tal manera que $${\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},}$$ lo cual puede interpretarse como la identidad de Bézout de un paso en el cálculo del máximo común divisor extendido de los polinomios${\displaystyle T_{m+n}(x)}$y${\displaystyle x^{m+n+1}}$.

Recordemos que, para calcular el máximo común divisor de dos polinomios p y q , se calcula mediante división larga la secuencia de restos. $${\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},}$$k = 1, 2, 3, ... con${\displaystyle \deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,}$, hasta${\displaystyle r_{k+1}=0}$Para las identidades de Bézout del máximo común divisor extendido, se calculan simultáneamente las dos secuencias polinómicas. $${\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}$$ para obtener en cada paso la identidad de Bézout $${\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}$$

Para el aproximante [ m / n ] , se lleva a cabo el algoritmo euclidiano extendido para $${\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}$$ y lo detiene en el último instante que${\displaystyle v_{k}}$tiene grado n o menor.

Luego los polinomios${\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}$dar el aproximante de Padé [ m / n ] . Si se calcularan todos los pasos del cálculo del máximo común divisor extendido, se obtendría una antidiagonal de la tabla de Padé .

Para estudiar la resuma de una serie divergente , por ejemplo $${\displaystyle \sum _ {z=1}^{\infty }f(z),}$$ Puede ser útil introducir la función zeta de Padé o simplemente racional como $${\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}$$ dónde $${\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)}$$ es la aproximación de Padé de orden ( m , n ) de la función f ( x ) . El valor de regularización zeta en s = 0 se toma como la suma de la serie divergente.

La ecuación funcional para esta función zeta de Padé es $${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(sj)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(sj),}$$ donde a _j y b _j son los coeficientes en la aproximación de Padé. El subíndice '0' significa que el Padé es de orden [0/0] y, por lo tanto, tenemos la función zeta de Riemann .

Los aproximantes de Padé se pueden utilizar para extraer puntos críticos y exponentes de funciones. ^{[ 5 ] [ 6 ]} En termodinámica, si una función f ( x ) se comporta de manera no analítica cerca de un punto x = r como${\displaystyle f(x)\sim |xr|^{p}}$Se denomina x = r un punto crítico y p el exponente crítico asociado de f . Si se conocen suficientes términos del desarrollo en serie de f , se pueden extraer aproximadamente los puntos críticos y los exponentes críticos a partir de los polos y residuos de las aproximaciones de Padé, respectivamente.${\displaystyle [n/n+1]_{g}(x)}$, dónde${\displaystyle g=f'/f}$.

Un aproximante de Padé aproxima una función en una variable. Un aproximante en dos variables se llama aproximante de Chisholm (en honor a JSR Chisholm ) ^{[ 7 ]} y en múltiples variables, aproximante de Canterbury (en honor a Graves-Morris de la Universidad de Kent ) ^{[ 8 ] .}

La aproximación de Padé convencional está diseñada para reproducir la expansión de Maclaurin hasta un orden dado. Por lo tanto, la aproximación en valores distintos del punto de expansión puede ser deficiente. Esto se evita con la aproximación de Padé de 2 puntos, que es un tipo de método de suma multipunto. ^{[ 9 ]} En${\displaystyle x=0}$, consideremos un caso en el que una función${\displaystyle f(x)}$lo cual se expresa mediante el comportamiento asintótico.${\displaystyle f_{0}(x)}$: $${\displaystyle f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,}$$ y en${\displaystyle x\to \infty }$comportamiento asintótico adicional${\ Displaystyle f _ {\ infty} (x)}$: $${\displaystyle f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .}$$

Al seleccionar el comportamiento principal de${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$funciones aproximadas${\displaystyle F(x)}$de tal manera que se pueda encontrar simultáneamente el comportamiento asintótico mediante el desarrollo de la aproximación de Padé en varios casos. Como resultado, en el punto${\displaystyle x\to \infty }$, donde la precisión de la aproximación puede ser la peor en la aproximación de Padé ordinaria, se garantiza una buena precisión del aproximador de Padé de 2 puntos. Por lo tanto, el aproximador de Padé de 2 puntos puede ser un método que proporciona una buena aproximación global para${\displaystyle x=0\sim \infty }$. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

En los casos en que${\displaystyle f_{0}(x),f_{\infty }(x)}$se expresan mediante polinomios o series de potencias negativas, función exponencial, función logarítmica o${\displaystyle x\ln x}$, podemos aplicar la aproximación de Padé de 2 puntos a${\displaystyle f(x)}$Existe un método para utilizar esto y obtener una solución aproximada de una ecuación diferencial con alta precisión. ^{[ 9 ]} Además, para los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, el primer cero no trivial puede estimarse con cierta precisión a partir del comportamiento asintótico en el eje real. ^{[ 9 ]}

Una extensión adicional del aproximador de Padé de 2 puntos es el aproximador de Padé de múltiples puntos. ^{[ 9 ]} Este método trata puntos de singularidad${\displaystyle x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)}$de una función${\displaystyle f(x)}$que debe aproximarse. Consideremos los casos en que las singularidades de una función se expresan con índice${\displaystyle n_{j}}$por $${\displaystyle f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.}$$

Además del aproximante de Padé de 2 puntos, que incluye información en${\displaystyle x=0,x\to \infty }$, este método se aproxima para reducir la propiedad de divergencia en${\displaystyle x\sim x_{j}}$. Como resultado, puesto que se captura la información de la peculiaridad de la función, la aproximación de una función${\displaystyle f(x)}$Se puede realizar con mayor precisión.

sen( x ) ^{[ 14 ]}

$${\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}}$$

exp( x ) ^{[ 15 ]}

$${\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}}$$

ln(1+ x ) ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}}$$

Jacobi sn( z |3) ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}}$$

Bessel J ₅ ( x )

$${\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}}$$

Error erf( x )

$${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}}$$

Fresnel C ( x )

$${\displaystyle C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}}$$

• Tabla de Padé – Matriz en análisis complejo 
• Fórmula de aproximación del seno de Bhaskara I : fórmula para estimar la función seno. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 
• Teoría de la aproximación : teoría para obtener cálculos matemáticos inexactos con una aproximación aceptable. 
• Aproximación de funciones : aproximar una función arbitraria con una función bien comportada. 

• Baker, GA, Jr.; y Graves-Morris, P. Aproximantes de Padé . Cambridge UP , 1996.
• Baker, GA, Jr. Padé approximant , Scholarpedia , 7(6):9756.
• Brezinski, C.; Redivo Zaglia, M. Métodos de extrapolación. Teoría y práctica . North-Holland , 1991. ISBN 978-0444888143
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 5.12 Aproximantes de Padé" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3.ª  ed.), Nueva York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88068-8Archivado del original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 9 de agosto de 2011..
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• Gragg, WB (1972), "La tabla de Padé y su relación con ciertos algoritmos de análisis numérico", SIAM Review , 14 (1): 1– 62, doi : 10.1137/1014001.
• Padé, H. (1892), "Sur la répresentation approchée d'une fonction par des fracciones rationelles (Tesis)" , Ann. Escuela Nor. (3) , 9 : 3–93 suplemento.
• Wynn, P. (1966), "Sobre sistemas de recursión que se obtienen entre los cocientes de la tabla de Padé", Numerische Mathematik , 8 (3): 264– 269, doi : 10.1007/BF02162562 , S2CID 123789548 .

• Weisstein, Eric W. , "Padé Aproximante" , MathWorld
• Aproximantes de Padé , Oleksandr Pavlyk, El proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Análisis de datos BriefBook: Aproximación de Padé , Rudolf K. Bock, Laboratorio Europeo de Física de Partículas , CERN .
• Onda sinusoidal , Scott Dattalo, último acceso: 11 de noviembre de 2010.
• Función de MATLAB para la aproximación de Padé de modelos con retardos temporales.