Conjetura de Painlevé

En física , la conjetura de Painlevé es un teorema sobre singularidades entre las soluciones del problema de n cuerpos : existen singularidades sin colisión para n ≥ 4. ^{[ 1 ] [ 2 ]}   

El teorema fue demostrado para n  ≥  5 en 1988 por Jeff Xia ^{[ 3 ] [ 4 ]} y para n = 4 en 2014 por Jinxin Xue. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Soluciones${\displaystyle (\mathbf {q},\mathbf {p})}$del problema de n cuerpos${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}=M^{-1}\mathbf {p} ,\;{\dot {\mathbf {p} }}=\nabla U(\mathbf {q} )}$(donde M son las masas y U denota el potencial gravitatorio ) se dice que tienen una singularidad si hay una secuencia de tiempos${\displaystyle t_{n}}$convergiendo a un valor finito${\displaystyle t^{*}}$dónde${\displaystyle \nabla U\left(\mathbf {q} \left(t_{n}\right)\right)\rightarrow \infty }$Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún punto finito del tiempo.

Se produce una singularidad de colisión si${\displaystyle \mathbf {q} (t)}$tiende a un límite definido cuando${\displaystyle t\rightarrow t^{*},t<t^{*}}$Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o singularidad de no colisión .

Paul Painlevé demostró que para n  =  3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad de colisión. Sin embargo, no logró extender este resultado más allá de 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Para n  ≥  4, el problema de n cuerpos admite singularidades sin colisión.

Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si existe una singularidad de colisión, entonces${\displaystyle J(\mathbf {q} (t))}$tiende a un límite definido como${\displaystyle t\rightarrow t^{*}}$, dónde${\displaystyle J(\mathbf {q} )=\sum _{i}m_{i}|\mathbf {q} _{i}|^{2}}$es el momento de inercia . ^{[ 9 ]} Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se vuelva ilimitada (ya que las posiciones${\displaystyle \mathbf {q} }$permanecen finitos hasta este punto). ^{[ 1 ]}

Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que puede ocurrir una singularidad de no colisión en el problema de cuatro cuerpos colineales (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas). ^{[ 10 ]}

Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas las condiciones iniciales (en el sentido de la medida de Lebesgue ) en el plano o el espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones libres de singularidades. ^{[ 11 ]}

En 1984, Joe Gerver presentó un argumento a favor de una singularidad sin colisión en el problema planar de 5 cuerpos sin colisiones. ^{[ 12 ]} Posteriormente, encontró una demostración para el caso de 3n cuerpos . ^{[ 13 ]}

Finalmente, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Joe Gerver ha dado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos. ^{[ 14 ]}

En su tesis doctoral de 2013 en la Universidad de Maryland, Jinxin Xue consideró un modelo simplificado para el caso del problema plano de cuatro cuerpos de la conjetura de Painlevé. Basándose en un modelo de Gerver, demostró que existe un conjunto de condiciones iniciales de Cantor que conducen a soluciones del sistema hamiltoniano cuyas velocidades se aceleran hasta el infinito en un tiempo finito, evitando todas las colisiones anteriores. En 2014, Xue extendió su trabajo anterior y demostró la conjetura para n=4. ^{[ 15 ] [ 5 ] [ 6 ]}