función de distribución de pares

La función de distribución de pares describe la distribución de distancias entre pares de partículas contenidas dentro de un volumen dado. ^{[ 1 ]} Matemáticamente, si a y b son dos partículas, la función de distribución de pares de b con respecto a a , denotada por${\displaystyle g_{ab}({\vec {r}})}$es la probabilidad de encontrar la partícula b a distancia${\displaystyle {\vec {r}}}$desde un , tomando a como origen de coordenadas.

La función de distribución de pares se utiliza para describir la distribución de objetos dentro de un medio (por ejemplo, naranjas en una caja o moléculas de nitrógeno en un cilindro de gas ). Si el medio es homogéneo (es decir, cada ubicación espacial tiene propiedades idénticas), entonces existe una densidad de probabilidad igual para encontrar un objeto en cualquier posición.${\displaystyle {\vec {r}}}$:

${\displaystyle p({\vec {r}})=1/V}$,

dónde${\displaystyle V}$es el volumen del contenedor. Por otro lado, la probabilidad de encontrar pares de objetos en posiciones dadas (es decir, la densidad de probabilidad de dos cuerpos) no es uniforme. Por ejemplo, los pares de bolas duras deben estar separados por al menos el diámetro de una bola. La función de distribución de pares${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')}$se obtiene escalando la función de densidad de probabilidad de dos cuerpos por el número total de objetos${\displaystyle N}$y el tamaño del contenedor:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')=p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}{\frac {N-1}{N}}}$.

En el caso común en que el número de objetos en el contenedor es grande, esto se simplifica a lo siguiente:

${\displaystyle g({\vec {r}},{\vec {r}}')\aprox p({\vec {r}},{\vec {r}}')V^{2}}$.

La función de distribución de pares más simple posible supone que todas las ubicaciones de los objetos son mutuamente independientes, lo que da como resultado:

${\displaystyle g({\vec {r}})=1}$,

dónde${\displaystyle {\vec {r}}}$es la separación entre un par de objetos. Sin embargo, esto es inexacto en el caso de objetos duros, como se mencionó anteriormente, porque no tiene en cuenta la separación mínima requerida entre objetos. La aproximación de corrección de agujeros (HC) proporciona un modelo mejor:

${\displaystyle g(r)={\begin{cases}0,&r<b,\\1,&r\geq {}b\end{cases}},}$

dónde${\displaystyle b}$es el diámetro de uno de los objetos.

Aunque la aproximación HC proporciona una descripción razonable de objetos poco compactos, falla para el empaquetamiento denso. Esto se puede ilustrar considerando una caja completamente llena de bolas duras idénticas, de modo que cada bola toca a sus vecinas. En este caso, cada par de bolas en la caja está separado por una distancia de exactamente${\displaystyle r=nb}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero positivo. Por lo tanto, la distribución de pares para un volumen completamente lleno de esferas duras es un conjunto de funciones delta de Dirac de la forma:

${\displaystyle g(r)=\sum \limits _{i}\delta (r-ib)}$.

Finalmente, cabe señalar que un par de objetos separados por una gran distancia no influyen en la posición del otro (siempre que el contenedor no esté completamente lleno). Por lo tanto,

${\displaystyle \lim \limits _{r\to \infty }g(r)=1}$.

En general, una función de distribución de pares adoptará una forma intermedia entre los modelos de empaquetamiento disperso (aproximación HC) y de empaquetamiento denso (función delta), dependiendo de la densidad de empaquetamiento.${\displaystyle f}$.

De especial importancia práctica es la función de distribución radial , que es independiente de la orientación. Es un descriptor clave de la estructura atómica de materiales amorfos (vidrios, polímeros) y líquidos. La función de distribución radial se puede calcular directamente a partir de mediciones físicas como la dispersión de luz o la difracción de rayos X en polvo mediante una transformada de Fourier .

En mecánica estadística, la función de distribución radial (FDR) viene dada por la expresión

${\displaystyle g_{ab}(r)={\frac {1}{N_{a}N_{b}}}\sum \limits _{i=1}^{N_{a}}\sum \limits _{j=1}^{N_{b}}\langle \delta (\vert \mathbf {r} _{ij}\vert -r)\rangle }$

• método de cadena hiperred de mapa clásico

Fischer-Colbrie, Bienenstock, Fuoss, Marcus. Física. Rev. B (1988) 38, 12388

Jensen, KM y Billinge, SJ (2015). IUCrJ, 2(5), 481–489.