identidad palatina

En la relatividad general y el cálculo tensorial , la identidad de Palatini es

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho },}$

dónde${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$denota la variación de los símbolos de Christoffel y${\displaystyle \nabla _{\rho }}$indica diferenciación covariante . ^{[ 1 ]}

La misma identidad se mantiene para la derivada de Lie.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }}$. De hecho, uno tiene

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

dónde${\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }}$denota cualquier campo vectorial en la variedad espaciotemporal${\displaystyle M}$.

El tensor de curvatura de Riemann se define en términos de la conexión de Levi-Civita.${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$como

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Su variación es

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu σ }^{\lambda }}$.

Mientras la conexión${\displaystyle \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$no es un tensor, la diferencia${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$La relación entre dos conexiones es , por lo que podemos tomar su derivada covariante.

${\displaystyle \nabla _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }}$.

Resolviendo esta ecuación para${\displaystyle \partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$y sustituyendo el resultado en${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }}$, todos los${\displaystyle \Gamma \delta \Gamma }$Los términos similares se cancelan, dejando solo

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }}$.

Finalmente, la variación del tensor de curvatura de Ricci se obtiene contrayendo dos índices, demostrando así la identidad.

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\nabla _{\nu }\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }}$.

• Acción de Einstein-Hilbert
• Variación Palatini
• cálculo de Ricci
• cálculo tensorial
• Símbolos de Christoffel
• tensor de curvatura de Riemann

• Palatini, Attilio (1919), "Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton" [ Deducción invariante de las ecuaciones gravitacionales a partir del principio de Hamilton ] , Rediconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (en italiano), 43 : 203–212 , doi : 10.1007/BF03014670 , S2CID 121043319 [Traducción al inglés de R. Hojman y C. Mukku en PG Bergmann y V. De Sabbata (eds.) Cosmology and Gravitation, Plenum Press, Nueva York (1980)]
• Tsamparlis, Michael (1978), "Sobre el método de variación de Palatini" , Journal of Mathematical Physics , 19 (3): 555– 557, Bibcode : 1978JMP....19..555T , doi : 10.1063/1.523699