Teorema de Paley-Wiener

En matemáticas , un teorema de Paley-Wiener es un teorema que relaciona las propiedades de decaimiento de una función o distribución en el infinito con la analiticidad de su transformada de Fourier . Recibe su nombre de Raymond Paley (1907-1933) y Norbert Wiener (1894-1964), quienes, en 1934, introdujeron diversas versiones del teorema. ^{[ 1 ]} Los teoremas originales no utilizaban el lenguaje de las distribuciones , sino que se aplicaban a funciones de cuadrado integrable . El primer teorema de este tipo que utilizaba distribuciones se debe a Laurent Schwartz . Estos teoremas dependen en gran medida de la desigualdad triangular (para intercambiar el valor absoluto y la integral).

El trabajo original de Paley y Wiener también se utiliza como homónimo en los campos de la teoría de control y el análisis armónico ; introduciendo la condición de Paley-Wiener para la factorización espectral y el criterio de Paley-Wiener para las series de Fourier no armónicas , respectivamente. ^{[ 2 ]} Estos son conceptos matemáticos relacionados que sitúan las propiedades de decaimiento de una función en el contexto de los problemas de estabilidad .

Los teoremas clásicos de Paley-Wiener utilizan la transformada de Fourier holomorfa en clases de funciones de cuadrado integrable con soporte en la recta real. Formalmente, la idea consiste en tomar la integral que define la transformada de Fourier (inversa).

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-\infty }^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

y permitir${\displaystyle \zeta }$ser un número complejo en el semiplano superior . Entonces se puede esperar diferenciar bajo la integral para verificar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen y, por lo tanto, que${\displaystyle f}$define una función analítica. Sin embargo, esta integral puede no estar bien definida, incluso para${\displaystyle F}$en${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$; de hecho, desde${\displaystyle \zeta }$está en el semiplano superior, el módulo de${\displaystyle e^{ix\zeta }}$crece exponencialmente a medida que${\displaystyle x\to -\infty }$; por lo tanto, la diferenciación bajo el signo integral está fuera de toda discusión. Se deben imponer restricciones adicionales sobre${\displaystyle F}$para asegurar que esta integral esté bien definida.

La primera de estas restricciones es que${\displaystyle F}$ser apoyado en${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$: eso es,${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$. El teorema de Paley-Wiener ahora afirma lo siguiente: ^{[ 3 ]} La transformada de Fourier holomorfa de${\displaystyle F}$, definido por

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{0}^{\infty }F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

para${\displaystyle \zeta }$en el semiplano superior es una función holomorfa. Además, por el teorema de Plancherel , se tiene

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi \leq \int _{0}^{\infty }|F(x)|^{2}\,dx}$

y por convergencia dominada ,

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )-f(\xi )\right|^{2}\,d\xi =0.}$

Por el contrario, si${\displaystyle f}$es una función holomorfa en el semiplano superior que satisface

${\displaystyle \sup _{\eta >0}\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(\xi +i\eta )\right|^{2}\,d\xi =C<\infty }$

entonces existe${\displaystyle F\in L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$de tal manera que${\displaystyle f}$es la transformada de Fourier holomorfa de${\displaystyle F}$.

En términos abstractos, esta versión del teorema describe explícitamente el espacio de Hardy.${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$El teorema establece que

${\displaystyle {\mathcal {F}}H^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(\mathbb {R_{+}} ).}$

Este es un resultado muy útil, ya que permite pasar a la transformada de Fourier de una función en el espacio de Hardy y realizar cálculos en el espacio fácilmente comprensible. ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} _{+})}$de funciones de cuadrado integrable apoyadas en el eje positivo.

Al imponer la restricción alternativa que${\displaystyle F}$Si se tiene soporte compacto , se obtiene otro teorema de Paley-Wiener. ^{[ 4 ]} Supongamos que${\displaystyle F}$es compatible con${\displaystyle [-A,A]}$, de modo que${\displaystyle F\in L^{2}(-A,A)}$Luego, la transformada de Fourier holomorfa

${\displaystyle f(\zeta )=\int _{-A}^{A}F(x)e^{ix\zeta }\,dx}$

es una función completa de tipo exponencial${\displaystyle A}$, lo que significa que hay una constante${\displaystyle C}$de tal manera que

${\displaystyle |f(\zeta )|\leq Ce^{A|\zeta |},}$

y además,${\displaystyle f}$es integrable al cuadrado sobre líneas horizontales:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(\xi +i\eta )|^{2}\,d\xi <\infty .}$

Por el contrario, cualquier función completa de tipo exponencial${\displaystyle A}$que es integrable al cuadrado sobre líneas horizontales es la transformada de Fourier holomorfa de un ${\displaystyle L^{2}}$función admitida en${\displaystyle [-A,A]}$.

El teorema de Paley-Wiener de Schwartz afirma que la transformada de Fourier de una distribución de soporte compacto en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es una función completa en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y proporciona estimaciones sobre su crecimiento en el infinito. Fue demostrado por Laurent Schwartz ( 1952 ). La formulación que se presenta aquí es de Hörmander (1976) .

En general, la transformada de Fourier se puede definir para cualquier distribución templada ; además, cualquier distribución de soporte compacto.${\displaystyle v}$es una distribución templada. Si${\displaystyle v}$es una distribución de soporte compacto y${\displaystyle f}$es una función infinitamente diferenciable, la expresión

${\displaystyle v(f)=v(x\mapsto f(x))}$

está bien definido.

Se puede demostrar que la transformada de Fourier de${\displaystyle v}$es una función (a diferencia de una distribución temperada general) dada en el valor${\displaystyle s}$por

${\displaystyle {\hat {v}}(s)=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}v\left(x\mapsto e^{-i\langle x,s\rangle }\right)}$

y que esta función puede extenderse a valores de${\displaystyle s}$en el espacio complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Esta extensión de la transformada de Fourier al dominio complejo se denomina transformada de Fourier-Laplace .

Condiciones de crecimiento adicionales en toda la función${\displaystyle F}$imponer propiedades de regularidad a la distribución${\displaystyle v}$. Por ejemplo: ^{[ 5 ]}

Resultados más precisos que brindan un buen control sobre el soporte singular de${\displaystyle v}$han sido formulados por Hörmander (1990) . En particular, ^{[ 6 ]} deja${\displaystyle K}$ser un conjunto compacto convexo en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con función de apoyo${\displaystyle H}$, definido por

${\displaystyle H(x)=\sup _{y\in K}\langle x,y\rangle .}$

Entonces el apoyo singular de${\displaystyle v}$está contenido en${\displaystyle K}$si y solo si existe una constante${\displaystyle N}$y secuencia de constantes${\displaystyle C_{m}}$de tal manera que

${\displaystyle |{\hat {v}}(\zeta )|\leq C_{m}(1+|\zeta |)^{N}e^{H(\mathrm {Im} (\zeta ))}}$

para${\displaystyle |\mathrm {Im} (\zeta )|\leq m\log(|\zeta |+1).}$

• Hörmander, L. (1976), Operadores diferenciales parciales lineales, volumen 1 , Springer, ISBN 978-3-540-00662-6
• Hörmander, L. (1990), Análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer Verlag.
• Paley, Raymond EAC ; Wiener, Norbert (1934). Transformadas de Fourier en el dominio complejo . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1019-4.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª  ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 .
• Schwartz, Laurent (1952), "Transformación de Laplace des Distributions", Comm. Sém. Matemáticas. Univ. Lund [Med. Universidad de Lund. Estera. Sem.] , 1952 : 196– 206, SEÑOR 0052555 
• Strichartz, R. (1994), Guía de la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier , CRC Press, ISBN 0-8493-8273-4.
• Yosida, K. (1968), Análisis funcional , Academic Press.