Operador de Paneitz

En el campo matemático de la geometría diferencial , el operador de Paneitz es un operador diferencial de cuarto orden definido en una variedad riemanniana de dimensión n . Recibe su nombre de Stephen Paneitz , quien lo descubrió en 1983, y cuyo preimpreso se publicó posteriormente de forma póstuma en Paneitz 2008. De hecho, el mismo operador fue hallado anteriormente en el contexto de la supergravedad conforme por E. Fradkin y A. Tseytlin en 1982 (Phys Lett B 110 (1982) 117 y Nucl Phys B 1982 (1982) 157). Está dado por la fórmula

${\displaystyle P=\Delta ^{2}-\delta \left\{(n-2)J-4V\cdot \right\}d+(n-4)Q}$

donde Δ es el operador de Laplace-Beltrami , d es la derivada exterior , δ es su adjunto formal, V es el tensor de Schouten , J es la traza del tensor de Schouten y el punto denota la contracción tensorial en cualquiera de los índices. Aquí Q es el invariante escalar .

${\displaystyle (-4|V|^{2}+nJ^{2}+2\Delta J)/4,}$

donde Δ es el laplaciano positivo. En cuatro dimensiones esto produce la curvatura Q.

El operador es especialmente importante en geometría conforme , porque en un sentido adecuado depende solo de la estructura conforme . Otro operador de este tipo es el laplaciano conforme . Pero, mientras que el laplaciano conforme es de segundo orden, con símbolo principal un múltiplo del operador de Laplace - Beltrami, el operador de Paneitz es de cuarto orden, con símbolo principal el cuadrado del operador de Laplace - Beltrami. El operador de Paneitz es conformemente invariante en el sentido de que envía densidades conformes de peso 2 − n /2 a densidades conformes de peso − 2 − n /2 . Concretamente, utilizando la trivialización canónica de los haces de densidad en presencia de una métrica, el operador de Paneitz P puede representarse en términos de una métrica riemanniana representativa g como un operador ordinario sobre funciones que se transforma según bajo un cambio conforme g ↦ Ω ² g según la regla

${\displaystyle \Omega ^{n/2+2}P(g)\phi =P(\Omega ^{2}g)\Omega ^{n/2-2}\phi .\,}$

El operador se derivó originalmente calculando específicamente los términos de corrección de orden inferior para asegurar la invariancia conforme. Investigaciones posteriores han situado al operador de Paneitz en una jerarquía de operadores análogos invariantes conformes en densidades: los operadores GJMS .

El operador de Paneitz se ha estudiado exhaustivamente en dimensión cuatro, donde aparece de forma natural en relación con problemas extremos para el determinante funcional del laplaciano (mediante la fórmula de Polyakov ; véase Branson y Ørsted, 1991 ). Solo en dimensión cuatro, el operador de Paneitz es el operador GJMS "crítico", lo que significa que existe un componente escalar residual (la curvatura Q ) que solo puede recuperarse mediante análisis asintótico . El operador de Paneitz también aparece en problemas extremos para la desigualdad de Moser-Trudinger en dimensión cuatro ( Chang, 1999 ).

Existe una estrecha conexión entre la geometría conforme de 4 dimensiones y la geometría CR de 3 dimensiones asociada al estudio de las variedades CR . Existe un operador de cuarto orden definido naturalmente en variedades CR introducido por C. Robin Graham y John Lee que tiene muchas propiedades similares al operador de Paneitz clásico definido en variedades riemannianas de 4 dimensiones. ^{[ 1 ]} Este operador en geometría CR se llama operador de Paneitz CR . El operador definido por Graham y Lee, aunque definido en todas las variedades CR de dimensión impar, no se sabe que sea conformemente covariante en dimensión real 5 y superior. La covarianza conforme de este operador ha sido establecida en dimensión real 3 por Kengo Hirachi . Siempre es un operador no negativo en dimensión real 5 y superior. Aquí, a diferencia de cambiar la métrica por un factor conforme como en el caso riemanniano discutido anteriormente, se cambia la forma de contacto en la variedad CR 3 por un factor conforme. La no negatividad del operador CR Paneitz en dimensión 3 es una condición invariante CR, como se demuestra a continuación. Esto se deduce de las propiedades covariantes conformes del operador CR Paneitz, observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^{[ 2 ]} Además, el operador CR Paneitz juega un papel importante en la obtención de la cota inferior precisa del autovalor para el laplaciano de Kohn. Este es un resultado de Sagun Chanillo , Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang . ^{[ 3 ]} Esta cota inferior precisa del autovalor es el análogo exacto en geometría CR de la famosa cota inferior de André Lichnerowicz para el operador de Laplace-Beltrami en variedades riemannianas compactas. Permite incrustar globalmente variedades CR abstractas, compactas y estrictamente pseudoconvexas en${\displaystyle C^{n}}$. Más precisamente, las condiciones en [3] para incrustar una variedad CR en${\displaystyle C^{n}}$se formulan de manera invariante CR y no perturbativa. También existe un recíproco parcial del resultado anterior, donde los autores, JS Case, S. Chanillo, P. Yang, obtienen condiciones que garantizan que, cuando están embebidas, las variedades CR compactas tienen operadores de Paneitz CR no negativos. ^{[ 4 ]} La definición formal del operador de Paneitz CR${\displaystyle P_{4}}$en variedades CR de dimensión real tres es como sigue (el subíndice${\displaystyle 4}$es para recordar al lector que se trata de un operador de cuarto orden)

${\displaystyle P_{4}\phi ={\frac {1}{8}}((\Box _{b}{\overline {\Box _{b}}}+{\overline {\Box _{b}}}\Box _{b})\phi +8Im(A^{11}\phi _{1})_{1})}$

${\displaystyle \Box _{b}}$denota el laplaciano de Kohn que juega un papel fundamental en la geometría CR y varias variables complejas y fue introducido por Joseph J. Kohn . Se puede consultar el complejo de Cauchy-Riemann tangencial (laplaciano de Kohn, complejo de Kohn-Rossi) para la definición del laplaciano de Kohn. Además,${\displaystyle A^{11}}$denota el tensor de torsión de Webster-Tanaka y${\displaystyle \phi _{1}}$la derivada covariante de la función${\displaystyle \phi }$con respecto a la conexión de Webster-Tanaka. Se pueden encontrar descripciones de la conexión de Webster-Tanaka, el tensor de torsión y el tensor de curvatura en artículos de John M. Lee y Sidney M. Webster. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Hay otra forma de ver el operador CR Paneitz en dimensión 3. John M. Lee construyó un operador de tercer orden${\displaystyle P_{3}}$que tiene la propiedad de que el núcleo de${\displaystyle P_{3}}$consiste exactamente en las funciones pluriharmónicas CR (partes reales de las funciones holomorfas CR). ^{[ 5 ]} El operador de Paneitz que se muestra arriba es exactamente la divergencia de este operador de tercer orden.${\displaystyle P_{3}}$El operador de tercer orden${\displaystyle P_{3}}$se define de la siguiente manera:

${\displaystyle P_{3}\phi =({{\phi _{\bar {1}}}^{\bar {1}}}_{1}+{\sqrt {-1}}A_{11}\phi ^{1})\theta ^{1}}$

Aquí${\displaystyle A_{11}}$es el tensor de torsión de Webster-Tanaka. Las derivadas se toman utilizando la conexión de Webster-Tanaka y${\displaystyle \theta ^{1}}$es la 1-forma dual del vector tangente CR-holomorfo que define la estructura CR en la variedad compacta. Por lo tanto,${\displaystyle P_{3}}$envía funciones a${\displaystyle (1,0)}$formas. La divergencia de dicho operador transformará funciones en funciones. El operador de tercer orden construido por J. Lee solo caracteriza las funciones pluriharmónicas CR en variedades CR de dimensión real tres.

Fórmula de transformación covariante de Hirachi para${\displaystyle P_{4}}$La descripción en variedades CR tridimensionales es la siguiente. Sea la variedad CR ${\displaystyle (M,\theta ,J)}$, dónde${\displaystyle \theta }$es el formulario de contacto y${\displaystyle J}$la estructura CR en el núcleo de${\displaystyle \theta }$Eso está en los planos de contacto. Transformemos el formulario de contacto de fondo.${\displaystyle \theta }$mediante una transformación conforme a${\displaystyle {\tilde {\theta }}=e^{2f}\theta }$. Tenga en cuenta que este nuevo formulario de contacto, obtenido mediante un cambio conforme del antiguo formulario de contacto o formulario de contacto de fondo, no ha cambiado el núcleo de${\displaystyle \theta }$. Eso es${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$y${\displaystyle \theta }$tienen el mismo núcleo, es decir, los planos de contacto han permanecido sin cambios. La estructura CR${\displaystyle J}$Se ha mantenido sin cambios. El operador CR Paneitz${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}}$para el nuevo formulario de contacto${\displaystyle {\tilde {\theta }}}$Ahora se considera que está relacionado con el operador CR Paneitz para el formulario de contacto.${\displaystyle \theta }$por la fórmula de Hirachi:

${\displaystyle {\tilde {P}}_{4}=e^{-4f}P_{4}}$

A continuación, observe las formas de volumen en el colector.${\displaystyle M}$satisfacer

${\displaystyle d{\tilde {V}}={\tilde {\theta }}\wedge d{\tilde {\theta }}=e^{4f}\theta \wedge d\theta =e^{4f}dV}$

Utilizando la fórmula de transformación de Hirachi, se deduce que:

${\displaystyle \int _{M}{\tilde {P}}_{4}\phi \phi d{\tilde {V}}=\int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

Por lo tanto, podemos concluir fácilmente que:

${\displaystyle \int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

es un invariante CR. Es decir, la integral mostrada arriba tiene el mismo valor para diferentes formas de contacto que describen la misma estructura CR.${\displaystyle J}$.

El operador${\displaystyle P_{4}}$es un operador autoadjunto real . En variedades CR como${\displaystyle S^{3}}$donde el tensor de torsión de Webster-Tanaka es cero, se observa en la fórmula mostrada anteriormente que solo sobreviven los términos principales que involucran al laplaciano de Kohn. A continuación, a partir de las fórmulas de conmutación de tensores dadas en [5], se puede comprobar fácilmente que los operadores${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$conmutar cuando el tensor de torsión de Webster-Tanaka${\displaystyle A_{11}}$desaparece. Más precisamente uno tiene

${\displaystyle [\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}]=4{\sqrt {-1}}ImQ}$

dónde

${\displaystyle Q\phi =2{\sqrt {-1}}(A_ {11}\phi _ {1})_ {1}}$

De este modo${\displaystyle \Box _{b},{\overline {\Box _{b}}}}$son simultáneamente diagonalizables bajo la suposición de torsión cero. A continuación, observe que${\displaystyle \Box _{b}}$y${\displaystyle {\overline {\Box _{b}}}}$tienen la misma secuencia de autovalores que también son necesariamente reales. Por lo tanto, concluimos de la fórmula para${\displaystyle P_{4}}$que las estructuras CR que tienen torsión cero tienen operadores de Paneitz CR que no son negativos. El artículo [4] entre otras cosas muestra que los elipsoides reales en${\displaystyle C^{2}}$portan una estructura CR heredada de la estructura compleja de${\displaystyle C^{2}}$cuyo operador CR Paneitz es no negativo. Esta estructura CR en elipsoides tiene torsión de Webster-Tanaka no nula. Así, [4] proporciona los primeros ejemplos de variedades CR donde el operador CR Paneitz es no negativo y el tensor de torsión tampoco se anula. Dado que hemos observado anteriormente que el operador CR Paneitz es la divergencia de un operador cuyo núcleo son las funciones pluriharmónicas, también se deduce que el núcleo del operador CR Paneitz contiene todas las funciones pluriharmónicas CR. Por lo tanto, el núcleo del operador CR Paneitz, en marcado contraste con el caso riemanniano, tiene un núcleo de dimensión infinita. Los resultados sobre cuándo el núcleo son exactamente las funciones pluriharmónicas, la naturaleza y el papel del espacio suplementario en el núcleo, etc., se pueden encontrar en el artículo citado como [4] a continuación.

Una de las principales aplicaciones del operador CR Paneitz y los resultados en [3] son ​​al análogo CR del teorema de masa positiva debido a Jih-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi y Paul C. Yang . ^{[ 7 ]} Esto permite obtener resultados sobre el problema CR Yamabe .

Se pueden obtener más datos relacionados con el papel del operador CR Paneitz en la geometría CR en el artículo CR manifold .

• Conjetura de Calabi
• Ecuaciones de Monge-Ampère
• conjetura de masa positiva
• Conjetura de Yamabe

• Branson, Thomas P.; Ørsted, Bent (1991), "Determinantes funcionales explícitos en cuatro dimensiones", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 113 (3): 669– 682, doi : 10.2307/2048601 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2048601 , MR 1050018   .
• Chang, Sun-Yung A. (1999), "Un operador diferencial de cuarto orden en geometría conforme", en M. Christ; C. Kenig; C. Sadorsky (eds.), Análisis armónico y ecuaciones diferenciales parciales; Ensayos en honor de Alberto P. Calderón , Chicago Lectures in Mathematics, pp . 127–150 .
• Paneitz, Stephen M. (2008), "Un operador diferencial cuártico conformemente covariante para variedades pseudoriemannianas arbitrarias (resumen)", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications , 4 : Artículo 036, 3, arXiv : 0803.4331 , Bibcode : 2008SIGMA...4..036P , doi : 10.3842/SIGMA.2008.036 , ISSN 1815-0659 , MR 2393291 , S2CID 115155901   .