Teorema del área de Pappus

El teorema del área de Pappus describe la relación entre las áreas de tres paralelogramos unidos a tres lados de un triángulo arbitrario . Este teorema, que también puede considerarse una generalización del teorema de Pitágoras , recibe su nombre del matemático griego Pappus de Alejandría (siglo IV d. C.), quien lo descubrió.

Dado un triángulo arbitrario con dos paralelogramos arbitrarios unidos a dos de sus lados, el teorema explica cómo construir un paralelogramo sobre el tercer lado, de manera que el área del tercer paralelogramo sea igual a la suma de las áreas de los otros dos paralelogramos.

Sea ABC el triángulo arbitrario y ABDE y ACFG los dos paralelogramos arbitrarios unidos a los lados AB y AC del triángulo. Los lados extendidos del paralelogramo, DE y FG, se intersecan en H. El segmento de recta AH se convierte ahora en el lado del tercer paralelogramo BCML unido al lado BC del triángulo; es decir, se construyen los segmentos de recta BL y CM sobre BC, de modo que BL y CM sean paralelos y tengan la misma longitud que AH. La siguiente identidad se cumple entonces para las áreas (denotadas por A) de los paralelogramos:

${\displaystyle {\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}={\text{A}}_{BCML}}$

Este teorema generaliza el teorema de Pitágoras de dos maneras. En primer lugar, funciona para triángulos arbitrarios, no solo para triángulos rectángulos, y en segundo lugar, utiliza paralelogramos en lugar de cuadrados. Si dos lados de un triángulo arbitrario son cuadrados, se obtiene un paralelogramo de igual área sobre el tercer lado; y si los dos lados son catetos de un ángulo recto, el paralelogramo sobre el tercer lado también será un cuadrado. En un triángulo rectángulo, dos paralelogramos unidos a los catetos del ángulo recto dan como resultado un rectángulo de igual área sobre el tercer lado; y, de nuevo, si los dos paralelogramos son cuadrados, el rectángulo sobre el tercer lado también será un cuadrado.

Debido a que tienen la misma longitud de base y altura, los paralelogramos ABDE y ABUH tienen la misma área, y el mismo razonamiento se aplica a los paralelogramos ACFG y ACVH , ABUH y BLQR , ACVH y RCMQ . Esto ya produce el resultado deseado, ya que tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{A}}_{ABDE}+{\text{A}}_{ACFG}&={\text{A}}_{ABUH}+{\text{A}}_{ACVH}\\&={\text{A}}_{BLQR}+{\text{A}}_{RCMQ}\\&={\text{A}}_{BCML}\end{aligned}}}$

• Howard Eves: La extensión del teorema de Pitágoras según Pappus . The Mathematics Teacher, vol. 51, n.º 7 (noviembre de 1958), págs.  544-546 ( JSTOR ).
• Howard Eves: Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650) . Asociación Matemática de América, 1983, ISBN 9780883853108, pág.  37 ( fragmento , pág. 37, en Google Libros )
• Eli Maor : El teorema de Pitágoras: Una historia de 4000 años . Princeton University Press, 2007, ISBN 9780691125268, págs.  58–59 ( fragmento , pág. 58, en Google Books )
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Pruebas encantadoras: Un viaje a las matemáticas elegantes . MAA, 2010, ISBN 9780883853481, págs.  77–78 ( fragmento , pág. 77, en Google Books )

• El teorema del área de Pappus
• Teorema de Pappus