Coordenadas cilíndricas parabólicas

En matemáticas , las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensional que resulta de proyectar el sistema de coordenadas parabólicas bidimensional en el plano perpendicular.${\displaystyle z}$-dirección. Por lo tanto, las superficies de coordenadas son cilindros parabólicos confocales . Las coordenadas cilíndricas parabólicas han encontrado muchas aplicaciones, por ejemplo, en la teoría del potencial de los bordes.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas ( σ , τ , z ) se definen en términos de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) mediante:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sigma \tau \\y&={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Las superficies de σ constante forman cilindros parabólicos confocales.

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

que se abren hacia + y , mientras que las superficies de τ constante forman cilindros parabólicos confocales

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

que se abren en la dirección opuesta, es decir, hacia −y . Los focos de todos estos cilindros parabólicos se encuentran a lo largo de la línea definida por x = y = 0. El radio r también tiene una fórmula simple.

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$

Esto resulta útil para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi en coordenadas parabólicas para el problema de la fuerza central inversamente proporcional al cuadrado en mecánica ; para más detalles, consulte el artículo sobre el vector de Laplace-Runge-Lenz .

Los factores de escala para las coordenadas cilíndricas parabólicas σ y τ son:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }&=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\\h_{z}&=1\end{aligned}}}$

El elemento infinitesimal de volumen es

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}d\sigma d\tau dz=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})d\sigma \,d\tau \,dz}$

El desplazamiento diferencial viene dado por:

${\displaystyle d\mathbf {l} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+dz\,\mathbf {\hat {z}} }$

El área normal diferencial viene dada por:

${\displaystyle d\mathbf {S} ={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\tau \,dz{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\,d\sigma \,dz{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \mathbf {\hat {z}} }$

Sea f un campo escalar. El gradiente viene dado por

${\displaystyle \nabla f={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+{\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\partial f \over \partial \tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\partial f \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} }$

El laplaciano viene dado por

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$

Sea A un campo vectorial de la forma:

${\displaystyle \mathbf {A} =A_{\sigma }{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}+A_{\tau }{\boldsymbol {\hat {\tau }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}} }$

La divergencia viene dada por

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }) \over \partial \sigma }+{\partial ({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }) \over \partial \tau }\right)+{\partial A_{z} \over \partial z}}$

El rizo viene dado por

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \tau }}-{\frac {\partial A_{\tau }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\sigma }}}-\left({\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial A_{\sigma }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\tau }}}+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\tau }\right)}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial \left({\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}A_{\sigma }\right)}{\partial \tau }}\right)\mathbf {\hat {z}} }$

Otros operadores diferenciales pueden expresarse en las coordenadas ( σ , τ ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .

Relación con las coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \cos \varphi &=\sigma \tau \\\rho \sin \varphi &={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)\\z&=z\end{aligned}}}$

Vectores unitarios parabólicos expresados ​​en términos de vectores unitarios cartesianos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\sigma }}}&={\frac {\tau {\hat {\mathbf {x} }}-\sigma {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\{\boldsymbol {\hat {\tau }}}&={\frac {\sigma {\hat {\mathbf {x} }}+\tau {\hat {\mathbf {y} }}}{\sqrt {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}}}\\\mathbf {\hat {z}} &=\mathbf {\hat {z}} \end{aligned}}}$

Dado que todas las superficies de σ , τ y z constantes son conoides , la ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas parabólicas. Utilizando la técnica de separación de variables , se puede escribir una solución separada para la ecuación de Laplace:

${\displaystyle V=S(\sigma )T(\tau )Z(z)}$

y la ecuación de Laplace, dividida por V , se escribe:

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}$

Dado que la ecuación Z está separada del resto, podemos escribir:

${\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}$

donde m es constante. Z ( z ) tiene la solución:

${\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}}$

Sustituyendo − m ² por${\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}$La ecuación de Laplace ahora se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}$

Ahora podemos separar las funciones S y T e introducir otra constante n ² para obtener:

${\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}$

${\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}$

Las soluciones a estas ecuaciones son las funciones del cilindro parabólico.

${\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}$

${\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}$

Los armónicos del cilindro parabólico para ( m , n ) son ahora el producto de las soluciones. La combinación reducirá el número de constantes y la solución general de la ecuación de Laplace se puede escribir como:

${\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}}$

Las aplicaciones clásicas de las coordenadas cilíndricas parabólicas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , como la ecuación de Laplace o la ecuación de Helmholtz , para las cuales dichas coordenadas permiten la separación de variables . Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea una placa conductora plana semiinfinita.

• Coordenadas parabólicas
• Sistema de coordenadas ortogonales
• Coordenadas curvilíneas

• Morse PM , Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág.  658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Margenau H , Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. pp. 186 –187. LCCN 55010911 .  
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág.  181. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7. 
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag.  96.LCCN 67025285 .​ 
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones and Bartlett. pág.  114. ISBN 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Moon P, Spencer DE (1988). "Coordenadas del cilindro parabólico (μ, ν, z)". Manual de teoría de campos, incluyendo sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª ed. corregida, 3.ª reimpresión  ). Nueva York: Springer-Verlag. pp.  21–24 (Tabla 1.04). ISBN 978-0-387-18430-2.

• Descripción de MathWorld de las coordenadas cilíndricas parabólicas