Álgebra de Lie parabólica

En álgebra , un álgebra de Lie parabólica${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es una subálgebra de un álgebra de Lie semisimple${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$que cumpla una de las dos condiciones siguientes:

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$contiene una subálgebra resoluble máxima (una subálgebra de Borel ) de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$;
• el complemento ortogonal con respecto a la forma de Killing de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es isomorfo al nilradical de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Estas condiciones son equivalentes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero , como los números complejos . Si el cuerpo${\displaystyle \mathbb {F} }$no es algebraicamente cerrado, entonces la primera condición se reemplaza por la suposición de que

• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$contiene una subálgebra de Borel de${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {F} }{\overline {\mathbb {F} }}}$

dónde${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}}$es el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Para el álgebra de Lie lineal general${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )}$, una subálgebra parabólica es el estabilizador de una bandera parcial de${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$, es decir, una secuencia de subespacios lineales anidados. Para una bandera completa, el estabilizador proporciona una subálgebra de Borel. Para un único subespacio lineal${\displaystyle \mathbb {F} ^{k}\subset \mathbb {F} ^{n}}$, se obtiene una subálgebra parabólica maximal${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$y el espacio de posibles elecciones es el Grassmanniano${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$.

En general, para un álgebra de Lie simple compleja${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, las subálgebras parabólicas están en biyección con subconjuntos de raíces simples , es decir, subconjuntos de los nodos del diagrama de Dynkin .

• Variedad generalizada de banderas
• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión

• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (2016) [1989], La transformada de Penrose: su interacción con la teoría de la representación , Dover, ISBN 9780486816623
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  
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• Humphreys, J. (1972), Grupos algebraicos lineales , Springer, ISBN 978-0-387-90108-4