Espacio paracompacto

En matemáticas , un espacio paracompacto es un espacio topológico en el que cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito . Estos espacios fueron introducidos por Dieudonné (1944) . Todo espacio compacto es paracompacto. ^{[ 1 ]} Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal , y un espacio de Hausdorff es paracompacto si ^{[ 2 ]} y solo si admite particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. A veces, los espacios paracompactos se definen de manera que siempre sean de Hausdorff.

Todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Si bien los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff son siempre cerrados, esto no se cumple para los subconjuntos paracompactos. Un espacio tal que todos sus subespacios son paracompactos se denomina paracompacto hereditario . Esto equivale a exigir que todo subespacio abierto sea paracompacto.

La noción de espacio paracompacto también se estudia en topología sin sentido , donde se comporta de manera más regular. Por ejemplo, el producto de cualquier número de lugares paracompactos es un lugar paracompacto, pero el producto de dos espacios paracompactos puede no ser paracompacto. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Compárese esto con el teorema de Tychonoff , que establece que el producto de cualquier colección de espacios topológicos compactos es compacto. Sin embargo, el producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto siempre es paracompacto.

Todo espacio métrico es paracompacto. Un espacio topológico es metrizable si y solo si es un espacio de Hausdorff paracompacto y localmente metrizable .

Definición

La portada de un conjunto $X$ es una colección de subconjuntos de $X$ cuya unión contiene $X$ . En símbolos, si $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ es una familia indexada de subconjuntos de $X$ , entonces $U$ es una portada de $X$ si

X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.

Una cubierta de un espacio topológico $X$ es abierto si todos sus miembros son conjuntos abiertos . Un refinamiento de una cubierta de un espacio $X$ es una nueva cubierta del mismo espacio tal que cada conjunto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta anterior. En símbolos, la cubierta $V=\{V_{\beta}:\beta \en B\}$ es un refinamiento de la portada $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ si y solo si, para cada $V_{\beta }$ en $V$ , existe algo $U_{\alpha }$ en $U$ de tal manera que $V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$ .

Una cubierta abierta de un espacio $X$ es localmente finito si cada punto del espacio tiene un entorno que interseca solo un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, $U=\{U_{\alpha }:\alpha \in A\}$ es localmente finito si y solo si, para cualquier $x$ en $X$ , existe algún vecindario $V$ de $x$ de tal manera que el conjunto

\left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap V\neq \varnothing \right\}

es finito. Un espacio topológico $X$ Ahora se dice que es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito.

Esta definición se extiende textualmente a los lugares, con la excepción de localmente finito: una cubierta abierta. $U$ de $X$ es localmente finito si y solo si el conjunto de se abre $V$ que se intersecan solo un número finito de aberturas en $U$ también forman una cubierta de $X$ . Nótese que una cubierta abierta en un espacio topológico es localmente finita si y solo si es una cubierta localmente finita del espacio local subyacente.

Ejemplos

Todo espacio compacto es paracompacto.
Todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto, por el teorema de Michael en el caso de Hausdorff. ^[⁵^] En particular, todo espacio localmente compacto de Hausdorff con segundo número es paracompacto.
La recta de Sorgenfrey es paracompacta, aunque no es compacta, ni localmente compacta, ni de segundo orden contable, ni metrizable.
Cada complejo CW es paracompacto. ^{[ 6 ]}
( Teorema de AH Stone ) Todo espacio métrico es paracompacto. ^{[ 7 ]} Las primeras demostraciones fueron algo complejas, pero M. E. Rudin halló una demostración elemental . ^{[ 8 ]} Las demostraciones existentes de esto requieren el axioma de elección para el caso no separable . Se ha demostrado que la teoría ZF no es suficiente para probarlo, incluso después de añadir el axioma más débil de elección dependiente . ^{[ 9 ]}
Un espacio de Hausdorff que admite un agotamiento por conjuntos compactos es paracompacto.

Algunos ejemplos de espacios que no son paracompactos incluyen:

El contraejemplo más famoso es la línea larga , que es una variedad topológica no paracompacta . (La línea larga es localmente compacta, pero no segunda numerable).
Otro contraejemplo es un producto de una cantidad incontable de copias de un espacio discreto infinito . Cualquier conjunto infinito que posea la topología de punto particular no es paracompacto; de hecho, ni siquiera es metacompacto .
La variedad de Prüfer P es una superficie no paracompacta. (Es fácil encontrar una cubierta abierta no numerable de P sin ningún tipo de refinamiento).
El teorema de la gaita muestra que hay 2 ^{ℵ ₁} clases de equivalencia topológica de superficies no paracompactas.
El plano de Sorgenfrey no es paracompacto a pesar de ser producto de dos espacios paracompactos.

Propiedades

La paracompacidad es débilmente hereditaria, es decir, todo subespacio cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto. Esto también se puede extender a los subespacios F-sigma . ^{[ 10 ]}

( Teorema de Michael ) Un espacio regular es paracompacto si toda cubierta abierta admite un refinamiento localmente finito, no necesariamente abierto. En particular, todo espacio regular de Lindelöf es paracompacto.
( Teorema de metrización de Smirnov ) Un espacio topológico es metrizable si y solo si es paracompacto, Hausdorff y localmente metrizable.
El teorema de selección de Michael establece que las multifuncionalidades semicontinuas inferiores de X en subconjuntos convexos cerrados no vacíos de espacios de Banach admiten selección continua si y solo si X es paracompacto.

Aunque un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto, se cumplen las siguientes condiciones:

El producto de un espacio paracompacto y un espacio compacto es paracompacto.
El producto de un espacio metacompacto y un espacio compacto es metacompacto.

Ambos resultados pueden demostrarse mediante el lema del tubo , que se utiliza en la prueba de que un producto de un número finito de espacios compactos es compacto.

Espacios Hausdorff paracompactos

En ocasiones, los espacios paracompactos también deben ser Hausdorff para ampliar sus propiedades.

( Teorema de Jean Dieudonné ) Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal .
Todo espacio de Hausdorff paracompacto es un espacio decreciente , es decir, toda cubierta abierta de un espacio de Hausdorff paracompacto tiene una contracción: otra cubierta abierta indexada por el mismo conjunto tal que la clausura de cada conjunto en la nueva cubierta se encuentra dentro del conjunto correspondiente en la cubierta anterior.
En los espacios de Hausdorff paracompactos, la cohomología de haces y la cohomología de Čech son iguales. ^{[ 11 ]}

Particiones de la unidad

La característica más importante de los espacios de Hausdorff paracompactos es que admiten particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta. Esto significa lo siguiente: si X es un espacio de Hausdorff paracompacto con una cubierta abierta dada, entonces existe una colección de funciones continuas en X con valores en el intervalo unitario [0, 1] tales que:

para cada función f : X → R de la colección, existe un conjunto abierto U de la cubierta tal que el soporte de f está contenido en U ;
Para cada punto x en X , existe un entorno V de x tal que todas las funciones de la colección, salvo un número finito de ellas, son idénticamente 0 en V y la suma de las funciones no nulas es idénticamente 1 en V.

De hecho, un espacio T1 _es Hausdorff y paracompacto si y solo si admite particiones de la unidad subordinadas a cualquier cubierta abierta (véase más adelante ). Esta propiedad se utiliza a veces para definir espacios paracompactos (al menos en el caso Hausdorff).

Las particiones de la unidad son útiles porque a menudo permiten extender construcciones locales a todo el espacio. Por ejemplo, la integral de formas diferenciales en variedades paracompactas se define primero localmente (donde la variedad se asemeja al espacio euclidiano y la integral es bien conocida), y esta definición se extiende luego a todo el espacio mediante una partición de la unidad.

Demostración de que los espacios de Hausdorff paracompactos admiten particiones de la unidad.

(Haz clic en "mostrar" a la derecha para ver la prueba o en "ocultar" para ocultarla).

Un espacio Hausdorff $X\,$ es paracompacto si y solo si toda cubierta abierta admite una partición subordinada de la unidad. La condición es sencilla. Ahora, para la condición , lo hacemos en varias etapas.

Lema 1: Si

{\mathcal {O}}\,

Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen conjuntos abiertos.

W_{U}\,

para cada

U\in {\mathcal {O}}\,

, de tal manera que cada

{\bar {W_{U}}}\subseteq U\,

y

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

es un refinamiento localmente finito.

Lema 2: Si

{\mathcal {O}}\,

Si es una cubierta abierta localmente finita, entonces existen funciones continuas.

f_{U}:X\to [0,1]\,

de tal manera que

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

y tal que

f:=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

es una función continua que siempre es distinta de cero y finita.

Teorema: En un espacio de Hausdorff paracompacto

X\,

, si

{\mathcal {O}}\,

Si se trata de una cubierta abierta, entonces existe una partición de la unidad subordinada a ella.

Demostración (Lema 1):

Dejar

{\mathcal {V}}\,

ser la colección de conjuntos abiertos que se encuentran solo con un número finito de conjuntos en

{\mathcal {O}}\,

y cuyo cierre está contenido en un conjunto en

{\mathcal {O}}

. Se puede comprobar como ejercicio que esto proporciona un refinamiento abierto, puesto que los espacios de Hausdorff paracompactos son regulares, y puesto que

{\mathcal {O}}\,

es localmente finito. Ahora reemplace

{\mathcal {V}}\,

mediante un refinamiento abierto localmente finito. Se puede comprobar fácilmente que cada conjunto en este refinamiento tiene la misma propiedad que la que caracterizaba la cubierta original.

Ahora definimos

W_{U}=\bigcup \{A\in {\mathcal {V}}:{\bar {A}}\subseteq U\}\,

. La propiedad de

{\mathcal {V}}\,

garantiza que cada

A\in {\mathcal {V}}

está contenido en algunos

W_{U}

. Por lo tanto

\{W_{U}:U\in {\mathcal {O}}\}\,

es un refinamiento abierto de

{\mathcal {O}}\,

. Dado que tenemos

W_{U}\subseteq U

, esta cobertura es inmediatamente localmente finita.

Ahora queremos demostrar que cada

{\bar {W_{U}}}\subseteq U\,

. Por cada

x\notin U

, demostraremos que

x\notin {\bar {W_{U}}}

. Ya que elegimos

{\mathcal {V}}

para ser localmente finito, hay un vecindario

V[x]

de

x

de tal manera que solo un número finito de conjuntos en

{\mathcal {V}}

tener intersección no vacía con

V[x]

y observamos

A_{1},...,A_{n},...\in {\mathcal {V}}

aquellos en la definición de

W_{U}

Por lo tanto, podemos descomponer

W_{U}

en dos partes:

A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {V}}

que se cruzan

V[x]

y el resto

A\in {\mathcal {V}}

quienes no lo hacen, lo que significa que están contenidos en el conjunto cerrado.

C:=X\setminus V[x]

Ahora tenemos

{\bar {W_{U}}}\subseteq {\bar {A_{1}}}\cup ...\cup {\bar {A_{n}}}\cup C

. Desde

{\bar {A_{i}}}\subseteteq U

y

x\notin U

, tenemos

x\notin {\bar {A_{i}}}

por cada

i

. Y desde entonces

C

es el complemento de un vecindario de

x

,

x

tampoco está en

C

Por lo tanto, tenemos

x\notin {\bar {W_{U}}}

.

Demostración (Lema 2):

Aplicando el Lema 1, sea

f_{U}:X\to [0,1]\,

ser mapas continuos con

f_{U}\upharpoonright {\bar {W}}_{U}=1\,

y

\operatorname {supp} ~f_{U}\subseteq U\,

(por el lema de Urysohn para conjuntos cerrados disjuntos en espacios normales, que es un espacio de Hausdorff paracompacto). Nótese que por soporte de una función, nos referimos aquí a los puntos que no se mapean a cero (y no a la clausura de este conjunto). Para demostrar que

f=\sum _{U\in {\mathcal {O}}}f_{U}\,

siempre es finito y distinto de cero, tome

x\in X\,

y dejar

N\,

un barrio de

x\,

encontrar solo un número finito de conjuntos en

{\mathcal {O}}\,

; de este modo

x\,

pertenece a un número finito de conjuntos en

{\mathcal {O}}\,

; de este modo

f_{U}(x)=0\,

para todos excepto para un número finito de personas

U\,

; además

x\in W_{U}\,

para algunos

U\,

, de este modo

f_{U}(x)=1\,

; entonces

f(x)\,

es finito y

\geq 1\,

Para establecer continuidad, tome

x,N\,

como antes, y dejar

S=\{U\in {\mathcal {O}}:N{\text{ meets }}U\}\,

, que es finito; entonces

f\upharpoonright N=\sum _{U\in S}f_{U}\upharpoonright N\,

, que es una función continua; por lo tanto, la preimagen bajo

f\,

de un barrio de

f(x)\,

será un barrio de

x\,

.

Demostración (Teorema):

Llevar

{\mathcal {O}}^{*}\,

una subcubierta localmente finita de la cubierta de refinamiento:

\{V{\text{ open }}:(\exists {U\in {\mathcal {O}}}){\bar {V}}\subseteq U\}\,

Aplicando el Lema 2, obtenemos funciones continuas.

f_{W}:X\to [0,1]\,

con

\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,

(por lo tanto, la versión cerrada habitual del soporte está contenida en algún

U\in {\mathcal {O}}\,

, para cada

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

; para lo cual su suma constituye una función continua que siempre es finita y distinta de cero (por lo tanto,

1/f\,

es continuo positivo, de valor finito). Así que reemplazando cada

f_{W}\,

por

f_{W}/f\,

, ahora tenemos —manteniendo todo lo demás igual— que su suma está en todas partes.

1\,

. Finalmente para

x\in X\,

, dejando

N\,

ser un vecindario de

x\,

encontrar solo un número finito de conjuntos en

{\mathcal {O}}^{*}\,

, tenemos

f_{W}\upharpoonright N=0\,

para todos excepto para un número finito de personas

W\in {\mathcal {O}}^{*}\,

ya que cada

\operatorname {supp} ~f_{W}\subseteq W\,

. Por lo tanto, tenemos una partición de la unidad subordinada a la cubierta abierta original.

Relación con la compacidad

Existe una similitud entre las definiciones de compacidad y paracompacidad: en la paracompacidad, "subcubierta" se reemplaza por "refinamiento abierto" y "finito" por "localmente finito". Ambos cambios son significativos: si tomamos la definición de paracompacto y cambiamos "refinamiento abierto" por "subcubierta", o "localmente finito" por "finito", obtenemos espacios compactos en ambos casos.

La paracompacidad tiene poco que ver con la noción de compacidad, sino más bien con la división de entidades espaciales topológicas en partes manejables.

Comparación de propiedades con compacidad

La paracompacidad es similar a la compacidad en los siguientes aspectos:

Todo subconjunto cerrado de un espacio paracompacto es paracompacto.
Todo espacio de Hausdorff paracompacto es normal . ^{[ 10 ]}

Es diferente en estos aspectos:

Un subconjunto paracompacto de un espacio de Hausdorff no tiene por qué ser cerrado. De hecho, en los espacios métricos, todos los subconjuntos son paracompactos.
Un producto de espacios paracompactos no tiene por qué ser paracompacto. El cuadrado de la recta real R en la topología del límite inferior es un ejemplo clásico de esto.

Variaciones

Existen varias variantes del concepto de paracompacidad. Para definirlas, primero necesitamos ampliar la lista de términos anterior:

Un espacio topológico es:

metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito de punto abierto.
ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto tal que la intersección de todos los conjuntos abiertos alrededor de cualquier punto en este refinamiento es abierta.
completamente normal si cada cubierta abierta tiene un refinamiento de estrella abierta , y completamente T ₄ si es completamente normal y T ₁ (ver axiomas de separación ).

El adverbio " contablemente " se puede agregar a cualquiera de los adjetivos "paracompacto", "metacompacto" y "totalmente normal" para que el requisito se aplique solo a las cubiertas abiertas contables .

Todo espacio paracompacto es metacompacto, y todo espacio metacompacto es ortocompacto.

Definición de términos relevantes para las variaciones

Dado un recubrimiento y un punto, la estrella del punto en el recubrimiento es la unión de todos los conjuntos en el recubrimiento que contienen el punto. En símbolos, la estrella de x en U = { U _α : α en A } es

\mathbf {U} ^{*}(x):=\bigcup _{U_{\alpha }\ni x}U_{\alpha }.

La notación para la estrella no está estandarizada en la literatura, y esta es solo una posibilidad.

Un refinamiento estrella de una cubierta de un espacio X es una cubierta del mismo espacio tal que, dado cualquier punto en el espacio, la estrella del punto en la nueva cubierta es un subconjunto de algún conjunto en la cubierta antigua. En símbolos, V es un refinamiento estrella de U = { U _α : α en A } si para cualquier x en X , existe un U _α en U tal que V ^* ( x ) está contenido en U _α .
Una cubierta de un espacio X es puntualmente finita (o puntualmente finita ) si cada punto del espacio pertenece solo a un número finito de conjuntos en la cubierta. En símbolos, U es puntualmente finita si para cualquier x en X , el conjunto $\left\{\alpha \in A:x\in U_{\alpha }\right\}$ es finito.

Como su nombre lo indica, un espacio completamente normal es normal y un espacio completamente T⁴ es T⁴ _._Todo espacio completamente T⁴ _es paracompacto. De hecho, para los espacios de Hausdorff, la paracompacidad y la normalidad completa son equivalentes. Por lo tanto, un espacio completamente T⁴ _es lo mismo que un espacio de Hausdorff paracompacto.

Sin la propiedad de Hausdorff, los espacios paracompactos no son necesariamente completamente normales. Cualquier espacio compacto que no sea regular sirve como ejemplo.

Nota histórica: los espacios completamente normales fueron definidos antes que los espacios paracompactos, en 1940, por John W. Tukey . ^{[ 12 ]} La prueba de que todos los espacios metrizables son completamente normales es sencilla. Cuando A. H. Stone demostró que para los espacios de Hausdorff la normalidad completa y la paracompacidad son equivalentes, demostró implícitamente que todos los espacios metrizables son paracompactos. Posteriormente, Ernest Michael dio una prueba directa de este último hecho y M. E. Rudin dio otra prueba elemental.

Véase también

Notas

↑ Munkres 2000 , págs. 252.
↑ Dugundji 1966 , págs. 170, Teorema 4.2.
↑ Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología sin sentido" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 8 (1): 41– 53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 .
↑ Dugundji 1966 , págs. 165 Teorema 2.4.
↑ No es difícil dar una demostración directa que no utilice Hausdorff.
↑ Hatcher, Allen , Vector bundles and K-theory , versión preliminar disponible en la página web del autor.
↑ Stone, AH Paracompacidad y espacios producto . Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977–982
↑ Rudin, Mary Ellen (febrero de 1969). "Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .
↑ Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (abril de 1998). "Sobre el teorema de Stone y el axioma de elección" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 126 (4): 1211– 1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .
^ Dugundji 1966 , págs.165, teorema 2.2.
↑ Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization , Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.
↑ Tukey, John W. (1940). Convergencia y uniformidad en topología . Anales de estudios matemáticos. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, NJ pp. ix+90. MR 0002515 .

Referencias

Dieudonné, Jean (1944), "Une généralisation des espaces compacts", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 23 : 65– 76, ISSN 0021-7824 , MR 0013297
Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7OCLC 395340485
Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach, Jr. , Contraejemplos en topología (2.ª ed.) , Springer Verlag , 1978, ISBN 3-540-90312-7Pág. 23.
Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9OCLC 42683260 . ( Accesible para usuarios con discapacidades visuales )
Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.
Mathew, Akhil (18 de agosto de 2010). "Topología/Paracompacidad" .

Enlaces externos

"Espacio paracompacto" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

[FOOTNOTEMunkres2000252-1] Munkres 2000 , págs. 252.

[FOOTNOTEDugundji1966170,_Theorem_4.2-2] Dugundji 1966 , págs. 170, Teorema 4.2.

[3] Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología sin sentido" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 8 (1): 41– 53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 .

[FOOTNOTEDugundji1966165_Theorem_2.4-4] Dugundji 1966 , págs. 165 Teorema 2.4.

[5] No es difícil dar una demostración directa que no utilice Hausdorff.

[6] Hatcher, Allen , Vector bundles and K-theory , versión preliminar disponible en la página web del autor.

[7] Stone, AH Paracompacidad y espacios producto . Bull. Amer. Math. Soc. 54 (1948), 977–982

[8] Rudin, Mary Ellen (febrero de 1969). "Una nueva prueba de que los espacios métricos son paracompactos" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 20 (2): 603. doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0236876-3 .

[9] Good, C.; Tree, IJ; Watson, WS (abril de 1998). "Sobre el teorema de Stone y el axioma de elección" . Actas de la Sociedad Matemática Americana . 126 (4): 1211– 1218. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04163-X .

[FOOTNOTEDugundji1966165,_Theorem_2.2-10] Dugundji 1966 , págs.165, teorema 2.2.

[11] Brylinski, Jean-Luc (2007), Loop Spaces, Characteristic Classes and Geometric Quantization , Progress in Mathematics, vol. 107, Springer, p. 32, ISBN 9780817647308.

[12] Tukey, John W. (1940). Convergencia y uniformidad en topología . Anales de estudios matemáticos. Vol. 2. Princeton University Press, Princeton, NJ pp. ix+90. MR 0002515 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]