Paradojas de la teoría de conjuntos

La teoría de conjuntos, tal como la concibió Georg Cantor, presupone la existencia de conjuntos infinitos. Como esta suposición no puede probarse a partir de primeros principios, se ha introducido en la teoría axiomática de conjuntos mediante el axioma del infinito , que afirma la existencia del conjunto N de los números naturales. Todo conjunto infinito que puede enumerarse mediante números naturales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que N y se dice que es numerable. Ejemplos de conjuntos infinitos numerables son los números naturales, los números pares, los números primos y también todos los números racionales , es decir, las fracciones. Estos conjuntos tienen en común el número cardinal | N | ​​=${\displaystyle \aleph _{0}}$(alef-cero), un número mayor que cualquier número natural.

Los números cardinales se pueden definir de la siguiente manera. Definimos dos conjuntos del mismo tamaño si existe una biyección entre ellos (una correspondencia biunívoca entre sus elementos). Por definición, un número cardinal es una clase que comprende todos los conjuntos del mismo tamaño. El hecho de que dos conjuntos tengan el mismo tamaño constituye una relación de equivalencia , y los números cardinales son las clases de equivalencia .

Además de la cardinalidad, que describe el tamaño de un conjunto, los conjuntos ordenados también forman parte de la teoría de conjuntos. El axioma de elección garantiza que todo conjunto puede ser bien ordenado , lo que significa que se puede imponer un orden total a sus elementos de tal manera que todo subconjunto no vacío tenga un primer elemento con respecto a ese orden. El orden de un conjunto bien ordenado se describe mediante un número ordinal . Por ejemplo, 3 es el número ordinal del conjunto {0, 1, 2} con el orden usual 0 < 1 < 2; y ω es el número ordinal del conjunto de todos los números naturales ordenados de la manera usual. Si despreciamos el orden, nos queda el número cardinal | N |  ​​=  |ω|  = ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Los números ordinales se definen con el mismo método que los números cardinales. Para definir dos conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden , existe una biyección entre ellos que respeta dicho orden: los elementos menores se corresponden con otros elementos menores. Por definición, un número ordinal es una clase que comprende todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden. El hecho de que un conjunto tenga el mismo tipo de orden constituye una relación de equivalencia en la clase de conjuntos bien ordenados, y los números ordinales son las clases de equivalencia.

Dos conjuntos del mismo tipo de orden tienen la misma cardinalidad. Lo contrario no es cierto en general para conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenamientos adecuados al conjunto de los números naturales que den lugar a diferentes números ordinales.

Existe un orden natural en los ordinales, que a su vez es un buen orden. Dado cualquier ordinal α, se puede considerar el conjunto de todos los ordinales menores que α. Este conjunto resulta tener el número ordinal α. Esta observación se utiliza para introducir los ordinales de una manera diferente, en la que un ordinal se equipara con el conjunto de todos los ordinales menores. Esta forma de número ordinal es, por lo tanto, una representación canónica de la forma anterior de clase de equivalencia.

Todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las posibles combinaciones de sus elementos) forman el conjunto potencia P ( S ). Georg Cantor demostró que el conjunto potencia siempre es mayor que el conjunto, es decir, | P ( S )| > | S |. Un caso especial del teorema de Cantor es que el conjunto de todos los números reales R no puede ser enumerado por números naturales, es decir, R es incontable: | R | > | N |.

Antes de la introducción de la teoría de conjuntos, la noción del tamaño de un conjunto había sido problemática. Galileo Galilei y Bernard Bolzano , entre otros, la habían debatido . ¿Existen tantos números naturales como cuadrados de números naturales, según el método de enumeración?

• La respuesta es sí, porque para cada número natural n hay un número cuadrado n² ^, y viceversa.
• La respuesta es no, porque los cuadrados son un subconjunto propio de los números naturales: todo cuadrado es un número natural, pero hay números naturales, como el 2, que no son cuadrados de números naturales.

El problema se puede resolver definiendo el tamaño de un conjunto en función de su cardinalidad. Dado que existe una biyección entre los dos conjuntos, por definición tienen la misma cardinalidad.

La paradoja del Grand Hotel de Hilbert ilustra más paradojas de enumeración.

"Lo veo, pero no lo creo", escribió Cantor a Richard Dedekind después de demostrar que el conjunto de puntos de un cuadrado tiene la misma cardinalidad que la de los puntos en un borde del cuadrado: la cardinalidad del continuo .

Esto demuestra que el "tamaño" de los conjuntos, definido únicamente por la cardinalidad, no es la única forma útil de compararlos. La teoría de la medida proporciona una teoría del tamaño más matizada que se ajusta a nuestra intuición de que la longitud y el área son medidas de tamaño incompatibles.

La evidencia sugiere firmemente que Cantor confiaba bastante en el resultado en sí y que su comentario a Dedekind se refiere, en cambio, a sus dudas, aún latentes en aquel entonces, sobre la validez de su demostración. ^{[ 1 ]} Sin embargo, la observación de Cantor también serviría para expresar la sorpresa que tantos matemáticos posteriores a él experimentaron al encontrarse por primera vez con un resultado tan contraintuitivo.

En 1904, Ernst Zermelo demostró, mediante el axioma de elección (introducido precisamente para este fin), que todo conjunto puede ser bien ordenado. En 1963, Paul J. Cohen demostró que, en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sin el axioma de elección no es posible demostrar la existencia de un buen ordenamiento de los números reales.

Sin embargo, la capacidad de ordenar bien cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han denominado paradójicas. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , un teorema ampliamente considerado contraintuitivo. Este teorema afirma que es posible descomponer una bola de radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y reensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin escalado) para obtener dos copias de la copia original. La construcción de estas piezas requiere el axioma de elección; las piezas no son regiones simples de la bola, sino subconjuntos complejos .

Tristram Shandy , el protagonista de una novela de Laurence Sterne , escribe su autobiografía con tal meticulosidad que tarda un año en plasmar los sucesos de un solo día. Si es mortal, nunca podrá terminar; pero si viviera eternamente, ninguna parte de su diario quedaría sin escribir, pues a cada día de su vida le correspondería un año dedicado a su descripción.

Una versión ampliada de este tipo de paradoja traslada el final infinitamente remoto a un tiempo finito. Llene un enorme depósito con bolas numeradas del 1 al 10 y retire la bola número 1. Luego, agregue las bolas numeradas del 11 al 20 y retire la número 2. Continúe agregando bolas numeradas del 10n - 9 al 10n y retirando la bola número n para todos los números naturales n = 3, 4, 5, .... Supongamos que la primera transacción dura media hora, la segunda un cuarto de hora, y así sucesivamente, de modo que todas las transacciones finalizan después de una hora. Obviamente, el conjunto de bolas en el depósito crece indefinidamente. Sin embargo, después de una hora el depósito está vacío porque se conoce el tiempo de extracción de cada bola.

La paradoja se ve acentuada por la importancia de la secuencia de extracción. Si las bolas no se extraen en la secuencia 1, 2, 3, ... sino en la secuencia 1, 11, 21, ... después de una hora, el depósito se llenará con una cantidad infinita de bolas, aunque se haya movido la misma cantidad de material que antes.

En 1897, el matemático italiano Cesare Burali-Forti descubrió lo que hoy se conoce como la paradoja de Burali-Forti : el conjunto de todos los números ordinales no existe. Si existiera, estaría bien ordenado y, por lo tanto, determinaría un número ordinal Ω, lo que lleva a la contradicción Ω < Ω.

A finales del siglo XIX, Cantor era consciente de la inexistencia del conjunto de todos los números cardinales y del conjunto de todos los números ordinales. En cartas a David Hilbert y Richard Dedekind, escribió sobre conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no pueden considerarse como si estuvieran todos juntos, y utilizó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal.

Bertrand Russell describió lo que hoy se conoce como la paradoja de Russell en una carta de 1902: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, { x | x no es un elemento de x }, no puede existir. Si existiera, tanto la suposición de que se contiene a sí mismo como la de que no se contiene a sí mismo conducirían a una contradicción. El propio Russell explicó esta idea abstracta mediante imágenes muy concretas. Un ejemplo, conocido como la paradoja del barbero , afirma: El barbero que afeita solo a los hombres que no se afeitan a sí mismos tiene que afeitarse solo si no se afeita.

Existen grandes similitudes entre la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos y la paradoja de Grelling-Nelson , que demuestra una paradoja en el lenguaje natural.

Basándose en el trabajo del matemático alemán Leopold Löwenheim (1915), el lógico noruego Thoralf Skolem demostró en 1922 que toda teoría consistente del cálculo de predicados de primer orden , como la teoría de conjuntos, tiene un modelo a lo sumo numerable . Sin embargo, el teorema de Cantor prueba que existen conjuntos no numerables. La raíz de esta aparente paradoja reside en que la numerabilidad o no numerabilidad de un conjunto no siempre es absoluta , sino que puede depender del modelo en el que se mide la cardinalidad. Es posible que un conjunto sea no numerable en un modelo de teoría de conjuntos, pero numerable en un modelo más amplio (porque las biyecciones que establecen la numerabilidad están presentes en el modelo más amplio, pero no en el más pequeño).