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Paradojas del infinito

Paradojas del infinito (en alemán: Paradoxien des Unendlichen ) es un tratado publicado póstumamente por el filósofo, teólogo y matemático bohemio Bernard Bolzano (1781-1848). E...

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Paradojas del infinito (en alemán: Paradoxien des Unendlichen ) es un tratado publicado póstumamente por el filósofo, teólogo y matemático bohemio Bernard Bolzano (1781-1848). Editado por su antiguo alumno František Přihonský y publicado en Leipzig en 1851, el libro examina las «paradojas» relacionadas con el infinito en matemáticas, geometría, física y metafísica, con el objetivo de demostrar que tales paradojas no son contradicciones genuinas una vez que se precisan los conceptos relevantes. La obra se suele debatir en la prehistoria de la teoría de conjuntos por su detallada defensa del infinito real (completo) y su análisis de las correspondencias biunívocas entre «multitudes» infinitas y sus partes, temas que posteriormente serían centrales en la obra de Dedekind y Cantor sobre colecciones infinitas. [ 1 ] [ 2 ]

Antecedentes y publicación

Según el prefacio del editor de Přihonský, Bolzano comenzó a escribir el libro en 1847 mientras se alojaba con el editor en Liboch (cerca de Mělník) y lo completó en el verano de 1848, el último año de su vida. [ 3 ] Tras recibir el manuscrito de los herederos de Bolzano, Přihonský lo preparó para su publicación corrigiendo pasajes, mejorando la legibilidad y añadiendo una sinopsis detallada del contenido; fechó su prefacio desde Bautzen (Budissin) el 10 de julio de 1850 y eligió Leipzig en parte para una mayor distribución. [ 3 ] La primera edición apareció en 1851 con la editorial de Leipzig CH Reclam. [ 4 ]

Descripción general y estructura

La obra está organizada en 70 secciones numeradas. Una sinopsis proporcionada por el editor indica el arco principal del libro: [ 5 ]

  • §§1–19: concepciones contrapuestas del infinito en matemáticas y filosofía; la “objetividad” de los conceptos relevantes; y ejemplos destinados a motivar la existencia de multitudes infinitas (por ejemplo, verdades, números, cantidades y la divisibilidad del tiempo y el espacio). [ 5 ]
  • §§20–23: la “relación notable” de emparejar miembros de dos multitudes infinitas de modo que nada quede sin emparejar (una correspondencia uno a uno), y la tensión resultante entre la equinumerosidad y la intuición de parte-todo. [ 5 ]
  • §§24–37: “cálculo con el infinito”, incluyendo la discusión de lo infinitamente grande e infinitamente pequeño, las restricciones en el uso del cero y las condiciones bajo las cuales las sumas infinitas pueden tratarse como iguales. [ 5 ]
  • §§38–49: paradojas vinculadas al continuo, al tiempo y al espacio, incluyendo un análisis crítico de afirmaciones que involucran magnitud infinita o partes infinitesimales; ejemplos incluyen preguntas sobre curvatura infinita y otras “relaciones paradójicas” de extensiones espaciales. [ 5 ]
  • §§50–70: paradojas en física y metafísica, incluyendo argumentos sobre la individuación (por ejemplo, la negación de que existan dos cosas “totalmente iguales”) y consecuencias relacionadas para el atomismo y la estructura del mundo físico. [ 5 ]

Temas clave

El infinito real y la “inocuidad” de la paradoja

El proyecto declarado de Bolzano consiste en tratar las paradojas que rodean al infinito como contradicciones aparentes, más que reales. En debates históricos posteriores, esto se describe a menudo como una defensa sistemática del infinito real dentro de las matemáticas, combinada con un intento de aclarar qué principios del razonamiento finito fallan (o requieren modificación) en contextos infinitos. [ 6 ]

Colecciones, multitudes y terminología

Bolzano distingue varios tipos de «colecciones» en las primeras secciones del tratado, separando la idea general de una colección ( Inbegriff ) del caso especial de una multitud ( Menge ), en la que la disposición de las partes se considera irrelevante. Los comentaristas modernos suelen traducir Menge como «multitud» para evitar incorporar supuestos cantorianos posteriores al marco de Bolzano. [ 7 ]

Correspondencia uno a uno y la tensión entre la parte y el todo.

Una parte central del libro analiza la posibilidad de emparejar elementos de dos multitudes infinitas de manera que cada elemento de cualquiera de ellas aparezca en exactamente un par (lo que posteriormente se denomina biyección en matemáticas). Bolzano observa que tal emparejamiento puede darse incluso cuando una multitud está contenida en la otra (en un sentido intuitivo de parte-todo), y argumenta que, a diferencia del caso finito, el emparejamiento por sí solo no siempre es suficiente para concluir la «igualdad respecto a la pluralidad». [ 6 ] Por lo tanto, recurre a condiciones adicionales (a menudo denominadas «fundamentos determinantes» o una «forma de ser formada» compartida) para justificar las afirmaciones de igualdad o proporción para multitudes infinitas en casos específicos. [ 8 ]

Esta postura se contrasta frecuentemente con la teoría de conjuntos de finales del siglo XIX, en la que Dedekind y Cantor elevaron la correspondencia uno a uno a un criterio primario para comparar tamaños de colecciones infinitas. [ 9 ]

Cantidades infinitas y sumas infinitas

En las secciones que tratan sobre el “cálculo con el infinito”, Bolzano rechaza varios usos informales de infinitesimales y magnitudes infinitas (incluido el considerar la división por cero como significativa) e intenta establecer restricciones bajo las cuales las operaciones que involucran cantidades infinitamente pequeñas o grandes pueden ser consistentes. [ 5 ] Estudios recientes han reexaminado estas partes del libro, argumentando que las ideas maduras de Bolzano se comprenden mejor no como precursoras de la aritmética cardinal cantoriana, sino como una teoría de sumas infinitas con su propia estructura algebraica. [ 10 ]

Recepción e influencia

El libro de Bolzano se publicó póstumamente y (según algunos relatos) tuvo un impacto inmediato limitado en el desarrollo posterior de las matemáticas. [ 6 ] Sin embargo, autores posteriores en la historia de la lógica y la teoría de conjuntos han resaltado su papel como un intento temprano y sostenido de analizar colecciones infinitas y los principios que rigen su comparación. [ 6 ] En particular, la Encyclopædia Britannica señala que Dedekind y Cantor hicieron un uso explícito de mapeos biyectivos como herramienta para “medir” conjuntos, y que Dedekind formuló una definición de un conjunto infinito en términos de correspondencia con una parte propia, una idea estrechamente relacionada con las correspondencias tratadas en Paradoxien des Unendlichen . [ 9 ]

El libro también ha atraído la atención en la enseñanza de las matemáticas y la filosofía de las matemáticas como una fuente históricamente rica de argumentos y ejemplos sobre el infinito, especialmente donde el razonamiento intuitivo de parte-todo entra en conflicto con la comparación basada en correspondencias. [ 11 ]

Ediciones y traducciones

  • Paradoxien des Unendlichen (Leipzig: CH Reclam, 1851), editado por František Přihonský. [ 12 ]
  • Paradojas del infinito (Londres: Routledge & Kegan Paul, 1950), traducido de la edición póstuma y provisto de una introducción histórica de Donald A. Steele, SJ [ 13 ]
  • Reimpresión de Routledge (Routledge Revivals, 2014). [ 14 ]
  • Traducción al inglés incluida en: Steve Russ (ed.), The Mathematical Works of Bernard Bolzano (Oxford: Oxford University Press , 2004). [ 15 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Ferreirós, José (2025). "El desarrollo temprano de la teoría de conjuntos" . En Zalta, Edward N. (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford . Recuperado el 5 de diciembre de 2025 .
  2. ↑ Spade, Paul Vincent. "Historia de la lógica: Georg Cantor" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 5 de diciembre de 2025 .
  3. 1 2 Bolzano, Bernard (2004). «Prefacio del editor ( Paradojas del infinito )». En Russ, Steve (ed.). Obras matemáticas de Bernard Bolzano . Oxford: Oxford University Press.
  4. ^ Bolzano, Bernard (1851). Přihonský, František (ed.). Paradoxien des Unendlichen (en alemán). Leipzig: CH Reclam.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 Bolzano, Bernard (2004). «Sinopsis del contenido ( Paradojas del infinito )». En Russ, Steve (ed.). Obras matemáticas de Bernard Bolzano . Oxford: Oxford University Press.
  6. 1 2 3 4 Ferreirós, José (2025). "El desarrollo temprano de la teoría de conjuntos" . En Zalta, Edward N. (ed.). La enciclopedia de filosofía de Stanford . Recuperado el 5 de diciembre de 2025 .
  7. ↑ Trlifajová, Kateřina (2017). "Las cantidades infinitas de Bolzano". Fundamentos de la ciencia . 23 (4): 681– 704. arXiv : 1711.01603 . doi : 10.1007/s10699-018-9549-z .
  8. ↑ Trlifajová, Kateřina (2017). "Las cantidades infinitas de Bolzano". Fundamentos de la ciencia . 23 (4): 681– 704. arXiv : 1711.01603 . doi : 10.1007/s10699-018-9549-z .
  9. 1 2 Spade, Paul Vincent. "Historia de la lógica: Georg Cantor" . Encyclopædia Britannica . Consultado el 5 de diciembre de 2025 .
  10. ↑ Bellomo, Anna; Massas, Guillaume (2023). "El infinito matemático de Bolzano". The Review of Symbolic Logic . 16 (1): 59– 113. doi : 10.1017/S1755020321000010 .
  11. ↑ Waldegg, Guillermo (2005). "El enfoque de Bolzano sobre las paradojas del infinito: implicaciones para la enseñanza". Science & Education . 14 ( 8–9 ): 679–702 . doi : 10.1007/s11191-004-5290-3 (inactivo el 10 de diciembre de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde diciembre de 2025 ( enlace )
  12. ^ Bolzano, Bernard (1851). Přihonský, František (ed.). Paradoxien des Unendlichen (en alemán). Leipzig: CH Reclam.
  13. ↑ Bolzano, Bernard (1950). Paradojas del infinito . Traducido por Steele, Donald A. Londres: Routledge & Kegan Paul.
  14. ↑ Bolzano, Bernard (2014). Paradojas del infinito . Traducido por Steele, Donald A. ( Edición reimpresa). Routledge. 
  15. ↑ Russ, Steve (2004). Las obras matemáticas de Bernard Bolzano . Oxford: Oxford University Press.

Lecturas adicionales

  • Mancosu, Paolo (2009). “Medición del tamaño de colecciones infinitas de números naturales: ¿Era inevitable la teoría de los números infinitos de Cantor?” The Review of Symbolic Logic 2(4): 612–646. doi:10.1017/S1755020309990128.
  • Rusnock, Paul (2013). “Sobre el concepto de suma de Bolzano”. History and Philosophy of Logic 34(2): 155–169. doi:10.1080/01445340.2013.766399.
  • Reimpresión de 1920 (en alemán)