Conjunto paradójico

En teoría de conjuntos , un conjunto paradójico es un conjunto que tiene una descomposición paradójica . Una descomposición paradójica de un conjunto consiste en dos familias de subconjuntos disjuntos, junto con acciones de grupo apropiadas que actúan sobre algún universo (del cual el conjunto en cuestión es un subconjunto), de tal manera que cada partición puede mapearse de nuevo sobre todo el conjunto utilizando solo un número finito de funciones distintas (o composiciones de las mismas) para realizar el mapeo. Un conjunto que admite tal descomposición paradójica donde las acciones pertenecen a un grupo${\displaystyle G}$se llama${\displaystyle G}$-paradójico o paradójico con respecto a${\displaystyle G}$.

Los conjuntos paradójicos existen como consecuencia del Axioma del Infinito . Admitir clases infinitas como conjuntos es suficiente para permitir la existencia de conjuntos paradójicos.

Supongamos que un grupo${\displaystyle G}$actúa en un escenario${\displaystyle A}$. Entonces${\displaystyle A}$es${\displaystyle G}$-paradójico si existen subconjuntos disjuntos${\displaystyle A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A}$y algunos elementos del grupo${\displaystyle g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\in G}$de tal manera que: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})}$y${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})}$

• Patológico (matemáticas)