Conjunto paradójico

En teoría de conjuntos , un conjunto paradójico es un conjunto que tiene una descomposición paradójica . Una descomposición paradójica de un conjunto son dos familias de subconjuntos disjuntos, junto con acciones grupales apropiadas que actúan sobre algún universo (del cual el conjunto en cuestión es un subconjunto), de modo que cada partición se puede mapear de nuevo sobre el conjunto completo utilizando solo un número finito de funciones distintas (o composiciones de las mismas) para lograr la asignación. Un conjunto que admite tal descomposición paradójica donde las acciones pertenecen a un grupo se llama -paradójico o paradójico con respecto a . ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$

Los conjuntos paradójicos existen como consecuencia del Axioma de Infinito . Admitir clases infinitas como conjuntos es suficiente para permitir los conjuntos paradójicos.

Supóngase que un grupo actúa sobre un conjunto . Entonces es -paradójico si existen algunos subconjuntos disjuntos y algunos elementos del grupo tales que: ^[1]${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización G}$${\displaystyle A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A}$${\displaystyle g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\en G}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})}$y${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})}$

El grupo libre F en dos generadores a,b tiene la descomposición donde e es la palabra identidad y es la colección de todas las palabras (reducidas) que comienzan con la letra i . Esta es una descomposición paradójica porque${\displaystyle F=\{e\}\cup X(a)\cup X(a^{-1})\cup X(b)\cup X(b^{-1})}$${\estilo de visualización X(i)}$${\displaystyle X(a)\cup aX(a^{-1})=F=X(b)\cup bX(b^{-1}).}$

El ejemplo más famoso de conjuntos paradójicos es la paradoja de Banach-Tarski , que divide la esfera en conjuntos paradójicos para el grupo ortogonal especial . Este resultado depende del axioma de elección .

• Patológico (matemáticas)