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Teorema de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos , también conocido como teorema de Huygens - Steiner o simplemente teorema de Steiner , [ 1 ] llamado así en honor a Christiaan Huygens y Jakob ...

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El teorema de los ejes paralelos , también conocido como teorema de Huygens - Steiner o simplemente teorema de Steiner , [ 1 ] llamado así en honor a Christiaan Huygens y Jakob Steiner , puede utilizarse para determinar el momento de inercia o el segundo momento de área de un cuerpo rígido con respecto a cualquier eje, dado el momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad del objeto y la distancia perpendicular entre los ejes.

momento de inercia de masa

El momento de inercia de masa de un cuerpo alrededor de un eje se puede determinar a partir del momento de inercia de masa alrededor de un eje paralelo que pasa por el centro de masa.

Supongamos que un cuerpo de masa m gira alrededor de un eje z que pasa por su centro de masa . El cuerpo tiene un momento de inercia I cm con respecto a este eje. El teorema de los ejes paralelos establece que si el cuerpo gira alrededor de un nuevo eje z ′ , paralelo al primer eje y desplazado de él una distancia d , entonces el momento de inercia I con respecto al nuevo eje se relaciona con I cm mediante

I=Idometro+metrod2.{\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}.}

Explícitamente, d es la distancia perpendicular entre los ejes z y z ′ .

El teorema de los ejes paralelos se puede aplicar junto con la regla de estiramiento y el teorema de los ejes perpendiculares para hallar los momentos de inercia de diversas formas.

Regla de ejes paralelos para el momento de inercia del área

Derivación

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad , que en un sistema de coordenadas cartesianas la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masa se encuentra en el origen. El momento de inercia con respecto al eje z es entonces

Idometro=∫(incógnita2+y2)dmetro.{\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm.}

El momento de inercia con respecto al eje z ′ , que se encuentra a una distancia D del centro de masa a lo largo del eje x , es

I=∫[(incógnita−D)2+y2]dmetro.{\displaystyle I=\int \left[(xD)^{2}+y^{2}\right]\,dm.}

Al expandir los paréntesis se obtiene

I=∫(incógnita2+y2)dmetro+D2∫dmetro−2D∫incógnitadmetro.{\displaystyle I=\int (x^{2}+y^{2})\,dm+D^{2}\int dm-2D\int x\,dm.}

El primer término es 1 cm y el segundo término se convierte en MD² . La integral en el último término es un múltiplo de la coordenada x del centro de masa , que es cero ya que el centro de masa se encuentra en el origen. Por lo tanto, la ecuación se convierte en: 

I=Idometro+METROD2.{\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+MD^{2}.}

Generalización tensorial

El teorema de los ejes paralelos se puede generalizar a cálculos que involucran el tensor de inercia . [ 2 ] Sea I ij el tensor de inercia de un cuerpo calculado en el centro de masa. Entonces, el tensor de inercia J ij calculado con respecto a un nuevo punto es

Jij=Iij+metro(|R|2δij−RiRj),{\displaystyle J_{ij}=I_{ij}+m\left(|\mathbf {R} |^{2}\delta _{ij}-R_{i}R_{j}\right),}

dóndeR=R1incógnita^+R2y^+R3z^{\displaystyle \mathbf {R} =R_{1}\mathbf {\hat {x}} +R_{2}\mathbf {\hat {y}} +R_{3}\mathbf {\hat {z}} \!}es el vector de desplazamiento desde el centro de masa hasta el nuevo punto, y δ ij es la delta de Kronecker .

Para elementos diagonales (cuando i = j ), los desplazamientos perpendiculares al eje de rotación dan como resultado la versión simplificada anterior del teorema de los ejes paralelos.

La versión generalizada del teorema de los ejes paralelos se puede expresar en forma de notación independiente de coordenadas como

J=I+metro[(R⋅R)mi3−R⊗R],{\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {I} +m\left[\left(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} \right)\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} \right],}

donde E 3 es la matriz identidad de 3 × 3 y⊗{\displaystyle \otimes }es el producto exterior .

Una generalización adicional del teorema de los ejes paralelos proporciona el tensor de inercia respecto de cualquier conjunto de ejes ortogonales paralelos al conjunto de ejes de referencia x, y y z, asociado con el tensor de inercia de referencia, independientemente de si pasan o no por el centro de masa. [ 2 ] En esta generalización, el tensor de inercia puede dejar de calcularse respecto de cualquier punto de referencia.RrmiF{\displaystyle \mathbf {R} _{ref}}a algún punto de referencia finalRF{\displaystyle \mathbf {R} _{F}}a través de la matriz relacionalMETRO{\displaystyle M}como:

IF=IrmiF+metro(METRO[R,R]−2METRO[R,do]){\displaystyle I_{F}=I_{\mathrm {ref} }+m(M[\mathbf {R} ,\mathbf {R} ]-2M[\mathbf {R} ,\mathbf {C} ])}

dóndedo{\displaystyle \mathbf {C} }es el vector desde el punto de referencia inicial hasta el centro de masa del objeto yR{\displaystyle \mathbf {R} }es el vector desde el punto de referencia inicial hasta el punto de referencia final (RF=RrmiF+R{\displaystyle \mathbf {R} _{F}=\mathbf {R} _{ref}+\mathbf {R} }). La matriz relacional viene dada por

METRO[r,do]=[(rydoy+rzdoz)−1/2(rincógnitadoy+rydoincógnita)−1/2(rincógnitadoz+rzdoincógnita)−1/2(rincógnitadoy+rydoincógnita)(rincógnitadoincógnita+rzdoz)−1/2(rydoz+rzdoy)−1/2(rincógnitadoz+rzdoincógnita)−1/2(rydoz+rzdoy)(rincógnitadoincógnita+rydoy)]{\displaystyle M[\mathbf {r} ,\mathbf {c} ]=\left[{\begin{array}{rrr}(r_{y}c_{y}+r_{z}c_{z})&-1/2(r_{x}c_{y}+r_{y}c_{x})&-1/2(r_{x}c_{z}+r_{z}c_{x})\\-1/2(r_{x}c_{y}+r_{y}c_{x})&(r_{x}c_{x}+r_{z}c_{z})&-1/2(r_{y}c_{z}+r_{z}c_{y})\\-1/2(r_{x}c_{z}+r_{z}c_{x})&-1/2(r_{y}c_{z}+r_{z}c_{y})&(r_{x}c_{x}+r_{y}c_{y})\end{array}}\right]}

Segundo momento del área

La regla de los ejes paralelos también se aplica al segundo momento de área (momento de inercia de área) para una región plana D :

Iz=Iincógnita+Ar2,{\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ar^{2},}

donde I z es el momento de inercia del área de D con respecto al eje paralelo, I x es el momento de inercia del área de D con respecto a su centroide , A es el área de la región plana D , y r es la distancia desde el nuevo eje z hasta el centroide de la región plana D. El centroide de D coincide con el centro de gravedad de una placa física de la misma forma que tiene densidad uniforme.

Momento polar de inercia para dinámica planar

El momento polar de inercia de un cuerpo alrededor de un punto se puede determinar a partir de su momento polar de inercia alrededor del centro de masa.

Las propiedades de masa de un cuerpo rígido que se mueve paralelamente a un plano se definen por su centro de masa R  =  ( x , y ) en dicho plano y su momento polar de inercia I R respecto de un eje que pasa por R y es perpendicular al plano. El teorema de los ejes paralelos proporciona una relación conveniente entre el momento de inercia I S respecto de un punto arbitrario S y el momento de inercia I R respecto del centro de masa R.  

Recordemos que el centro de masa R tiene la propiedad

∫Vρ(r)(r−R)dV=0,{\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0,}

donde r se integra sobre el volumen V del cuerpo. El momento polar de inercia de un cuerpo que experimenta un movimiento planar se puede calcular con respecto a cualquier punto de referencia S , 

IS=∫Vρ(r)(r−S)⋅(r−S)dV,{\displaystyle I_{S}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {S} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {S} )\,dV,}

donde S es constante y r se integra sobre el volumen V. 

Para obtener el momento de inercia IS en términos del momento de inercia IR , introduzca el vector d desde S hasta el centro de masa R ,

IS=∫Vρ(r)(r−R+d)⋅(r−R+d)dV=∫Vρ(r)(r−R)⋅(r−R)dV+2d⋅(∫Vρ(r)(r−R)dV)+(∫Vρ(r)dV)d⋅d.{\displaystyle {\begin{aligned}I_{S}&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} +\mathbf {d} )\,dV\\&=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {R} )dV+2\mathbf {d} \cdot \left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV\right)+\left(\int _{V}\rho (\mathbf {r} )\,dV\right)\mathbf {d} \cdot \mathbf {d} .\end{aligned}}}

El primer término es el momento de inercia I R , el segundo término es cero por definición del centro de masas, y el último término es la masa total del cuerpo multiplicada por el cuadrado de la magnitud del vector d . Por lo tanto, 

IS=IR+METROd2,{\displaystyle I_{S}=I_{R}+Md^{2},\,}

lo cual se conoce como el teorema de los ejes paralelos. [ 3 ]

Matriz de momento de inercia

La matriz de inercia de un sistema rígido de partículas depende de la elección del punto de referencia. [ 4 ] Existe una relación útil entre la matriz de inercia relativa al centro de masas R y la matriz de inercia relativa a otro punto S. Esta relación se conoce como el teorema de los ejes paralelos.

Consideremos la matriz de inercia [I S ] obtenida para un sistema rígido de partículas medido con respecto a un punto de referencia S , dado por

[IS]=−∑i=1nortemetroi[ri−S][ri−S],{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-S][r_{i}-S],}

donde r i define la posición de la partícula P i , i  =  1,  ..., n . Recordemos que [ r i − S ] es la matriz antisimétrica que realiza el producto vectorial ,   

[ri−S]y=(ri−S)×y,{\displaystyle [r_{i}-S]\mathbf {y} =(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {S} )\times \mathbf {y} ,}

para un vector arbitrario y . 

Sea R el centro de masa del sistema rígido, entonces

R=(R−S)+S=d+S,{\displaystyle \mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {S} )+\mathbf {S} =\mathbf {d} +\mathbf {S} ,}

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. Utilice esta ecuación para calcular la matriz de inercia.

[IS]=−∑i=1nortemetroi[ri−R+d][ri−R+d].{\displaystyle [I_{S}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R+d][r_{i}-R+d].}

Expanda esta ecuación para obtener

[IS]=(−∑i=1nortemetroi[ri−R][ri−R])+(−∑i=1nortemetroi[ri−R])[d]+[d](−∑i=1nortemetroi[ri−R])+(−∑i=1nortemetroi)[d][d].{\displaystyle [I_{S}]=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)[d]+[d]\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R]\right)+\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[d][d].}

El primer término es la matriz de inercia [ I R ] relativa al centro de masa. El segundo y tercer término son cero por definición del centro de masa R ,

∑i=1nortemetroi(ri−R)=0.{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )=0.}

Y el último término es la masa total del sistema multiplicada por el cuadrado de la matriz antisimétrica [ d ] construida a partir de d . 

El resultado es el teorema de los ejes paralelos,

[IS]=[IR]−METRO[d]2,{\displaystyle [I_{S}]=[I_{R}]-M[d]^{2},}

donde d es el vector desde el punto de referencia S hasta el centro de masa R. [ 4 ]

Identidades para una matriz antisimétrica

Para comparar las formulaciones del teorema de los ejes paralelos que utilizan matrices antisimétricas y la formulación tensorial, resultan útiles las siguientes identidades.

Sea [ R ] la matriz antisimétrica asociada con el vector de posición R  =  ( x , y , z ), entonces el producto en la matriz de inercia se convierte en  

−[R][R]=−[0−zyz0−incógnita−yincógnita0]2=[y2+z2−incógnitay−incógnitaz−yincógnitaincógnita2+z2−yz−zincógnita−zyincógnita2+y2].{\displaystyle -[R][R]=-{\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}^{2}={\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}.}

Este producto se puede calcular utilizando la matriz formada por el producto exterior [ R R T ] usando la identidad

−[R]2=|R|2[mi3]−[RRT]=[incógnita2+y2+z2000incógnita2+y2+z2000incógnita2+y2+z2]−[incógnita2incógnitayincógnitazyincógnitay2yzzincógnitazyz2],{\displaystyle -[R]^{2}=|\mathbf {R} |^{2}[E_{3}]-[\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}]={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&0&0\\0&x^{2}+y^{2}+z^{2}&0\\0&0&x^{2}+y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}x^{2}&xy&xz\\yx&y^{2}&yz\\zx&zy&z^{2}\end{bmatrix}},}

donde [ E 3 ] es la matriz identidad de 3  × 3. 

También observe que

|R|2=R⋅R=tr⁡[RRT],{\displaystyle |\mathbf {R} |^{2}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} =\operatorname {tr} [\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T}],}

donde tr denota la suma de los elementos diagonales de la matriz de producto exterior, conocida como su traza.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Arthur Erich Haas (1928), Introducción a la física teórica
  2. 1 2 Abdulghany, AR (octubre de 2017), "Generalización del teorema de ejes paralelos para la inercia rotacional", American Journal of Physics , 85 (10): 791–795 , Bibcode : 2017AmJPh..85..791A , doi : 10.1119/1.4994835
  3. ↑ Paul, Burton (1979), Cinemática y dinámica de maquinaria planar , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-516062-6
  4. 1 2 Kane, TR; Levinson, DA (2005), Dinámica, teoría y aplicaciones , McGraw-Hill, Nueva York
  • Teorema de los ejes paralelos
  • Tensor del momento de inercia
  • Vídeo sobre el tensor de inercia