Transporte paralelo

{\displaystyle \alpha } — Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado (de A a N a B y de vuelta a A) en la esfera. El ángulo por el cual gira, $\alpha$ , es proporcional al área dentro del bucle.

En geometría diferencial , el transporte paralelo (o traslación paralela ^{[ a ]} ) es una forma de transportar datos geométricos a lo largo de curvas suaves en una variedad . Si la variedad está equipada con una conexión afín (una derivada covariante o conexión en el fibrado tangente ), entonces esta conexión permite transportar vectores de la variedad a lo largo de curvas de manera que permanezcan paralelos con respecto a la conexión.

El transporte paralelo para una conexión proporciona, por lo tanto, una forma de, en cierto sentido, desplazar la geometría local de una variedad a lo largo de una curva: es decir, de conectar las geometrías de puntos cercanos. Si bien pueden existir diversas nociones de transporte paralelo, especificar una forma de conectar las geometrías de puntos en una curva equivale a proporcionar una conexión . De hecho, la noción habitual de conexión es el análogo infinitesimal del transporte paralelo. O, a la inversa , el transporte paralelo es la realización local de una conexión.

Dado que el transporte paralelo proporciona una realización local de la conexión, también proporciona una realización local de la curvatura conocida como holonomía . El teorema de Ambrose-Singer explicita esta relación entre la curvatura y la holonomía.

Otras nociones de conexión también cuentan con sus propios sistemas de transporte paralelo. Por ejemplo, una conexión de Koszul en un fibrado vectorial permite el transporte paralelo de vectores de forma muy similar a como ocurre con una derivada covariante. Una conexión de Ehresmann o Cartan proporciona una elevación de curvas desde la variedad al espacio total de un fibrado principal . Dicha elevación de curvas puede considerarse a veces como el transporte paralelo de sistemas de referencia .

Motivación

En geometría euclidiana, las líneas rectas, por un lado, minimizan la longitud de arco entre todas las curvas que conectan dos puntos dados. Por otro lado, su dirección permanece constante a lo largo de ellas; equivalentemente, sus vectores tangentes se transportan paralelamente a lo largo de ellas.

En la teoría de las variedades diferenciables, se requiere una estructura adicional para comprender la longitud de arco y el transporte paralelo. La primera viene proporcionada por una estructura riemanniana, que conduce a la noción de geodésica métrica, mientras que el segundo viene proporcionado por una conexión , que conduce a las nociones de transporte paralelo y geodésicas afines.

Consideremos la esfera, $S^{2}$ , como ejemplo de una variedad diferenciable. Si la consideramos como un subconjunto de su espacio euclidiano tridimensional ambiente, entonces tiene sentido hablar de vectores tangentes a $S^{2}$ en un punto $p\in S^{2}$ Todos los vectores tangentes en este punto forman un subespacio bidimensional del espacio vectorial ambiente, y podemos llamar a este espacio vectorial bidimensional el espacio tangente de $S^{2}$ en $p$ En la teoría de las variedades diferenciables, $S^{2}$ se considera en sí mismo, sin ningún espacio ambiental y un espacio tangente en $p$ se define internamente como el espacio vectorial de derivaciones en $p$ . El espacio tangente en $p\in S^{2}$ se denota por $T_{p}S^{2}$ y para una variedad diferenciable general $M$ por $T_{p}M$ El concepto de transporte paralelo se introdujo para abordar el hecho de que no existe una identificación canónica entre los vectores tangentes en diferentes puntos de una variedad. En general, este problema no puede resolverse globalmente, sino solo a lo largo de curvas diferenciables en la variedad.

En nuestro ejemplo, por analogía con las líneas rectas en el espacio euclidiano, podemos decir que el campo vectorial tangente a lo largo de una geodésica en una variedad riemanniana (el análogo de una línea recta en el espacio euclidiano) «no cambia»; es decir, los vectores tangentes son transportes paralelos entre sí a lo largo de la geodésica. De igual modo, los vectores unitarios ortogonales a los vectores tangentes también son transportes paralelos a lo largo de la geodésica. Por linealidad, esto determina el transporte paralelo de cualquier vector tangente a lo largo de la geodésica.

Generalmente, el transporte paralelo de vectores tangentes a lo largo de una curva requiere una estructura adicional más allá de la estructura suave. En nuestro ejemplo anterior, supusimos la existencia de una métrica riemanniana en la esfera, que determina las geodésicas (las curvas con longitud extrema), y se supone que la regla de transporte paralelo está de acuerdo con esta estructura riemanniana. Pero el concepto de transporte paralelo es más general. La regla sobre cómo los vectores tangentes de la variedad deben transportarse paralelamente a lo largo de una curva puede ser en sí misma esta "estructura adicional", ya que puede definirse incluso si la variedad no tiene ninguna estructura adicional más allá de la estructura suave. Se puede hacer de la siguiente manera. Todos los vectores tangentes en cada punto de una variedad $M$ formen el haz tangente $TM$ de $M$ Tomando una curva $c:I\subseteq \mathbb {R} \to M$ y eligiendo un vector tangente $v(c(t))\in T_{p}M$ en cada punto $c(t)$ , la función resultante $v:I\to TM:t\mapsto v(c(t))$ es una curva en $TM$ . La regla general del transporte paralelo especifica cuándo el vector tangente de $v$ debe considerarse "horizontal". Si los vectores tangentes de $v$ (que están en $TTM$ ) son horizontales en cada punto, decimos que $v$ es una curva horizontal en $TM$ , o que $v$ es transportado paralelamente a lo largo $c$ . La regla que especifica si un vector tangente de la curva $v$ es horizontal o no, se llama conexión . Especifica los subespacios horizontales en $T_{y}TM$ para cada $y\in TM$ y, por lo tanto, define el transporte paralelo.

Transporte paralelo de vectores tangentes

Dejar $M$ sea una variedad suave . Para cada punto $p\in M$ ⁠ , existe un espacio vectorial asociado $T_{p}M$ llamado el espacio tangente de $M$ en $p$ . Vectores en $T_{p}M$ se consideran como los vectores tangentes a $M$ en $p$ Una métrica riemanniana $g$ en $M$ asigna a cada $p$ un producto interno definido positivo $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbf {R}$ de forma suave. Un colector suave $M$ dotado de una métrica riemanniana $g$ es una variedad riemanniana , denotada ⁠ $(M,g)$ .

Dejar $x^{1},\ldots ,x^{n}$ denotamos las coordenadas estándar en $\mathbf {R} ^{n}.$ La métrica euclidiana $g^{\text{euc}}$ es dado por

g^{\text{euc}}=(dx^{1})^{2}+\cdots +(dx^{n})^{2}

. ^{[ 2 ]}

El espacio euclidiano es la variedad riemanniana. $(\mathbf {R} ^{n},g^{\text{euc}})$ .

En el espacio euclidiano, todos los espacios tangentes se identifican canónicamente entre sí mediante traslación, por lo que es fácil mover vectores de un espacio tangente a otro. El transporte paralelo de vectores tangentes es una forma de mover vectores de un espacio tangente a otro a lo largo de una curva en el contexto de una variedad riemanniana general. Cabe destacar que, si bien los vectores se encuentran en el espacio tangente de la variedad, es posible que no se encuentren en el espacio tangente de la curva a lo largo de la cual se transportan.

Una conexión afín en una variedad riemanniana es una forma de diferenciar campos vectoriales respecto de otros campos vectoriales. Una variedad riemanniana tiene una elección natural de conexión afín llamada conexión de Levi-Civita . Dada una conexión afín fija en una variedad riemanniana, existe una única forma de realizar el transporte paralelo de vectores tangentes. ^{[ 3 ]} Diferentes elecciones de conexiones afines darán lugar a diferentes sistemas de transporte paralelo.

Definición precisa

Dejar $M$ ser una variedad con una conexión afín $\nabla$ ⁠ . Entonces un campo vectorial $X$ Se dice queparalelo si para cualquier campo vectorial $Y$ , $\nabla _{Y}X=0$ Intuitivamente hablando, los campos vectoriales paralelos tienen todas sus derivadas iguales a cero y, por lo tanto, son en cierto sentido constantes . Al evaluar un campo vectorial paralelo en dos puntos $x$ y $y$ ⁠ , una identificación entre un vector tangente en $x$ y uno en $y$ se obtiene. Se dice que tales vectores tangentes son transportes paralelos entre sí.

Más precisamente, si $\gamma :I\rightarrow M$ es una curva continuamente diferenciable por partes parametrizada por un intervalo $[a,b]$ y $\xi \in T_{x}M$ , donde $x=\gamma (a)$ ⁠ , entonces un campo vectorial $X$ a lo largo de $\gamma$ (y en particular, el valor de este campo vectorial en ⁠ $y=\gamma (b)$ ) se denomina transporte paralelo de $\xi$ a lo largo de $\gamma$ si

$\nabla _{\gamma '(t)}X=0,{\text{ para todo }}t\in [a,b]$
$X_{\gamma (a)}=\xi .$

Formalmente, la primera condición significa que $X$ es paralelo con respecto a la conexión de retroceso en el haz de retroceso . $\gamma ^{*}TM$ Sin embargo, en una trivialización local es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden , que tiene una solución única para cualquier condición inicial dada por la segunda condición (por ejemplo, por el teorema de Picard-Lindelöf ).

El transporte paralelo de $X\in T_{\gamma (s)}M$ al espacio tangente $T_{\gamma (t)}M$ a lo largo de la curva ${\displaystyle \gamma$ se denota por ⁠ $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}X$ ⁠ . El mapa

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:T_{\gamma (s)}M\to T_{\gamma (t)}M

es lineal. De hecho, es un isomorfismo. Sea ${\overline {\gamma }}:[0,1]\to M$ sea la curva inversa ${\overline {\gamma }}(t)=\gamma (1-t).$ Entonces $\Gamma ({\overline {\gamma }})_{t}^{s}$ es el inverso de $\Gamma (\gamma )_{s}^{t}$ .

En resumen, el transporte paralelo proporciona una forma de mover vectores tangentes a lo largo de una curva utilizando la conexión afín para mantenerlos "apuntando en la misma dirección" en un sentido intuitivo, lo que proporciona un isomorfismo lineal entre los espacios tangentes en los dos extremos de la curva. El isomorfismo obtenido de esta manera dependerá, en general, de la elección de la curva. Si no depende de ella, entonces el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva puede usarse para definir campos vectoriales paralelos en $M$ , lo cual solo puede ocurrir si la curvatura de $\nabla$ es cero.

Un isomorfismo lineal se determina por su acción sobre una base o marco ordenado . Por lo tanto, el transporte paralelo también puede caracterizarse como una forma de transportar elementos del fibrado de marcos (tangente) $GL(M) a lo largo de una curva. En$ $otras$ palabras, la conexión afín proporciona una elevación de cualquier curva $γ$ en $M$ a una curva $γ̃$ en $GL(M)$ .

Ejemplos

Las imágenes que se muestran a continuación ilustran el transporte paralelo inducido por la conexión de Levi-Civita asociada a dos métricas riemannianas diferentes en el plano perforado . $\mathbf {R} ^{2}\smallsetminus \{0,0\}$ La curva a lo largo de la cual se realiza el transporte paralelo es el círculo unitario. En coordenadas polares , la métrica de la izquierda es la métrica euclidiana estándar . $dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}$ ⁠ , mientras que la métrica de la derecha es ⁠ $dr^{2}+d\theta ^{2}$ Esta segunda métrica tiene una singularidad en el origen, por lo que no se extiende más allá de la perforación, pero la primera métrica se extiende a todo el plano.

Transportes paralelos en el plano perforado bajo conexiones de Levi-Civita

Este transporte viene dado por la métrica ⁠

dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}

.

Este transporte viene dado por la métrica ⁠

dr^{2}+d\theta ^{2}

.

Advertencia: Se trata de transporte paralelo en el plano perforado a lo largo del círculo unitario, no de transporte paralelo sobre el círculo unitario. De hecho, en la primera imagen, los vectores quedan fuera del espacio tangente al círculo unitario. Dado que la primera métrica tiene curvatura cero, el transporte entre dos puntos a lo largo del círculo podría realizarse también a lo largo de cualquier otra curva. Sin embargo, la segunda métrica tiene curvatura distinta de cero, y el círculo es una geodésica , por lo que su campo de vectores tangentes es paralelo.

Conexión métrica

Una conexión métrica es cualquier conexión cuyos mapeos de transporte paralelos preservan la métrica riemanniana, es decir, para cualquier curva $\gamma$ y cualesquiera dos vectores $X,Y\in T_{\gamma (s)}M$ ⁠ ,

\langle \Gamma (\gamma )_{s}^{t}X,\Gamma (\gamma )_{s}^{t}Y\rangle _{\gamma (t)}=\langle X,Y\rangle _{\gamma (s)}.

Al derivar en t = 0, el operador ∇ satisface una regla de producto con respecto a la métrica, a saber:

Z\langle X,Y\rangle =\langle \nabla _{Z}X,Y\rangle +\langle X,\nabla _{Z}Y\rangle .

Relación con las geodésicas

Una conexión afín distingue una clase de curvas llamadas geodésicas (afines) . ^{[ 4 ]} Una curva $\gamma :I\rightarrow M$ es una geodésica afín si ${\dot {\gamma }}$ se transporta en paralelo a lo largo de $\gamma$ ⁠ , es decir

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}{\dot {\gamma }}(s)={\dot {\gamma }}(t).

Al derivar con respecto al tiempo, esto toma la forma más familiar.

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}=0.

Si $\nabla$ es una conexión métrica, entonces las geodésicas afines son las geodésicas usuales de la geometría riemanniana y son las curvas que minimizan la distancia localmente. Más precisamente, primero observe que si $\gamma :I\rightarrow M$ , dónde $I$ es un intervalo abierto, es una geodésica, entonces la norma de ${\dot {\gamma }}$ es constante en $I$ ⁠ . En efecto,

{\frac {d}{dt}}\langle {\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =2\langle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t)\rangle =0.

De una aplicación del lema de Gauss se deduce que si $A$ es la norma de ${\dot {\gamma }}(t)$ entonces la distancia, inducida por la métrica, entre dos puntos suficientemente cercanos en la curva $\gamma$ ⁠ , decir $\gamma (t_{1})$ y $\gamma (t_{2})$ ⁠ , se da por ${\mbox{dist}}{\big (}\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}){\big )}=A|t_{1}-t_{2}|.$ La fórmula anterior podría no ser válida para puntos que no estén lo suficientemente cerca, ya que la geodésica podría, por ejemplo, rodear la variedad (por ejemplo, en una esfera).

Transporte paralelo en un fibrado vectorial

El transporte paralelo de vectores tangentes es un caso especial de una construcción más general que involucra un fibrado vectorial arbitrario. $E$ . Específicamente, el transporte paralelo de vectores tangentes es el caso en el que $E$ es el fibrado tangente $TM$ .

Sea M una variedad diferenciable. Sea E → M un fibrado vectorial con conexión ∇ y γ : I → M una curva parametrizada por un intervalo abierto I . Una sección $X$ de $E$ a lo largo de γ se llama paralelo si

\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0{\text{ for }}t\in I.

En el caso de que $E$ es el fibrado tangente mediante el cual $X$ es un campo vectorial tangente, esta expresión significa que, para cada $t$ en el intervalo, vectores tangentes en $X$ son "constantes" (la derivada se anula) cuando un desplazamiento infinitesimal desde $\gamma (t)$ en la dirección del vector tangente ${\dot {\gamma }}(t)$ Está hecho.

Supongamos que se nos da un elemento e ₀∈ E _P en P = γ (0) ∈ M , en lugar de una sección. El transporte paralelo de e ₀ a lo largo de γ es la extensión de e _{0 a una}sección paralela X en γ . Más precisamente, X es la única parte de E a lo largo de γ tal que

$\nabla _{\dot {\gamma }}X=0$
$X_{\gamma (0)}=e_{0}.$

Nótese que en cualquier parche de coordenadas dado, (1) define una ecuación diferencial ordinaria , con la condición inicial dada por (2). Por lo tanto, el teorema de Picard-Lindelöf garantiza la existencia y unicidad de la solución.

De este modo, la conexión ∇ define una forma de mover elementos de las fibras a lo largo de una curva, y esto proporciona isomorfismos lineales entre las fibras en puntos a lo largo de la curva:

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

del espacio vectorial sobre γ ( s ) al espacio vectorial sobre γ ( t ). Este isomorfismo se conoce como el mapa de transporte paralelo asociado a la curva. Los isomorfismos entre fibras obtenidos de esta manera dependerán, en general, de la elección de la curva: si no es así, entonces el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva puede usarse para definir secciones paralelas de E sobre todo M. Esto solo es posible si la curvatura de ∇ es cero.

En particular, el transporte paralelo alrededor de una curva cerrada que parte de un punto x define un automorfismo del espacio tangente en x que no es necesariamente trivial. Los automorfismos de transporte paralelo definidos por todas las curvas cerradas con base en x forman un grupo de transformaciones llamado grupo de holonomía de ∇ en x . Existe una estrecha relación entre este grupo y el valor de la curvatura de ∇ en x ; este es el contenido del teorema de holonomía de Ambrose-Singer .

Recuperando la conexión del transporte paralelo

Dada una derivada covariante ∇, el transporte paralelo a lo largo de una curva γ se obtiene integrando la condición ⁠ $\textstyle {\nabla _{\dot {\gamma }}=0}$ Por el contrario, si se dispone de una noción adecuada de transporte paralelo, se puede obtener una conexión correspondiente mediante diferenciación. Este enfoque se debe, esencialmente, a Knebelman (1951) ; véase Guggenheimer (1977) . Lumiste (2001) también adopta este enfoque.

Consideremos la asignación a cada curva γ en la variedad de una colección de aplicaciones.

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:E_{\gamma (s)}\rightarrow E_{\gamma (t)}

de tal manera que

$\Gamma (\gamma )_{s}^{s}=Id$ , la transformación identidad de E _{γ (s)} .
$\Gamma (\gamma )_{u}^{t}\circ \Gamma (\gamma )_{s}^{u}=\Gamma (\gamma )_{s}^{t}.$
La dependencia de Γ con respecto a γ , s y t es "suave".

La noción de suavidad en la condición 3 es algo difícil de definir (véase la discusión posterior sobre el transporte paralelo en haces de fibras). En particular, autores modernos como Kobayashi y Nomizu suelen considerar que el transporte paralelo de la conexión proviene de una conexión en otro sentido, donde la suavidad se expresa con mayor facilidad.

Sin embargo, dada dicha regla para el transporte paralelo, es posible recuperar la conexión infinitesimal asociada en E de la siguiente manera. Sea γ una curva diferenciable en M con punto inicial γ (0) y vector tangente inicial X = γ ′ (0). Si V es una sección de E sobre γ , entonces sea

\nabla _{X}V=\lim _{h\to 0}{\frac {\Gamma (\gamma )_{h}^{0}V_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}}=\left.{\frac {d}{dt}}\Gamma (\gamma )_{t}^{0}V_{\gamma (t)}\right|_{t=0}.

Esto define la conexión infinitesimal asociada ∇ en E. Se recupera el mismo transporte paralelo Γ a partir de esta conexión infinitesimal.

Generalizaciones

El transporte paralelo puede definirse con mayor generalidad para otros tipos de conexiones, no solo para aquellas definidas en un fibrado vectorial. Una generalización se refiere a las conexiones principales ( Kobayashi y Nomizu, 1996 , Volumen 1, Capítulo II) . Sea P → M un fibrado principal sobre una variedad M con grupo de Lie de estructura G y una conexión principal ω . Al igual que en el caso de los fibrados vectoriales, una conexión principal ω en P define, para cada curva γ en M , una aplicación.

\Gamma (\gamma )_{s}^{t}:P_{\gamma (s)}\rightarrow P_{\gamma (t)}

de la fibra sobre γ ( s ) a la fibra sobre γ ( t ), que es un isomorfismo de espacios homogéneos : es decir $\Gamma _{\gamma (s)}g=g\Gamma _{\gamma (s)}$ para cada g ∈ G .

También son posibles otras generalizaciones del transporte paralelo. En el contexto de las conexiones de Ehresmann , donde la conexión depende de una noción especial de " elevación horizontal " de espacios tangentes, se puede definir el transporte paralelo mediante elevaciones horizontales . Las conexiones de Cartan son conexiones de Ehresmann con una estructura adicional que permite concebir el transporte paralelo como una aplicación que "desliza" un espacio modelo determinado a lo largo de una curva en la variedad. Este deslizamiento se denomina desarrollo .

Aproximación: Escalera de Schild

El transporte paralelo puede aproximarse discretamente mediante la escalera de Schild , que toma pasos finitos a lo largo de una curva, y aproxima los paralelogramos de Levi-Civita mediante paralelogramos aproximados .

Véase también

Introducción básica a las matemáticas del espaciotiempo curvo
Conexión (matemáticas)
Desarrollo (geometría diferencial)
conexión afín
Derivada covariante
Geodésica (relatividad general)
Fase geométrica
Derivada de Lie
Escalera de Schild
Paralelogramo de Levi-Civita
Curva paralela , nombre similar pero concepto diferente.

Notas

↑ En algunas fuentes como Spivak^{[ 1 ]}

Citas

↑ Spivak 1999 , pág. 234, vol. 2, cap. 6.
↑ Lee 2018 , págs. 12–13.
↑ Lee 2018 , págs. 105–110.
↑ ( Kobayashi & Nomizu 1996 , Volumen 1, Capítulo III)

Referencias

Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometría diferencial , Dover, ISBN 0-486-63433-7
Knebelman (1951), "Espacios de paralelismo relativo", Annals of Mathematics , 2, 53 (3), The Annals of Mathematics, Vol. 53, No. 3: 387– 399, doi : 10.2307/1969562 , JSTOR 1969562
Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial, Volumen 1 , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3; Volumen 2, ISBN 0-471-15732-5.
Lumiste, Ü. (2001) [1994], "Conexiones en una variedad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Spivak, Michael (1999). Introducción completa a la geometría diferencial, vol. II . Publish-or-Perish Press . ISBN 0914098713.
Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades riemannianas . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.

Enlaces externos

Demostración de geometría esférica archivada el 19 de mayo de 2007 en Wayback Machine . Un miniaplicativo que muestra el transporte paralelo de vectores tangentes en una esfera.

[2] En algunas fuentes como Spivak^{[ 1 ]}

[FOOTNOTESpivak1999234Vol._2,_Ch._6-1] Spivak 1999 , pág. 234, vol. 2, cap. 6.

[FOOTNOTELee201812–13-3] Lee 2018 , págs. 12–13.

[FOOTNOTELee2018105–110-4] Lee 2018 , págs. 105–110.

[5] ( Kobayashi & Nomizu 1996 , Volumen 1, Capítulo III)

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[ 3 ]

[ 4 ]

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