Ecuación paramétrica

En matemáticas , una ecuación paramétrica expresa varias cantidades, como las coordenadas de un punto , como funciones de una o más variables llamadas parámetros . ^{[ 1 ]}

En el caso de un solo parámetro, las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar la trayectoria de un punto en movimiento. En este caso, el parámetro suele ser, aunque no necesariamente, el tiempo, y el punto describe una curva , denominada curva paramétrica . En el caso de dos parámetros, el punto describe una superficie , denominada superficie paramétrica . En todos los casos, las ecuaciones se denominan colectivamente representación paramétrica , ^{[ 2 ]} o sistema paramétrico , ^{[ 3 ]} o parametrización (también escrita parametrización ) del objeto ^.^[ 1 ^]^[⁴^]^[⁵^]

Por ejemplo, las ecuaciones ${\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}$ Forman una representación paramétrica del círculo unitario , donde $t$ es el parámetro: Un punto $(x, y)$ está en el círculo unitario si y solo si existe un valor de $t$ tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces, las ecuaciones paramétricas para las variables de salida escalares individuales se combinan en una sola ecuación paramétrica en vectores :

$(x,y)=(\cos t,\sin t).$

Las representaciones paramétricas generalmente no son únicas (véase § Curvas planas paramétricas ), por lo que las mismas cantidades pueden expresarse mediante varias parametrizaciones diferentes. ^{[ 1 ]}

Además de curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades algebraicas de dimensión superior , donde el número de parámetros es igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el número de ecuaciones es igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para superficies la dimensión es dos y se utilizan dos parámetros, etc.).

Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente en cinemática , donde la trayectoria de un objeto se representa mediante ecuaciones que dependen del tiempo como parámetro. Debido a esta aplicación, un único parámetro suele denominarse $t$ ; sin embargo, los parámetros pueden representar otras magnitudes físicas (como variables geométricas) o seleccionarse arbitrariamente por conveniencia. Las parametrizaciones no son únicas; más de un conjunto de ecuaciones paramétricas puede especificar la misma curva. ^{[ 6 ]}

Implicidad

Convertir un conjunto de ecuaciones paramétricas en una sola ecuación implícita implica eliminar la variable $t$ de las ecuaciones simultáneas. $x=f(t),\ y=g(t).$ Este proceso se llama ' implicitación '. Si una de estas ecuaciones se puede resolver para $t$ , la expresión obtenida se puede sustituir en la otra ecuación para obtener una ecuación que involucre solo $x$ e $y$ : Resolviendo $y=g(t)$ para obtener $t=g^{-1}(y)$ y usando esto en $x=f(t)$ da la ecuación explícita $x=f(g^{-1}(y)),$ mientras que los casos más complicados darán una ecuación implícita de la forma $h(x,y)=0.$

Si la parametrización viene dada por funciones racionales $x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},$

donde $p$ , $q$ y $r son polinomios$ coprimos por conjuntos , un cálculo resultante permite implicusizar. Más precisamente, la ecuación implícita es la resultante con respecto a $t$ de $xr (t) - p (t)$ y $yr (t) - q (t)$ .

En dimensiones superiores (ya sea más de dos coordenadas o más de un parámetro), la implicitación de ecuaciones paramétricas racionales puede realizarse con el cálculo de la base de Gröbner ; véase Base de Gröbner § Implicitación en dimensiones superiores .

Tomando como ejemplo el círculo de radio $a$ , las ecuaciones paramétricas ${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{aligned}}$

puede ser implícitamente expresado en términos de $x$ e $y$ mediante la identidad trigonométrica pitagórica . Con

${\begin{aligned}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{aligned}}$ y $\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,$ obtenemos $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,$ y por lo tanto $x^{2}+y^{2}=a^{2},$

que es la ecuación estándar de un círculo centrado en el origen.

Curvas planas paramétricas

Parábola

La ecuación más simple para una parábola , $y=x^{2}$

puede ser (trivialmente) parametrizado usando un parámetro libre $t$ y estableciendo $x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {para} -\infty <t<\infty .$

Ecuaciones explícitas

De forma más general, cualquier curva dada por una ecuación explícita. $y=f(x)$

puede ser (trivialmente) parametrizado usando un parámetro libre $t$ y estableciendo $x=t,y=f(t)\quad \mathrm {para} -\infty <t<\infty .$

Círculo

Un ejemplo más sofisticado es el siguiente. Consideremos el círculo unitario que se describe mediante la ecuación ordinaria (cartesiana). $x^{2}+y^{2}=1.$

Esta ecuación se puede parametrizar de la siguiente manera: $(x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad {\text{ para }}0\leq t<2\pi .$

Con la ecuación cartesiana es más fácil comprobar si un punto se encuentra sobre la circunferencia o no. Con la versión paramétrica es más fácil obtener puntos en un gráfico.

En algunos contextos, se prefieren las ecuaciones paramétricas que involucran solo funciones racionales (es decir, fracciones de dos polinomios ), si existen. En el caso del círculo, dicha parametrización racional es ${\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[6pt]y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}$

Con este par de ecuaciones paramétricas, el punto $(-1, 0)$ no está representado por un valor real de $t$ , sino por el límite de $x$ $e$ y cuando $t$ tiende a infinito .

Elipse

Una elipse en posición canónica (centro en el origen, eje mayor a lo largo del eje $x$ ) con semiejes $a$ y $b$ puede representarse paramétricamente como ${\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}$

Una elipse en posición general se puede expresar como ${\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi\end{alignedat}}$

$a$ $medida$ $que$ el parámetro $t$ varía de $0$ a $2π$ . Aquí $(Xc, Yc)$ es el centro de la elipse y $φ$ es el ángulo entre el eje $x$ y el eje mayor de la elipse.

Ambas parametrizaciones pueden racionalizarse utilizando la fórmula del semiángulo tangente y estableciendo ${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

curva de Lissajous

Una curva de Lissajous es similar a una elipse, pero las sinusoides $x$ $e$ y no están en fase. En posición canónica, una curva de Lissajous viene dada por ${\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}$ donde $k x$ y $k y$ son constantes que describen el número de lóbulos de la figura.

Hipérbola

Una hipérbola que se abre de este a oeste puede representarse paramétricamente mediante

${\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}$

o, racionalmente

${\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}$

Una hipérbola que se abre de norte a sur puede representarse paramétricamente como

${\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}$

o, racionalmente

${\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}$

En todas estas fórmulas $, (h, k)$ son las coordenadas del centro de la hipérbola, $a$ es la longitud del semieje mayor y $b$ es la longitud del semieje menor. Nótese que en las formas racionales de estas fórmulas, los puntos $(-a, 0)$ y $(0, -a)$ , respectivamente, no están representados por un valor real de $t$ , sino que son el límite de $x e$ $y$ cuando t $tiende$ a infinito.

Hipotrocoide

Una hipotrocoide es una curva trazada por un punto unido a un círculo de radio $r$ que rueda alrededor del interior de un círculo fijo de radio $R$ , donde el punto está a una distancia $d$ del centro del círculo interior.

Una hipotrocoide para la cual $r = d$
Una hipotrocoide para la cual $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 5$

Las ecuaciones paramétricas para las hipotrocoides son:

${\begin{aligned}x(\theta )&=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(Rr)\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}$

Algunos ejemplos:

$R = 6$ $r = 4$ $d = 1$
$R = 7$ $r = 4$ $d = 1$
$R = 8$ $r = 3$ $d = 2$
$R = 7$ $r = 4$ $d = 2$
$R = 15$ $r = 14$ $d = 1$

curvas espaciales paramétricas

Hélice paramétrica animada

Hélice

Las ecuaciones paramétricas son convenientes para describir curvas en espacios de dimensiones superiores. Por ejemplo:

${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}$

describe una curva tridimensional, la hélice , con un radio $a$ y que se eleva $2πb$ $unidades$ por vuelta. Las ecuaciones son idénticas en el plano a las de un círculo. Expresiones como la anterior se escriben comúnmente $como$

${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}$

donde $r$ es un vector tridimensional.

Superficies paramétricas

Un toroide con radio mayor $R$ y radio menor $r$ puede definirse paramétricamente como

${\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}$

donde los dos parámetros $t$ y $u$ varían entre $0$ y $2π .$

$R = 2$ , $r = 1/2$

A medida que $u$ varía de $0$ a $2π,$ el punto en la superficie se mueve en un círculo corto que pasa por el agujero en el toroide. A medida que $t$ varía de $0$ a $2π , el punto en la superficie se mueve en un círculo largo$ alrededor del agujero en el toroide.

Línea recta

La ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ y paralelo al vector $a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}$ es ^{[ 7 ]}

${\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}$

Aplicaciones

Cinemática

En cinemática , las trayectorias de los objetos en el espacio se describen comúnmente como curvas paramétricas, donde cada coordenada espacial depende explícitamente de un parámetro independiente (generalmente el tiempo). Utilizadas de esta manera, el conjunto de ecuaciones paramétricas para las coordenadas del objeto constituyen colectivamente una función vectorial para la posición. Dichas curvas paramétricas pueden luego integrarse y diferenciarse término a término. Por lo tanto, si la posición de una partícula se describe paramétricamente como $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,$

entonces su velocidad se puede encontrar como ${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}$

y su aceleración como ${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}$

Diseño asistido por ordenador

Otro uso importante de las ecuaciones paramétricas se encuentra en el campo del diseño asistido por computadora (CAD). ^{[ 8 ]} Por ejemplo, consideremos las siguientes tres representaciones, todas las cuales se utilizan comúnmente para describir curvas planas .

Cada representación tiene ventajas e inconvenientes para las aplicaciones CAD.

La representación explícita puede ser muy compleja, o incluso inexistente. Además, no se comporta bien ante transformaciones geométricas , y en particular ante rotaciones . Por otro lado, dado que una ecuación paramétrica y una ecuación implícita pueden deducirse fácilmente de una representación explícita, cuando existe una representación explícita simple, esta presenta las ventajas de ambas.

Las representaciones implícitas pueden dificultar la generación de puntos en la curva, e incluso la determinación de si existen puntos reales. Por otro lado, son muy adecuadas para decidir si un punto dado se encuentra sobre una curva, o si está dentro o fuera de una curva cerrada.

Tales decisiones pueden ser difíciles con una representación paramétrica, pero las representaciones paramétricas son las más adecuadas para generar puntos en una curva y para graficarla. ^{[ 9 ]}

Geometría entera

Numerosos problemas de geometría entera pueden resolverse mediante ecuaciones paramétricas. Una solución clásica es la parametrización euclidiana de triángulos rectángulos, de modo que las longitudes de sus lados $a, b$ y su hipotenusa $c$ sean enteros coprimos . Como $a$ y $b$ no son ambos pares (de lo contrario , $a, b$ y $c$ no serían coprimos), se pueden intercambiar para que $a$ sea par, y la parametrización queda entonces

${\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}$

donde los parámetros $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos que no son ambos impares.

Al multiplicar $a, b$ y $c$ por un número entero positivo arbitrario, se obtiene una parametrización de todos los triángulos rectángulos cuyos tres lados tienen longitudes enteras.

Sistemas lineales subdeterminados

Un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas está subdeterminado si tiene más de una solución. Esto ocurre cuando la matriz del sistema y su matriz aumentada tienen el mismo rango $r$ y $r < n$ . En este caso, se pueden seleccionar $n - r$ incógnitas como parámetros y representar todas las soluciones como una ecuación paramétrica donde todas las incógnitas se expresan como combinaciones lineales de las seleccionadas. Es decir, si las incógnitas son $x_{1},\ldots ,x_{n},$ uno puede reordenarlos para expresar las soluciones como ^{[ 10 ]}

${\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}$

Dicha ecuación paramétrica se denomina " forma paramétrica " de la solución del sistema. ^{[ 10 ]}

El método estándar para calcular una forma paramétrica de la solución consiste en utilizar la eliminación gaussiana para calcular una forma escalonada reducida por filas de la matriz aumentada. Entonces, las incógnitas que pueden usarse como parámetros son las que corresponden a columnas que no contienen ninguna entrada principal (es decir, la entrada no nula más a la izquierda en una fila o en la matriz), y la forma paramétrica se puede deducir directamente. ^{[ 10 ]}

Véase también

Notas

1 2 3 Weisstein, Eric W. "Ecuaciones paramétricas" . MathWorld .
↑ Kreyszig, Erwin (1972). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª ed.). Nueva York: Wiley . págs. 291, 342. ISBN 0-471-50728-8.
↑ Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993). Análisis numérico (5.ª ed.). Boston: Brookes/Cole . pág. 149. ISBN 0-534-93219-3.
↑ Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Cálculo y geometría analítica (quinta ed.). Addison-Wesley . pág. 91.
↑ Nykamp, Duane. "Ejemplo de parametrización de planos" . mathinsight.org . Consultado el 14 de abril de 2017 .
↑ Spitzbart, Abraham (1975). Cálculo con geometría analítica . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Consultado el 30 de agosto de 2015 .
↑ Cálculo: de una y varias variables . John Wiley. 29 de octubre de 2012. pág. 919. ISBN 9780470888612OCLC 828768012
↑ Stewart, James (2003). Cálculo (5.ª ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687–689 . ISBN 0-534-39339-X.
↑ Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). CAD/CAM paramétrico y basado en características: conceptos, técnicas y aplicaciones . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. 29–31 . ISBN 0-471-00214-3.
1 2 3 Anton, Howard; Rorres, Chris (2014) [1973]. "1.2 Eliminación gaussiana" . Álgebra lineal elemental (11.ª ed.). Wiley. págs. 11–24 .

Enlaces externos

Aplicación web para dibujar curvas paramétricas en el plano

[MathWorld-1] 1 2 3 Weisstein, Eric W. "Ecuaciones paramétricas" . MathWorld .

[2] Kreyszig, Erwin (1972). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª ed.). Nueva York: Wiley . págs. 291, 342. ISBN 0-471-50728-8.

[3] Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993). Análisis numérico (5.ª ed.). Boston: Brookes/Cole . pág. 149. ISBN 0-534-93219-3.

[4] Thomas, George B.; Finney, Ross L. (1979). Cálculo y geometría analítica (quinta ed.). Addison-Wesley . pág. 91.

[5] Nykamp, Duane. "Ejemplo de parametrización de planos" . mathinsight.org . Consultado el 14 de abril de 2017 .

[6] Spitzbart, Abraham (1975). Cálculo con geometría analítica . Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Consultado el 30 de agosto de 2015 .

[7] Cálculo: de una y varias variables . John Wiley. 29 de octubre de 2012. pág. 919. ISBN 9780470888612OCLC 828768012

[8] Stewart, James (2003). Cálculo (5.ª ed.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. pp. 687–689 . ISBN 0-534-39339-X.

[9] Shah, Jami J.; Martti Mantyla (1995). CAD/CAM paramétrico y basado en características: conceptos, técnicas y aplicaciones . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. pp. 29–31 . ISBN 0-471-00214-3.

[anton-10] 1 2 3 Anton, Howard; Rorres, Chris (2014) [1973]. "1.2 Eliminación gaussiana" . Álgebra lineal elemental (11.ª ed.). Wiley. págs. 11–24 .

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