Fracciones parciales en análisis complejo

En análisis complejo , una expansión en fracciones parciales es una forma de escribir una función meromorfa.${\displaystyle f(z)}$como una suma infinita de funciones racionales y polinomios . Cuando${\displaystyle f(z)}$es una función racional, esto se reduce al método habitual de fracciones parciales .

Mediante el uso de la división larga de polinomios y la técnica de fracciones parciales del álgebra, cualquier función racional puede escribirse como una suma de términos de la forma${\textstyle {\frac {1}{(az+b)^{k}}}+p(z)}$, dónde${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son complejos,${\displaystyle k}$es un número entero y${\displaystyle p(z)}$es un polinomio. Así como la factorización de polinomios se puede generalizar al teorema de factorización de Weierstrass , existe una analogía con las expansiones en fracciones parciales para ciertas funciones meromorfas.

Una función racional propia (aquella en la que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador) tiene una expansión en fracciones parciales sin términos polinómicos. De manera similar, una función meromorfa${\displaystyle f(z)}$para qué${\displaystyle |f(z)|}$va a 0 como${\displaystyle z}$va al infinito al menos tan rápido como${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$tiene una expansión sin términos polinómicos.

Dejar${\displaystyle f(z)}$Sea una función meromorfa en el plano complejo finito con polos en${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...}$y dejar${\displaystyle (\Gamma _{1},\Gamma _{2},...)}$Sea una sucesión de curvas cerradas simples tal que:

• El origen se encuentra dentro de cada curva.${\displaystyle \Gamma _{k}}$
• Ninguna curva pasa por un polo de${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle \Gamma _{k}}$yace dentro${\displaystyle \Gamma _{k+1}}$a pesar de${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }d(\Gamma _ {k})=\infty }$, dónde${\ Displaystyle d (\ Gamma _ {k})}$da la distancia desde la curva hasta el origen
• una condición más de compatibilidad con los polos${\displaystyle \lambda _{k}}$, descrito al final de esta sección

Supongamos también que existe un número entero${\displaystyle p}$de tal manera que

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }\oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {f(z)}{z^{p+1}}}\right||dz|<\infty }$

Escribiendo${\displaystyle \operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})}$para la parte principal de la expansión de Laurent de${\displaystyle f}$sobre el punto${\displaystyle \lambda _{k}}$, tenemos

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k}),}$

si${\displaystyle p=-1}$. Si${\displaystyle p>-1}$, entonces

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (f(z);z=\lambda _{k})+c_{0,k}+c_{1,k}z+\cdots +c_{p,k}z^{p}),}$

donde los coeficientes${\displaystyle c_{j,k}}$son dados por

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$

${\displaystyle \lambda _{0}}$debe establecerse en 0, porque incluso si${\displaystyle f(z)}$en sí mismo no tiene un polo en 0, los residuos de${\textstyle {\frac {f(z)}{z^{j+1}}}}$en${\displaystyle z=0}$Aún debe incluirse en la suma.

Tenga en cuenta que en el caso de${\displaystyle \lambda _{0}=0}$, podemos utilizar la expansión de Laurent de${\displaystyle f(z)}$sobre el origen para obtener

${\displaystyle f(z)={\frac {a_{-m}}{z^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m-1}}}+\cdots +a_{0}+a_{1}z+\cdots }$

${\displaystyle c_{j,k}=\operatorname {Res} _{z=0}\left({\frac {a_{-m}}{z^{m+j+1}}}+{\frac {a_{-m+1}}{z^{m+j}}}+\cdots +{\frac {a_{j}}{z}}+\cdots \right)=a_{j},}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{p}z^{p}}$

de modo que los términos polinómicos aportados sean exactamente la parte regular de la serie de Laurent hasta${\displaystyle z^{p}}$.

Para los otros polos${\displaystyle \lambda _{k}}$dónde${\displaystyle k\geq 1}$,${\textstyle {\frac {1}{z^{j+1}}}}$se pueden extraer de los cálculos de residuos :

${\displaystyle c_{j,k}={\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{p}c_{j,k}z^{j}=[\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}f(z)]\sum _{j=0}^{p}{\frac {1}{\lambda _{k}^{j+1}}}z^{j}}$

• Para evitar problemas de convergencia, los polos deben ordenarse de manera que si${\displaystyle \lambda _{k}}$está dentro${\displaystyle \Gamma _{n}}$, entonces${\displaystyle \lambda _{j}}$también está dentro${\displaystyle \Gamma _{n}}$a pesar de${\displaystyle j<k}$.

Las funciones meromorfas más simples con un número infinito de polos son las funciones trigonométricas no enteras . Como ejemplo,${\displaystyle \tan(z)}$es meromorfa con polos en${\textstyle (n+{\frac {1}{2}})\pi }$,${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,...}$Los contornos${\displaystyle \Gamma _{k}}$serán cuadrados con vértices en${\displaystyle \pm \pi k\pm \pi ki}$recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj,${\displaystyle k>1}$, que se ve fácilmente que cumplen las condiciones necesarias.

En los lados horizontales de${\displaystyle \Gamma _{k}}$,

${\displaystyle z=t\pm \pi ki,\ \ t\in [-\pi k,\pi k],}$

entonces

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}=\left|{\frac {\sin(t)\cosh(\pi k)\pm i\cos(t)\sinh(\pi k)}{\cos(t)\cosh(\pi k)\pm i\sin(t)\sinh(\pi k)}}\right|^{2}}$

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}={\frac {\sin ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\cos ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}{\cos ^{2}(t)\cosh ^{2}(\pi k)+\sin ^{2}(t)\sinh ^{2}(\pi k)}}}$

${\displaystyle \sinh(x)<\cosh(x)}$para todos los reales${\displaystyle x}$, lo que produce

${\displaystyle |\tan(z)|^{2}<{\frac {\cosh ^{2}(\pi k)(\sin ^{2}(t)+\cos ^{2}(t))}{\sinh ^{2}(\pi k)(\cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t))}}=\coth ^{2}(\pi k)}$

Para${\displaystyle x>0}$,${\displaystyle \coth(x)}$es continua, decreciente y acotada inferiormente por 1, por lo que se deduce que en los lados horizontales de${\displaystyle \Gamma _{k}}$,${\displaystyle |\tan(z)|<\coth(\pi )}$. De manera similar, se puede demostrar que${\displaystyle |\tan(z)|<1}$en los lados verticales de${\displaystyle \Gamma _{k}}$.

Con este vínculo en${\displaystyle |\tan(z)|}$podemos ver que

${\displaystyle \oint _{\Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|dz\leq \operatorname {length} (\Gamma _{k})\max _{z\in \Gamma _{k}}\left|{\frac {\tan(z)}{z}}\right|<8k\pi {\frac {\coth(\pi )}{k\pi }}=8\coth(\pi )<\infty .}$

Es decir, el máximo de${\textstyle |{\frac {1}{z}}|}$en${\displaystyle \Gamma _{k}}$ocurre en el mínimo de${\displaystyle |z|}$, que es${\displaystyle k\pi }$.

Por lo tanto${\displaystyle p=0}$y la expansión en fracciones parciales de${\displaystyle \tan(z)}$parece que

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(\operatorname {PP} (\tan(z);z=\lambda _{k})+\operatorname {Res} _{z=\lambda _{k}}{\frac {\tan(z)}{z}}).}$

Las partes principales y los residuos son bastante fáciles de calcular, ya que todos los polos de${\displaystyle \tan(z)}$son simples y tienen residuo -1:

${\displaystyle \operatorname {PP} (\tan(z);z=(n+{\frac {1}{2}})\pi )={\frac {-1}{z-(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

${\displaystyle \operatorname {Res} _{z=(n+{\frac {1}{2}})\pi }{\frac {\tan(z)}{z}}={\frac {-1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

Podemos ignorar${\displaystyle \lambda _{0}=0}$, ya que ambos${\displaystyle \tan(z)}$y${\textstyle {\frac {\tan(z)}{z}}}$son analíticas en 0, por lo que no hay contribución a la suma, y ​​ordenando los polos${\displaystyle \lambda _{k}}$de modo que${\textstyle \lambda _{1}={\frac {\pi }{2}},\lambda _{2}={\frac {-\pi }{2}},\lambda _{3}={\frac {3\pi }{2}}}$, etc., da

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left[\left({\frac {-1}{z-(k+{\frac {1}{2}})\pi }}-{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)+\left({\frac {-1}{z+(k+{\frac {1}{2}})\pi }}+{\frac {1}{(k+{\frac {1}{2}})\pi }}\right)\right]}$

${\displaystyle \tan(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-2z}{z^{2}-(k+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}}}}$

• Fracción parcial
• Integral de línea
• Residuo (análisis complejo)
• Teorema de los residuos

• Markushevich, Teoría de la IA de funciones de una variable compleja . Trad. Richard A. Silverman. Vol. 2. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1965.