producto infinito

En matemáticas , para una secuencia de números complejos a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... el producto infinito

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

se define como el límite de los productos parciales a ₁ a ₂ ... a _n cuando n aumenta sin límite. Se dice que el producto converge cuando el límite existe y no es cero. De lo contrario, se dice que el producto diverge . Un límite de cero se trata de manera especial para obtener resultados análogos a los de sumas infinitas . Algunas fuentes permiten la convergencia a 0 si solo hay un número finito de factores cero y el producto de los factores no cero es distinto de cero, pero por simplicidad no lo permitiremos aquí. Si el producto converge, entonces el límite de la sucesión a _n cuando n aumenta sin límite debe ser 1, mientras que lo contrario generalmente no es cierto.

Los ejemplos más conocidos de productos infinitos son probablemente algunas de las fórmulas para π , como los dos productos siguientes, respectivamente de Viète ( fórmula de Viète , el primer producto infinito publicado en matemáticas) y John Wallis ( producto de Wallis ):

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\pi }{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\right)\cdot \left({\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\right)\cdot \left({\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\right)\cdot \left({\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\right)\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}$

El producto de números reales positivos

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

converge a un número real distinto de cero si y solo si la suma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

converge. Esto permite traducir los criterios de convergencia para sumas infinitas en criterios de convergencia para productos infinitos. El mismo criterio se aplica a productos de números complejos arbitrarios (incluidos los reales negativos) si el logaritmo se entiende como una rama fija del logaritmo que satisface${\displaystyle \ln(1)=0}$, con la condición de que el producto infinito diverja cuando infinitos a _n caen fuera del dominio de${\displaystyle \ln }$, mientras que un número finito de tales _n pueden ignorarse en la suma.

Si definimos${\displaystyle a_{n}=1+p_{n}}$, los límites

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

Demostrar que el producto infinito de a _n converge si la suma infinita de p _n converge. Esto se basa en el teorema de convergencia monótona . Podemos demostrar el recíproco observando que, si${\displaystyle p_{n}\to 0}$, entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1,}$

y por la prueba de comparación de límites se deduce que las dos series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})\quad {\text{y}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }p_{n},}$

son equivalentes, lo que significa que o bien convergen o bien divergen.

Si la serie${\textstyle \sum _ {n=1}^{\infty }\log(a_ {n})}$diverge a${\displaystyle -\infty }$, entonces la sucesión de productos parciales de a _n converge a cero. Se dice que el producto infinito diverge a cero . ^{[ 1 ]}

En el caso en que el${\displaystyle p_{n}}$tienen signos arbitrarios, la convergencia de la suma${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$no garantiza la convergencia del producto${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$. Por ejemplo, si${\displaystyle p_{n}={\frac {(-1)^{n+1}}{\sqrt {n}}}}$, entonces${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$converge, pero${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$diverge a cero. Sin embargo, si${\textstyle \sum _ {n=1}^{\infty }|p_ {n}|}$es convergente, entonces el producto${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$converge absolutamente , es decir, los factores pueden reordenarse en cualquier orden sin alterar ni la convergencia ni el valor límite del producto infinito. ^{[ 2 ]} Además, si${\textstyle \sum _ {n=1}^{\infty }|p_ {n}|^{2}}$es convergente, entonces la suma${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$y el producto${\textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$son ambas convergentes o ambas divergentes. ^{[ 3 ]}

Un resultado importante sobre productos infinitos es que toda función entera f ( z ) (es decir, toda función holomorfa sobre todo el plano complejo ) puede factorizarse en un producto infinito de funciones enteras, cada una con a lo sumo una sola raíz. En general, si f tiene una raíz de orden m en el origen y otras raíces complejas en u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (enumeradas con multiplicidades iguales a sus órdenes), entonces

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace }$

donde λ _n son enteros no negativos que pueden elegirse para que el producto converja, y${\displaystyle \phi (z)}$es una función entera (lo que significa que el término anterior al producto no tendrá raíces en el plano complejo). La factorización anterior no es única, ya que depende de la elección de valores para λ _n . Sin embargo, para la mayoría de las funciones, habrá algún entero no negativo mínimo p tal que λ _n = p da un producto convergente, llamado representación canónica del producto . Este p se llama rango del producto canónico. En el caso de que p = 0, esto toma la forma

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right).}$

Esto puede considerarse una generalización del teorema fundamental del álgebra , ya que para los polinomios, el producto se vuelve finito y${\displaystyle \phi (z)}$es constante.

Además de estos ejemplos, cabe destacar las siguientes representaciones:

La última de estas no es una representación de producto del mismo tipo que la discutida anteriormente, ya que ζ no es entera. Más bien, la representación de producto anterior de ζ ( z ) converge precisamente para Re( z ) > 1, donde es una función analítica. Mediante técnicas de continuación analítica , esta función puede extenderse de forma única a una función analítica (que aún se denota como ζ ( z )) en todo el plano complejo excepto en el punto z = 1, donde tiene un polo simple .

• Productos infinitos en trigonometría
• Operación binaria iterada
• Expresión infinita
• Serie infinita
• Teorema del número pentagonal

• Knopp, Konrad (1990). Teoría y aplicación de las series infinitas . Dover Publications . ISBN 978-0-486-66165-0.
• Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo (3.ª  ed.). Boston: McGraw Hill . ISBN 0-07-054234-1.
• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.

• Productos infinitos de Wolfram Math World
• Una colección de productos infinitos – I
• Una colección de productos infinitos – II