Espacio parcialmente ordenado

En matemáticas, un espacio parcialmente ordenado ^{[ 1 ]} (o espacio po ) es un espacio topológico.${\displaystyle X}$equipado con un pedido parcial cerrado${\displaystyle \leq }$, es decir, un orden parcial cuyo gráfico${\displaystyle \{(x,y)\in X^{2}\mid x\leq y\}}$es un subconjunto cerrado de${\displaystyle X^{2}}$.

A partir de los espacios de posición, se pueden definir mapas dinámicos , es decir, mapas continuos entre espacios de posición que preservan la relación de orden.

Para un espacio topológico${\displaystyle X}$equipado con un pedido parcial${\displaystyle \leq }$, los siguientes son equivalentes:

• ${\displaystyle X}$es un espacio parcialmente ordenado.
• A pesar de${\displaystyle x,y\in X}$con${\displaystyle x\not \leq y}$, hay conjuntos abiertos${\displaystyle U,V\subset X}$con${\displaystyle x\in U,y\in V}$y${\displaystyle u\not \leq v}$a pesar de${\displaystyle u\in U,v\in V}$.
• A pesar de${\displaystyle x,y\in X}$con${\displaystyle x\not \leq y}$Hay barrios desconectados.${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$y${\displaystyle V}$de${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle U}$es un conjunto superior y${\displaystyle V}$es un conjunto inferior.

La topología de orden es un caso especial de esta definición, ya que un orden total es también un orden parcial.

Cada espacio de posición es un espacio de Hausdorff . Si tomamos la igualdad${\displaystyle =}$Como orden parcial, esta definición se convierte en la definición de un espacio de Hausdorff.

Dado que el gráfico es cerrado, si${\displaystyle \left(x_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$y${\displaystyle \left(y_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$son redes que convergen a x e y , respectivamente, de tal manera que${\displaystyle x_{\alpha }\leq y_{\alpha }}$a pesar de${\displaystyle \alpha }$, entonces${\displaystyle x\leq y}$.

• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Red vectorial topológica

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 

• espacio ordenado en Planetmath