Topología de partición

En matemáticas , una topología de partición es una topología que se puede inducir en cualquier conjunto${\displaystyle X}$mediante partición${\displaystyle X}$en subconjuntos disjuntos${\displaystyle P;}$Estos subconjuntos forman la base de la topología. Hay dos ejemplos importantes que tienen sus propios nombres:

• ElLa topología par-impar es la topología donde${\displaystyle X=\mathbb {N} }$y${\displaystyle P={\left\{~\{2k-1,2k\}:k\in \mathbb {N} \right\}}.}$De forma equivalente,${\displaystyle P=\{~\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\},\ldots \}.}$
• ElLa topología de enteros eliminados se define dejando${\displaystyle X={\begin{matrix}\bigcup _{n\in \mathbb {N} }(n-1,n)\subseteq \mathbb {R} \end{matrix}}}$y${\displaystyle P={\left\{(0,1),(1,2),(2,3),\ldots \right\}}.}$

Las particiones triviales producen la topología discreta (cada punto de${\displaystyle X}$es un conjunto en${\displaystyle P,}$entonces${\displaystyle P=\{~\{x\}~:~x\in X~\}}$) o topología indiscreta (el conjunto completo${\displaystyle X}$está en${\displaystyle P,}$entonces${\displaystyle P=\{X\}}$).

Cualquier conjunto${\displaystyle X}$con una topología de partición generada por una partición${\displaystyle P}$puede considerarse como un espacio pseudométrico con una pseudométrica dada por: $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x{\text{ y }}y{\text{ están en el mismo elemento de partición}}\\1&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$

Esto no es una métrica a menos que${\displaystyle P}$produce la topología discreta.

La topología de partición proporciona un ejemplo importante de la independencia de varios axiomas de separación . A menos que${\displaystyle P}$es trivial, al menos un conjunto en${\displaystyle P}$contiene más de un punto, y los elementos de este conjunto son topológicamente indistinguibles : la topología no separa los puntos. Por lo tanto${\displaystyle X}$no es un espacio de Kolmogorov , ni un espacio T1 , ni un espacio de Hausdorff , ni un espacio de Urysohn . En una topología de partición _, el complemento de todo conjunto abierto también es abierto, y por lo tanto, un conjunto es abierto si y solo si es cerrado. Por lo tanto,${\displaystyle X}$es regular , completamente regular , normal y completamente normal .${\displaystyle X/P}$es la topología discreta.

• Lista de topologías – Lista de topologías concretas y espacios topológicos 

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978  ), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446