La regla de Pascal

En matemáticas , la regla de Pascal (o fórmula de Pascal ) es una identidad combinatoria sobre coeficientes binomiales . Los coeficientes binomiales son los números que aparecen en el triángulo de Pascal . La regla de Pascal establece que para enteros positivos n y k , $${\displaystyle {n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k},}$$ dónde${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$es el coeficiente binomial, es decir, el coeficiente del término x ^k en la expansión de (1 + x ) ⁿ . No hay restricción sobre los tamaños relativos de n y k ; ^{[ 1 ]} en particular, la identidad anterior sigue siendo válida cuando n < k ya que${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}=0}$siempre que n < k .

Junto con las condiciones de contorno${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}={\tbinom {n}{n}}=1}$Para todos los enteros no negativos n , la regla de Pascal determina que $${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}},}$$ para todos los enteros 0 ≤ k ≤ n . En este sentido, la regla de Pascal es la relación de recurrencia que define los coeficientes binomiales.

La regla de Pascal también puede generalizarse para aplicarse a coeficientes multinomiales .

La regla de Pascal tiene un significado combinatorio intuitivo, que se expresa claramente en esta demostración de conteo. ^{[ 2 ] : 44}

Prueba . Recordemos que${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$es igual al número de subconjuntos con k elementos de un conjunto con n elementos. Supongamos que un elemento en particular está etiquetado de forma única como X en un conjunto con n elementos.

Para construir un subconjunto de k elementos que contengan X , incluya X y elija k − 1 elementos de los n − 1 elementos restantes en el conjunto. Hay${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}}$tales subconjuntos.

Para construir un subconjunto de k elementos que no contengan X , elija k elementos de los n − 1 elementos restantes en el conjunto. Hay${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$tales subconjuntos.

Cada subconjunto de k elementos contiene X o no. El número total de subconjuntos con k elementos en un conjunto de n elementos es la suma del número de subconjuntos que contienen X y el número de subconjuntos que no contienen X.${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}$.

Esto es igual a${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$; por lo tanto,${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}}$.

Alternativamente, se presenta la derivación algebraica del caso binomial. $${\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(nk)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {nk}{k!(nk)!}}+{\frac {k}{k!(nk)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(nk)!}}\\&={\frac {n!}{k!(nk)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

Una demostración algebraica alternativa que utiliza la definición alternativa de coeficientes binomiales:${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}}$. En efecto

$${\displaystyle {\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-k+1)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots ((n-1)-(k-1)+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (nk)}{k!}}+{\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\left[{\frac {nk}{k}}+1\right]\\&={\frac {(n-1)\cdots (n-k+1)}{(k-1)!}}\cdot {\frac {n}{k}}\\&={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$$

Desde${\displaystyle {\tbinom {z}{k}}={\frac {z(z-1)\cdots (z-k+1)}{k!}}}$se utiliza como definición extendida del coeficiente binomial cuando z es un número complejo, por lo que la demostración algebraica alternativa anterior muestra que la regla de Pascal se cumple de manera más general cuando n se reemplaza por cualquier número complejo.

La regla de Pascal se puede generalizar a coeficientes multinomiales. ^{[ 2 ] : 144} Para cualquier entero p tal que${\displaystyle p\geq 2}$,${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {Z} ^{+}\!,}$y${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$, $${\displaystyle {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$$ dónde${\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}}$es el coeficiente de la${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{p}^{k_{p}}}$término en la expansión de${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}}$.

La derivación algebraica para este caso general es la siguiente. ^{[ 2 ] : 144} Sea p un entero tal que${\displaystyle p\geq 2}$,${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,}$y${\displaystyle n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1}$. Entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}}$$

• Triángulo de Pascal
• Identidad de palo de hockey

• Merris, Russell. Combinatoria . John Wiley & Sons. 2003 ISBN 978-0-471-26296-1

• "Coeficiente binomial central" . PlanetMath .
• "Coeficiente binomial" . PlanetMath .

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