Pascalina

La pascalina (también conocida como máquina aritmética o calculadora de Pascal ) es una calculadora mecánica inventada por Blaise Pascal en 1642. Pascal se vio impulsado a desarrollar una calculadora por los laboriosos cálculos aritméticos que requería el trabajo de su padre como supervisor de impuestos en Rouen , Francia. ^{[ 2 ]} Diseñó la máquina para sumar y restar dos números, y para realizar multiplicaciones y divisiones mediante sumas o restas repetidas. Utilizaba un estilete para realizar los cálculos.

Existían tres versiones de su calculadora: una para contabilidad, otra para topografía y otra para ciencias.

La versión contable representaba la libra, que era la moneda de curso legal en Francia en aquel entonces. El siguiente dial a la derecha representaba los soles, donde 20 soles equivalían a 1 libra. El siguiente dial, el de más a la derecha, representaba los denarios, donde 12 denarios equivalían a 1 sol.

La calculadora de Pascal fue especialmente exitosa gracias al diseño de su mecanismo de acarreo , que traslada 1 al siguiente dial cuando el primero cambia de 9 a 0. Su innovación hizo que cada dígito fuera independiente del estado de los demás, permitiendo que múltiples acarreos se sucedieran rápidamente de un dígito a otro, independientemente de la capacidad de la máquina. Pascal también fue el primero en reducir y adaptar para su propósito un engranaje de linterna , utilizado en relojes de torre y ruedas hidráulicas . Esta innovación permitió que el dispositivo resistiera la fuerza de cualquier entrada del operador con muy poca fricción adicional.

Pascal diseñó la máquina en 1642. ^{[ 3 ]} Tras 50 prototipos , presentó el dispositivo al público en 1645, dedicándoselo a Pierre Séguier , entonces canciller de Francia . ^{[ 4 ]} Pascal construyó alrededor de veinte máquinas más durante la década siguiente, muchas de las cuales mejoraron su diseño original. En 1649, el rey Luis XIV le otorgó a Pascal un privilegio real (similar a una patente ), que le concedió el derecho exclusivo de diseñar y fabricar máquinas de calcular en Francia. Actualmente existen nueve calculadoras Pascal; ^{[ 5 ]} la mayoría se exhiben en museos europeos.

Muchas calculadoras posteriores se inspiraron directamente o se vieron influenciadas por las mismas tendencias históricas que llevaron a la invención de Pascal. Gottfried Leibniz inventó sus ruedas de Leibniz después de 1671, tras intentar añadir una función de multiplicación automática a la Pascalina. ^{[ 6 ]} En 1820, Thomas de Colmar diseñó su aritmómetro , la primera calculadora mecánica lo suficientemente robusta y fiable como para usarse a diario en una oficina. No está claro si llegó a ver el dispositivo de Leibniz, pero o bien lo reinventó o utilizó el tambor de pasos inventado por Leibniz.

Blaise Pascal comenzó a trabajar en su calculadora en 1642, a los 18 años. Ayudaba a su padre, que trabajaba como recaudador de impuestos, y buscaba crear un dispositivo que le facilitara el trabajo. En 1649, Pascal recibió un privilegio real que le otorgaba los derechos exclusivos para fabricar y vender máquinas de calcular en Francia.

Hacia 1654 había vendido unas veinte máquinas (de las cuales solo se sabe que existen nueve en la actualidad ^{[ 7 ]} ), pero el costo y la complejidad de la Pascalina representaron un obstáculo para nuevas ventas y la producción cesó ese mismo año. Para entonces, Pascal se había dedicado al estudio de la religión y la filosofía , lo que dio como resultado las Lettres provinciales y las Pensées .

La celebración del tricentenario de la invención de la calculadora mecánica por Pascal tuvo lugar durante la Segunda Guerra Mundial , cuando Francia estaba ocupada por Alemania, por lo que la celebración principal se llevó a cabo en Londres, Inglaterra. Los discursos pronunciados durante el evento resaltaron los logros prácticos de Pascal, quien ya era conocido en el campo de las matemáticas puras, así como su imaginación creativa y el grado de adelanto a su tiempo tanto de la máquina como de su inventor. ^{[ 8 ]}

La calculadora tenía diales metálicos con radios, donde se mostraban los dígitos del 0 al 9 alrededor de la circunferencia de cada rueda (para dígitos en base 10). Para introducir un dígito, el usuario colocaba un lápiz óptico en el espacio correspondiente entre los radios y giraba el dial en el sentido de las agujas del reloj hasta llegar al tope metálico, de forma similar al uso del disco giratorio de un teléfono. Esto mostraba el número en el acumulador situado en la parte superior de la calculadora. A continuación, simplemente se marcaba el segundo número que se iba a sumar, y la suma de ambos números aparecía en el acumulador.

Cada dial tiene asociada una ventana de visualización de un dígito situada justo encima, que muestra el valor del acumulador en esa posición. El complemento de este dígito, en la base de la rueda (6, 10, 12, 20), se muestra justo encima. Una barra horizontal oculta todos los números del complemento cuando se desliza hacia arriba, o todos los números del acumulador cuando se desliza hacia el centro de la máquina.

Dado que los engranajes de la calculadora giraban en una sola dirección, solo se podían realizar sumas. Sin embargo, para restar un número de otro, se utilizaba el complemento a nueve . Las únicas dos diferencias entre una suma y una resta son la posición de la barra de visualización (acumulador frente a complemento) y la forma en que se introduce el primer número (directo frente a complemento).

En una rueda de 10 dígitos, la rueda exterior fija está numerada del 0 al 9. Los números están inscritos en orden descendente en el sentido de las agujas del reloj, desde la esquina inferior izquierda hasta la inferior derecha de la palanca de tope. Para sumar 5, se debe insertar un lápiz entre los radios que rodean el número 5 y girar la rueda en el sentido de las agujas del reloj hasta la palanca de tope. El número que se muestra en el registro de visualización correspondiente aumentará en 5 y, si se produce un acarreo, el registro de visualización a su izquierda aumentará en 1. Para sumar 50, utilice la rueda de entrada de las decenas (el segundo dial desde la derecha en una máquina decimal); para sumar 500, utilice la rueda de entrada de las centenas, etc.

En todas las ruedas de todas las máquinas conocidas, excepto en la máquina tardive , ^{[ 9 ]} dos radios adyacentes están marcados; estas marcas difieren de una máquina a otra. En la rueda que se muestra a la derecha, son puntos perforados; en la máquina de topografía están tallados; algunos son simplemente arañazos o marcas hechas con un poco de barniz, ^{[ 10 ]} algunos incluso estaban marcados con pequeños trozos de papel. ^{[ 11 ]}

Estas marcas se utilizan para ajustar el cilindro correspondiente a su número máximo, listo para ser puesto a cero. Para ello, el operario inserta el lápiz entre estos dos radios y gira la rueda hasta el tope. Esto funciona porque cada rueda está directamente vinculada a su cilindro de visualización correspondiente (gira automáticamente una posición durante el transporte). Para marcar los radios durante la fabricación, se puede mover el cilindro de manera que se muestre su número máximo y, a continuación, marcar el radio que se encuentra debajo del tope y el que está a su derecha.

Cuatro de las máquinas conocidas tienen ruedas interiores de complementos, que se usaban para introducir el primer operando en una resta. Están montadas en el centro de cada rueda metálica con radios y giran con ella. La rueda que se muestra en la imagen superior tiene una rueda interior de complementos, pero los números escritos en ella son apenas visibles. En una máquina decimal, los dígitos del 0 al 9 están grabados en sentido horario, con cada dígito posicionado entre dos radios de manera que el operador puede inscribir directamente su valor en la ventana de complementos colocando su estilete entre ellos y girando la rueda en sentido horario hasta la palanca de tope. ^{[ 12 ]} Las marcas en dos radios adyacentes flanquean el dígito 0 inscrito en esta rueda.

En cuatro de las máquinas conocidas, sobre cada rueda, se monta una pequeña rueda de cociente en la barra de visualización. Estas ruedas de cociente, que son ajustadas por el operador, tienen números del 1 al 10 inscritos en sentido horario en sus periferias (incluso sobre una rueda no decimal). Las ruedas de cociente parecen haber sido utilizadas durante una división para memorizar la cantidad de veces que se restó el divisor en cada índice dado. ^{[ 13 ]}

Mecanismo interno

Pascal pasó por 50 prototipos antes de decidirse por su diseño final; sabemos que comenzó con una especie de mecanismo de reloj calculador que aparentemente "funciona con resortes y tiene un diseño muy simple", se usó "muchas veces" y se mantuvo en "orden de funcionamiento". Sin embargo, "mientras lo mejoraba constantemente", encontró motivos para intentar hacer que todo el sistema fuera más fiable y robusto. ^{[ 14 ]} Finalmente, adoptó un componente de relojes muy grandes, reduciendo y adaptando para su propósito los robustos engranajes que se pueden encontrar en un mecanismo de reloj de torre llamado engranaje de linterna , derivado a su vez de un mecanismo de rueda hidráulica. Esto podía soportar fácilmente la fuerza de la entrada de un operador. ^{[ 15 ]}

Pascal adaptó un mecanismo de trinquete a su propio diseño de rueda de torreta. El trinquete impide que la rueda gire en sentido contrario a las agujas del reloj durante la entrada del operador y, además, actúa como tope para posicionar con precisión la rueda de visualización y el mecanismo de arrastre para el siguiente dígito cuando se empuja hacia arriba y se detiene en su siguiente posición. Gracias a este mecanismo, cada número mostrado aparece perfectamente centrado en la ventana de visualización y cada dígito se posiciona con precisión para la siguiente operación. Este mecanismo se movería seis veces si el operador marcara un seis en la rueda de entrada correspondiente.

Mecanismo de transporte

El sautoir es la pieza central del mecanismo de transporte de la Pascalina. En su " Avis nécessaire... ", Pascal observó que una máquina con 10 000 ruedas funcionaría tan bien como una con dos, ya que cada rueda es independiente de la otra. Cuando llega el momento de propagar un transporte, el sautoir, bajo la única influencia de la gravedad, ^{[ 16 ]} es lanzado hacia la siguiente rueda sin contacto entre ellas. Durante su caída libre, el sautoir se comporta como un acróbata que salta de un trapecio a otro sin que los trapecios se toquen ("sautoir" proviene del verbo francés sauter , que significa saltar). Por lo tanto, todas las ruedas (incluidos los engranajes y el sautoir) tienen el mismo tamaño y peso, independientemente de la capacidad de la máquina.

Pascal utilizó la gravedad para armar los sautoirs. Para armar completamente un sautoir, es necesario girar la rueda cinco pasos, del 4 al 9, pero la transferencia de carga solo mueve la siguiente rueda un paso. Por lo tanto, se acumula mucha energía adicional durante el armado del sautoir.

Todos los sautoirs se activan mediante una entrada del operador o un acarreo. Para poner a cero una máquina de 10 000 ruedas, si existiera, el operador tendría que ajustar cada rueda a su valor máximo y luego sumar 1 a la rueda de "unidad". El acarreo haría girar cada rueda de entrada una por una en un rápido efecto dominó , reiniciando así todos los registros de visualización.

La transmisión de acarreo tiene tres fases:

1. La primera fase ocurre cuando el registro de visualización pasa de 4 a 9. Los dos pasadores de transporte (uno tras otro) levantan el sautoir empujando su parte sobresaliente marcada (3,4,5). Al mismo tiempo, el trinquete de empuje (1) se eleva, utilizando un pasador en la rueda receptora como guía, pero sin efecto sobre esta rueda debido al trinquete superior (C) . Durante la primera fase, la rueda activa toca la que recibirá el transporte a través del sautoir, pero nunca la mueve ni la modifica y, por lo tanto, el estado de la rueda receptora no tiene ningún impacto en la rueda activa.
2. La segunda fase comienza cuando el contador pasa de 9 a 0. El trinquete de empuje pasa su pasador guía y su resorte (z,u) lo posiciona sobre este pasador, listo para empujarlo hacia atrás. El sautoir continúa subiendo y, de repente, el segundo pasador de apoyo lo suelta. El sautoir cae por su propio peso. Durante la segunda fase, el sautoir y las dos ruedas están completamente desconectados.
3. El trinquete de empuje (1) presiona el pasador de la rueda receptora y comienza a girarla. El trinquete superior (C) se desplaza a la siguiente posición. La operación se detiene cuando la parte saliente (T) choca con el tope (R) . El trinquete superior (C) posiciona todo el mecanismo receptor en su lugar correcto. Durante la tercera fase, el mecanismo de avance, que ya no toca la rueda activa, añade uno a la rueda receptora.

La Pascalina es una sumadora directa (no tiene manivela), por lo que el valor de un número se suma al acumulador a medida que se introduce. Al mover una barra de visualización, el operador puede ver el número almacenado en el acumulador o su complemento a nueve. La resta se realiza como la suma, utilizando la aritmética del complemento a nueve.

Las pascalinas se fabricaron en versiones decimales y no decimales, ambas visibles en museos. Fueron diseñadas para ser utilizadas por científicos, contadores y topógrafos. La pascalina más sencilla tenía cinco esferas; las versiones posteriores llegaron a tener hasta diez.

El sistema monetario francés contemporáneo utilizaba libras , soles y deniers, con 20 soles por libra y 12 deniers por sol . La longitud se medía en toises , pieds , pouces y lignes , con 6 pieds por toise , 12 pouces por pied y 12 lignes por pouce . Por lo tanto, la pascalina necesitaba ruedas de base 6, 10, 12 y 20. Las ruedas no decimales siempre se ubicaban antes de la parte decimal.

En una máquina de contabilidad (..10,10,20,12), la parte decimal contaba el número de libras (20 sols ), sols (12 deniers ) y deniers . En una máquina de agrimensor (..10,10,6,12,12), la parte decimal contaba el número de toises (6 pies ), pies (12 pouces ), pouces (12 lignes ) y lignes . Las máquinas científicas solo tenían ruedas decimales.

Se resalta la parte decimal de cada máquina.

El sistema métrico se adoptó en Francia el 10 de diciembre de 1799, fecha en la que el diseño básico de Pascal ya había inspirado a otros artesanos, aunque con una falta similar de éxito comercial.

La mayoría de las máquinas que han sobrevivido al paso de los siglos son de tipo contable. Siete de ellas se encuentran en museos europeos, una pertenece a la corporación IBM y otra está en manos privadas.

Pascal planeaba distribuir ampliamente la Pascalina para reducir la carga de trabajo de quienes necesitaban realizar cálculos aritméticos laboriosos. ^{[ 26 ]} Inspirándose en su padre, un inspector de impuestos , Pascal esperaba ofrecer un atajo para evitar las horas de cálculos numéricos que realizaban los trabajadores en profesiones como matemáticas, física, astronomía, etc. ^{[ 27 ]} Pero, debido a la complejidad del dispositivo, la relación que Pascal mantenía con los artesanos y las leyes de propiedad intelectual en las que influyó, la producción de la Pascalina fue mucho más limitada de lo que había previsto. Solo se produjeron 20 Pascalinas durante los 10 años posteriores a su creación. ^{[ 28 ]}

Contexto social de la colaboración intelectual con artesanos

Pascal vivió en Francia durante el Antiguo Régimen . En aquella época, los artesanos europeos se organizaban cada vez más en gremios , como el de los relojeros ingleses, que formaron el Gremio de Relojeros en 1631, a mitad del proceso de creación de la calculadora por parte de Pascal. Esto afectó a la capacidad de Pascal para reclutar talento, ya que los gremios solían limitar el intercambio de ideas y el comercio; en ocasiones, los artesanos incluso negaban su trabajo para rebelarse contra la nobleza. Así pues, Pascal se encontraba en un mercado con escasez de mano de obra cualificada y dispuesta a trabajar. ^{[ 30 ]} Es importante destacar que los artesanos no tenían la misma libertad que los intelectuales para crear la máquina: Gottfried Leibniz , quien desarrolló la calculadora de Pascal a finales del siglo XVII, vio interrumpido el progreso de su máquina debido a que su artesano vendió las piezas para obtener solvencia económica. ^{[ 31 ]}

La propia conducta de Pascal le dificultó la contratación de artesanos para su proyecto. Esto se debía a su creencia de que las cuestiones intelectuales primaban sobre las físicas. Pascal no era el único, ya que muchos filósofos naturales de su época compartían una concepción hilemórfica del proceso inventivo: las ideas preceden a la materialización, así como la forma precede a la materia. Esto, naturalmente, conllevó un énfasis en la pureza teórica y una escasa valoración del trabajo práctico. Como Pascal describía a los artesanos: «[ellos] trabajan a tientas, mediante ensayo y error, es decir, sin medidas ni proporciones determinadas por el arte, sin producir nada que se corresponda con lo que buscaban, o, peor aún, hacen aparecer un pequeño monstruo al que le faltan sus miembros principales, pues los demás están deformados y carecen de proporción». ^{[ 32 ]}

Pascal concibió su proyecto teniendo en cuenta esta jerarquía: él inventaba y pensaba, mientras que los artesanos simplemente ejecutaban. Ocultó la teoría a los artesanos, promoviendo en cambio que simplemente recordaran qué hacer, no necesariamente por qué debían hacerlo, es decir, hasta que «la práctica haya hecho que las reglas de la teoría sean tan comunes que [las reglas] finalmente se hayan reducido a arte». Esto se debía a su falta de fe no solo en el proceso de trabajo artesanal, sino también en los propios artesanos: «los artesanos no pueden autorregularse para producir máquinas unificadas de forma autónoma». ^{[ 32 ]}

En cambio, Samuel Morland , contemporáneo de Pascal y también dedicado a la creación de una máquina calculadora, probablemente tuvo éxito gracias a su habilidad para mantener buenas relaciones con sus artesanos. Morland atribuyó con orgullo parte de su invención a los artesanos, mencionándolos por su nombre, algo inusual para un noble en aquella época. Morland logró reclutar a los mejores talentos de Europa. Su primer artesano fue el famoso Peter Blondeau , quien ya había recibido la protección y el reconocimiento del estadista francés Richelieu por sus contribuciones a la acuñación de monedas para Inglaterra. Los demás artesanos de Morland eran igualmente talentosos: el tercero, el holandés John Fromanteel , provenía de una famosa familia holandesa pionera en el reloj de péndulo. ^{[ 32 ]}

Al final, Pascal logró consolidar su nombre como el único creador de la pascalina. La patente real afirma que fue su invención exclusivamente. ^{[ 33 ]}

Además de ser la primera máquina calculadora que se hizo pública en su época, la Pascaline también es:

• La única calculadora mecánica operativa del siglo XVII.
• la primera calculadora que tuvo un mecanismo de acarreo controlado que permitió una propagación efectiva de múltiples acarreos ^{[ 34 ]}
• la primera calculadora que se usó en una oficina (la de su padre para calcular los impuestos)
• la primera calculadora comercializada (con alrededor de veinte máquinas construidas) ^{[ 5 ]}
• la primera calculadora que se patentó ( privilegio real de 1649) ^{[ 35 ]}
• la primera calculadora descrita en una enciclopedia (Diderot & d'Alembert, 1751) ^{[ 36 ]}
• la primera calculadora vendida por un distribuidor ^{[ 37 ]}

En 1957, Franz Hammer, biógrafo de Johannes Kepler , anunció el descubrimiento de dos cartas que Wilhelm Schickard había escrito a su amigo Johannes Kepler en 1623 y 1624, las cuales contenían los dibujos de un reloj calculador funcional hasta entonces desconocido, veinte años anterior al trabajo de Pascal. ^{[ 38 ]} La carta de 1624 afirmaba que la primera máquina construida por un profesional había sido destruida en un incendio durante su construcción y que estaba abandonando su proyecto. ^{[ 39 ]} Tras un examen minucioso, se descubrió, contrariamente a lo que creía Franz Hammer, que los dibujos de Schickard se habían publicado al menos una vez por siglo a partir de 1718. ^{[ 40 ]}

Bruno von Freytag Loringhoff, profesor de matemáticas en la Universidad de Tubinga , construyó la primera réplica de la máquina de Schickard, pero no sin antes añadir ruedas y resortes para completar el diseño. ^{[ 41 ]} Este detalle no se describe en las dos cartas y dibujos de Schickard que se conservan. Según las notas que se conservan, se descubrió un problema en el funcionamiento de la máquina de Schickard después de que se construyeran las réplicas. ^{[ 42 ]} La máquina de Schickard utilizaba ruedas de reloj que se hicieron más resistentes y, por lo tanto, más pesadas, para evitar que se dañaran por la fuerza de la entrada del operador. Cada dígito utilizaba una rueda de visualización, una rueda de entrada y una rueda intermedia. Durante una transferencia de acarreo, todas estas ruedas engranaban con las ruedas del dígito que recibía el acarreo. La fricción e inercia acumuladas de todas estas ruedas podían "...dañar potencialmente la máquina si un acarreo necesitaba propagarse a través de los dígitos, por ejemplo, como sumar 1 a un número como 9999". ^{[ 43 ]} La gran innovación de la calculadora de Pascal fue que fue diseñada de tal manera que cada rueda de entrada es totalmente independiente de las demás y los acarreos se propagan en secuencia. Pascal eligió, para su máquina, un método de puesta a cero que propaga un acarreo a través de toda la máquina. ^{[ 17 ]} Es la operación más exigente de ejecutar para una calculadora mecánica y se comprobaba, antes de cada operación, que el mecanismo de acarreo de la Pascalina era completamente funcional. Esto podría considerarse una prueba de la calidad de la Pascalina, ya que ninguna de las críticas del siglo XVIII a la máquina mencionaba un problema con el mecanismo de acarreo y, sin embargo, esta característica se probaba completamente en todas las máquinas, mediante sus reinicios, en todo momento. ^{[ 18 ]}

Tras la muerte de Pascal, Gottfried Leibniz comenzó a trabajar en su propia calculadora. En un principio, intentó construir una máquina que pudiera multiplicar automáticamente sobre la calculadora pascalina, asumiendo erróneamente que todos los diales de la calculadora de Pascal podían accionarse simultáneamente. Si bien esto no fue posible, fue la primera vez que se describió y utilizó un mecanismo de rueda dentada en el dibujo de una calculadora.

Luego ideó un diseño alternativo, la Calculadora Escalonada , que debía realizar sumas, restas y multiplicaciones automáticamente, y divisiones bajo el control del operador. Leibniz luchó durante cuarenta años para perfeccionar este diseño y construyó dos máquinas, una en 1694 y otra en 1706. ^{[ 44 ]} Solo se sabe que existe la máquina construida en 1694; fue redescubierta a finales del siglo XIX, tras haber permanecido olvidada durante 250 años en un ático de la Universidad de Gotinga . ^{[ 44 ]}

Se le pidió al inventor alemán de la máquina de calcular, Arthur Burkhardt, que intentara poner en funcionamiento la máquina de Leibniz. Su informe fue favorable, excepto por la secuencia en el acarreo. ^{[ 45 ]} y "por lo tanto, especialmente en el caso de múltiples transferencias de acarreo, el operador tenía que verificar el resultado y corregir manualmente los posibles errores". ^{[ 46 ]} Leibniz no había logrado crear una calculadora que funcionara correctamente, pero había inventado la rueda de Leibniz , el principio de una calculadora mecánica de dos movimientos. También fue el primero en tener cursores para inscribir el primer operando y un carro móvil para los resultados.

En el siglo XVII se realizaron otros cinco intentos de diseñar máquinas calculadoras de "entrada directa" (entre ellos, los diseños de Tito Burattini , Samuel Morland y René Grillet ).

Hacia 1660, Claude Perrault diseñó un ábaco rabdológico que a menudo se confunde con una calculadora mecánica debido a que posee un mecanismo de acarreo entre los números. Sin embargo, en realidad se trata de un ábaco, ya que requiere que el operador maneje la máquina de manera diferente cuando se produce una transferencia de acarreo. ^{[ 47 ]}

La calculadora de Pascal fue la calculadora mecánica más exitosa desarrollada en el siglo XVII para la suma y resta de números grandes. La calculadora escalonada tenía un problema en el mecanismo de acarreo después de más de dos acarreos consecutivos, y los demás dispositivos tenían mecanismos de acarreo (una rueda dentada) con capacidad limitada para acarrear a través de varios dígitos o carecían de mecanismo de acarreo entre los dígitos del acumulador.

Las máquinas calculadoras no se volvieron comercialmente viables hasta 1851, cuando Thomas de Colmar lanzó, tras treinta años de desarrollo, su aritmómetro simplificado , la primera máquina lo suficientemente robusta como para usarse a diario en una oficina. El aritmómetro se diseñó en torno a las ruedas de Leibniz e inicialmente utilizaba el método del complemento a nueve de Pascal para las restas.

• Máquina calculadora
• Calculadora escalonada
• Aritmómetro
• Máquina de calcular
• Motor diferencial
• Motor analítico
• Z1 (computadora)

• Página web que explica el funcionamiento de un Pascaline.
• Animación detallada que explica cómo funciona la Pascalina.
• Más detalles sobre la historia de la Pascalina y sus réplicas contemporáneas. Archivado el 24 de febrero de 2021 en Wayback Machine.
• Más información sobre las instrucciones de funcionamiento de una Pascaline. Archivado el 13 de diciembre de 2020 en la Wayback Machine.
• "Avis nécessaire à ceux qui auront curiosité de voir ladite Machine et s'en servir" (Pascaline, 1635), texto y análisis en línea en BibNum [haga clic en 'à télécharger' para la versión en inglés] .