Teorema de Pasch

En geometría , el teorema de Pasch , enunciado en 1882 por el matemático alemán Moritz Pasch , ^{[ 1 ]} es un resultado de la geometría plana que no se puede derivar de los postulados de Euclides .

Declaración

La declaración es la siguiente:

Teorema de Pasch : Dados los puntos $a$ , $b$ , $c$ y $d$ en una línea, si se sabe que los puntos están ordenados como ( $a$ , $b$ , $c$ ) y ( $b$ , $c$ , $d$ ), entonces también es cierto que ( $a$ , $b$ , $d$ ). ^{[ 2 ]}

[Aquí, por ejemplo, ( $a$ , $b$ , $c$ ) significa que el punto $b$ se encuentra entre los puntos $a$ y $c$ .]

El uso que Hilbert hizo del teorema de Pasch

David Hilbert incluyó originalmente el teorema de Pasch como axioma en su tratamiento moderno de la geometría euclidiana en The Foundations of Geometry (1899). Sin embargo, E. H. Moore descubrió en 1902 que el axioma era redundante, ^{[ 3 ]} y las ediciones revisadas ahora lo incluyen como teorema. Por lo tanto, el teorema de Pasch también se conoce como el axioma descartado de Hilbert .

El axioma de Pasch , una afirmación aparte, también se incluye y sigue siendo un axioma en el tratamiento de Hilbert.

Véase también

Notas

↑ Pasch 1912
↑ Coxeter (1969 , p. 179) enuncia el resultado en 12.274 pero no se refiere a él específicamente como el teorema de Pasch.
↑ Moore, EH (1902), "Sobre los axiomas proyectivos de la geometría" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158 , doi : 10.2307/1986321 , JSTOR 1986321

Referencias

Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), John Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-18283-2, Zbl 0181.48101
Pasch, Moritz (1912) [primera edición 1882], Vorlesungen uber neuere Geometrie (en alemán) (2ª ed.), Leipzig: BG Teubner

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Teorema de Pasch" . MundoMatemático .

[1] Pasch 1912

[2] Coxeter (1969 , p. 179) enuncia el resultado en 12.274 pero no se refiere a él específicamente como el teorema de Pasch.

[3] Moore, EH (1902), "Sobre los axiomas proyectivos de la geometría" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158 , doi : 10.2307/1986321 , JSTOR 1986321

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