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Teorema de pegado

En matemáticas, específicamente en la teoría de 2-categorías , el teorema de pegado establece que todo esquema de pegado 2-categórico define una única 2-celda compuesta en cada ...

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En matemáticas, específicamente en la teoría de 2-categorías , el teorema de pegado establece que todo esquema de pegado 2-categórico define una única 2-celda compuesta en cada 2-categoría. La noción de pegado en 2-categorías y 2-categorías débiles fue introducida por primera vez por Bénabou (1967) . Típicamente, el pegado se usa para especificar una celda mediante un diagrama de pegado. El teorema de pegado establece que dicha celda está bien definida, ya que las diferentes secuencias de composiciones que el diagrama podría representar dan como resultado la misma celda. El teorema de pegado para 2-categorías estrictas fue demostrado por Power (1990) , y para 2-categorías débiles se demuestra en el Apéndice A de la tesis de Verity (1992) . El teorema de pegado para la versión de n-categorías fue demostrado por Power (1991) y Johnson (1989) , pero la definición del esquema de pegado difiere. Los diagramas de cuerdas se justifican mediante el teorema de pegado.

Pegar diagrama

Ejemplo

Considere el diagrama de pegado D para la adjunción

2 celdasmi:gramoF→idA{\displaystyle {\mathcal {E}}:gf\rightarrow \mathrm {id} _{A}},η:idB→Fgramo{\displaystyle \eta :\mathrm {id} _ {B}\rightarrow fg}

El diagrama de pegado completo representa el compuesto vertical.(idF∗mi)(η∗idF){\displaystyle (\mathrm {id} _{f}*{\mathcal {E}})(\eta *\mathrm {id} _{f})}que es una celda de 2 elementos en D(A, B), mostrada a la derecha arriba [ 1 ]

Teorema de pegado 2-categórico

  • Cada diagrama de pegado de 2 en una estricta 2-categoría A tiene un compuesto único. [ 2 ]
  • Cada diagrama de pegado de 2 en una 2-categoría débil A tiene un compuesto único. [ 3 ]

Esquema de pegado de 2 piezas

Gráfico anclado

Supongamos que G y H son grafos anclados [ 4 ] tales que:

  • sGRAMO=sH{\displaystyle s_{G}=s_{H}},
  • tGRAMO=tH{\displaystyle t_{G}=t_{H}}, y
  • doodGRAMO=dometroH{\displaystyle \mathrm {cod} _{G}=\mathrm {dom} _{H}}.

El HG compuesto vertical es el gráfico anclado definido por los siguientes datos:

(1) El grafo plano conexo de HG es el cociente

GRAMO⊔H{doodGRAMO=dometroH}{\displaystyle {\frac {G\sqcup H}{\{\mathrm {cod} _{G}=\mathrm {dom} _{H}\}}}}

(2) Las caras interiores de HG son las caras interiores de G y H, que ya están ancladas.

(3) La cara exterior de HG es la intersección demiincógnitatGRAMO{\displaystyle \mathrm {ext} _{G}}ymiincógnitatH{\displaystyle \mathrm {ext} _{H}}, con

  • fuentesGRAMO=sH{\displaystyle s_{G}=s_{H}},
  • hundirtGRAMO=tH{\displaystyle t_{G}=t_{H}},
  • dominiodometroGRAMO{\displaystyle \mathrm {dom} _{G}}, y
  • codominiodoodH{\displaystyle \mathrm {cod} _{H}}.

de la unión disjunta de G y H, con el codominio de G identificado con el dominio de H.

Esquema de pegado doble en el sentido de Johnson y Yau.

Un esquema de pegado 2 es un grafo anclado G junto con una descomposición.

GRAMO=GRAMOnorte⋯GRAMO1{\displaystyle G=G_{n}\cdots G_{1}}

en compuestos verticales denorte≥1{\displaystyle n\geq 1}gráficos atómicosGRAMO1,…,GRAMOnorte{\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}. [ 5 ]

Diagrama de pegado de 2 piezas

Supongamos que A es una 2-categoría y G es un grafo anclado. Un diagrama G en A es una asignación.ϕ{\displaystyle \phi }como sigue.

  • ϕ{\displaystyle \phi }asigna a cada vértice v en G un objetoϕv{\displaystyle \phi _{v}}en A.
  • ϕ{\displaystyle \phi }asigna a cada arista e en G con cola u y cabeza va 1-celdaϕmi∈A(ϕtú,ϕv){\displaystyle \phi _{e}\in A(\phi _{u},\phi _{v})}.

Para un camino dirigidoPAG=v0mi1v1…mimetrovmetro{\displaystyle P=v_{0}e_{1}v_{1}\dots e_{m}v_{m}}en G conmetro≤1{\displaystyle m\leq 1}, define la celda compuesta horizontal de 1 celdaϕPAG=ϕmimetro⋯ϕmi1∈A(ϕv0,ϕvmetro){\displaystyle \phi _{P}=\phi _{e_{m}}\cdots \phi _{e_{1}}\in A(\phi _{v_{0}},\phi _{v_{m}})}.

  • ϕ{\displaystyle \phi }asigna a cada cara interior F de G una celda de 2 celdas.ϕF:ϕdometroF→ϕdoodF{\displaystyle \phi _{F}:\phi _{\mathrm {dom} _{F}}\rightarrow \phi _{\mathrm {cod} _{F}}}enA(ϕsF,ϕtF){\displaystyle A(\phi _{s_{F}},\phi _{t_{F}})}.

Si G admite una presentación de esquema de pegado, entonces un diagrama G se llama diagrama de 2 pegados en A de forma G. [ 6 ]

Teorema de pegado categórico gris

Cada diagrama de pegado bidimensional en una categoría gris tiene una composición única hasta un grupoide contraíble de opciones. [ 7 ]

Versión débil del teorema de pegado n -categórico estricto

Para cualquier número natural positivo n , cada esquema de n-pegado etiquetado en una n -categoría estricta A tiene un compuesto "fuerte" único. [ 8 ]

teorema de pegado n- categórico

Para cada número natural positivo n , cada esquema de n-pegado etiquetado en una n -categoría estricta A tiene un compuesto de n -pegado único. [ 9 ]

Notas

  1. ↑ Johnson 1989
  2. ↑ Johnson y Yau 2021 , Teorema 3.3.7 (Pegado 2-categórico)
  3. ↑ Johnson y Yau 2021 , Teorema 3.6.6 (Pegado bicategórico)
  4. ↑ Johnson & Yau 2021 , Definición 3.2.11.
  5. ↑ Johnson & Yau 2021 , Definición 3.2.13.
  6. ↑ Johnson & Yau 2021 , Definición 3.3.1.
  7. ↑ Vitorio 2023 , 4.24. Teorema.
  8. ↑ Power 1991 , Teorema 6.10 (Un teorema de pegado n-categórico débil)
  9. ↑ Power 1991 , Teorema 6.16 (Un teorema de pegado n-categórico)

Referencias

  • Bénabou, Jean (1967). «Introducción a las bicategorías». Informes del Seminario de Categorías del Medio Oeste . Notas de clase en matemáticas. Vol.  47. págs. 1–77 . doi : 10.1007/BFB0074299 . ISBN  978-3-540-03918-1.
  • Power, AJ (1990). "Un teorema de pegado 2-categórico". Journal of Algebra . 129 (2): 439– 445. doi : 10.1016/0021-8693(90)90229-H .
  • Power, AJ (1991). "Un teorema de pegado n-categórico" . Teoría de categorías . Notas de clase en matemáticas. Vol.  1488. pp. 326–358 . doi : 10.1007/BFb0084230 . ISBN  978-3-540-54706-8.
  • Johnson, Niles; Yau, Donald (2019). "Un teorema de pegado bicategórico". arXiv : 1910.01220 [ math.CT ].
  • Johnson, Niles; Yau, Donald (2021). «Pasting Diagrams». 2-Dimensional Categories . pp. 99–146 . arXiv : 2002.06055 . doi : 10.1093/oso/9780198871378.003.0003 . ISBN  978-0-19-887137-8.
  • Johnson, Michael. Pegado de diagramas en n-categorías con aplicaciones a teoremas de coherencia y categorías de caminos (PDF) (Tesis).
  • Johnson, Michael (1989). "La combinatoria del pegado n-categórico". Journal of Pure and Applied Algebra . 62 (3): 211– 225. doi : 10.1016/0022-4049(89)90136-9 .
  • Hackney, Philip; Ozornova, Viktoriya; Riehl, Emily; Rovelli, Martina (enero de 2023). "Un teorema de pegado (∞,2)-categórico". Transactions of the American Mathematical Society . 376 (1): 555– 597. arXiv : 2106.03660 . doi : 10.1090/tran/8783 .
  • Yetter, DN (2009). "Sobre deformaciones de diagramas de pegado" (PDF) . Theory and Applications of Categories . 22 : 24–53 . doi : 10.70930/tac/cw7uv9mh . ISSN 1201-561X . 
  • Vittorio, Nicola Di (2023). "Un teorema de pegado de categoría gris". Theory and Applications of Categories . 39 : 150– 171. doi : 10.70930/tac/1l9k8c4l .
  • Verity, Dominic (1992). "Categorías enriquecidas, categorías internas y cambio de base" (PDF) . Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de las categorías . 20 : 1–266 .
  • Forest, Simon (2022). "Nociones unificadoras de pegar diagramas" . Higher Structures . 6 (1): 1– 79.
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