exponencial ordenada

La exponencial ordenada , también llamada exponencial ordenada por trayectorias , es una operación matemática definida en álgebras no conmutativas , equivalente a la exponencial de la integral en las álgebras conmutativas . En la práctica, la exponencial ordenada se utiliza en álgebras matriciales y de operadores . Es un tipo de integral de producto o integral de Volterra.

Sea A un álgebra sobre un cuerpo K , y a ( t ) un elemento de A parametrizado por los números reales,

${\displaystyle a:\mathbb {R} \a A.}$

En este contexto, el parámetro t en a ( t ) se denomina a menudo parámetro de tiempo .

La exponencial ordenada de a se denota

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}$

donde el término n = 0 es igual a 1 y donde es el operador de ordenación temporal . Es una operación de orden superior que garantiza que la exponencial esté ordenada en el tiempo, de modo que cualquier producto de a ( t ) que ocurra en la expansión de la exponencial esté ordenado de manera que el valor de t aumente de derecha a izquierda del producto. Por ejemplo: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

Es necesario ordenar el tiempo, ya que los productos en el álgebra no son necesariamente conmutativos.

La operación asigna un elemento parametrizado a otro elemento parametrizado, o simbólicamente,

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}$

Hay varias maneras de definir esta integral de forma más rigurosa.

La exponencial ordenada se puede definir como la integral del producto izquierdo de las exponenciales infinitesimales , o equivalentemente, como un producto ordenado de exponenciales en el límite a medida que el número de términos crece hasta el infinito:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

donde los momentos de tiempo { t ₀ , ..., t _N } se definen como t _i ≡ i Δ t para i = 0, ..., N , y Δ t ≡ t / N .

La exponencial ordenada es en realidad una integral geométrica ^{[ ancla rota ]} . ^{[1] [2] [3]}

La exponencial ordenada es la solución única del problema del valor inicial :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}}$

La exponencial ordenada es la solución de la ecuación integral :

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.}$

Esta ecuación es equivalente al problema de valor inicial anterior.

La exponencial ordenada se puede definir como una suma infinita,

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\;a(t_{1})a(t_{2})+\cdots .}$

Esto se puede obtener sustituyendo recursivamente la ecuación integral en sí misma.

Dada una variedad donde para una transformación de grupo se cumple en un punto : ${\displaystyle M}$${\displaystyle e\in TM}$${\displaystyle g:e\mapsto ge}$${\displaystyle x\in M}$

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

Aquí, denota diferenciación exterior y es el operador de conexión (campo de 1 forma) que actúa sobre . Al integrar la ecuación anterior, se cumple (ahora, es el operador de conexión expresado en una base de coordenadas) ${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle e(x)}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

con el operador de ordenación de rutas que ordena los factores en orden de la ruta . Para el caso especial que es un operador antisimétrico y es un rectángulo infinitesimal con longitudes de aristas y esquinas en los puntos anteriores, la expresión se simplifica de la siguiente manera: ${\displaystyle \operatorname {P} }$${\displaystyle \gamma (t)\in M}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle |u|,|v|}$${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, se cumple la identidad de transformación de grupo . Si es una conexión suave, expandiendo la cantidad anterior hasta el segundo orden en cantidades infinitesimales se obtiene para la exponencial ordenada la identidad con un término de corrección que es proporcional al tensor de curvatura . ${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$${\displaystyle |u|,|v|}$

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