Espacio conectado

Subespacios conectados y desconectados de R²

De arriba abajo: el espacio rojo A , el espacio rosa B , el espacio amarillo C y el espacio naranja D son todos espacios conexos , mientras que el espacio verde E (compuesto por los subconjuntos E ₁ , E ₂ , E ₃ y E ₄ ) es disconexo . Además, A y B también son simplemente conexos ( género 0), mientras que C y D no lo son: C tiene género 1 y D tiene género 4.

En topología y ramas afines de las matemáticas , un espacio conexo es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conexidad es una de las principales propiedades topológicas que distinguen a los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico${\displaystyle X}$es unconjunto conectado si es un espacio conectado cuando se ve como unsubespaciode${\displaystyle X}$.

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son conexión de camino , conexión simple y${\displaystyle n}$-conectado . Otra noción relacionada es la de conectado localmente , que ni implica ni se deriva de la conectividad.

Un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice quedesconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. De lo contrario,${\displaystyle X}$Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es conexo si lo es bajo su topología de subespacio. Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conexión (en términos de no partición de${\displaystyle X}$en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de forma independiente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Véase ( Wilder 1978 ) para más detalles.

La conectividad define una relación de equivalencia en el siguiente sentido: dados dos puntos${\displaystyle x,y}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$, escribimos${\displaystyle x\sim y}$si${\displaystyle x,y}$pertenecen al mismo subconjunto conectado. Entonces esto${\displaystyle \sim }$es una relación de equivalencia. ^{[ 2 ]}

• El intervalo cerrado${\displaystyle [0,2)}$en la topología de subespacio estándar está conectado; aunque puede, por ejemplo, escribirse como la unión de${\displaystyle [0,1)}$y${\displaystyle [1,2),}$El segundo conjunto no está abierto en la topología elegida de${\displaystyle [0,2).}$
• La unión de${\displaystyle [0,1)}$y${\displaystyle (1,2]}$está desconectado; ambos intervalos están abiertos en el espacio topológico estándar.${\displaystyle [0,1)\cup (1,2].}$
• ${\displaystyle (0,1)\cup \{3\}}$está desconectado.
• El espacio${\displaystyle X=\{a,b\}}$con la topología indiscreta está conectada, ya que sus únicos conjuntos abiertos son${\displaystyle \varnothing }$y${\displaystyle X}$.
• El subespacio${\displaystyle Y=[-1,0)\cup (0,1]\subset \mathbb {R} }$no está conectado. De hecho, los conjuntos${\displaystyle [-1,0)}$y${\displaystyle (0,1]}$son no vacíos, disjuntos y abiertos en la topología de subespacio en${\displaystyle Y}$y juntos forman una separación de${\displaystyle Y}$.
• Un subconjunto convexo de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$está conectado; en realidad, simplemente está conectado .
• Un plano euclidiano excluyendo el origen,${\displaystyle (0,0),}$El espacio euclidiano tridimensional sin el origen está conectado, pero no es simplemente conectado. En cambio, el espacio euclidiano unidimensional sin el origen no está conectado.
• Un plano euclidiano al que se le ha quitado una línea recta no está conectado, ya que consta de dos semiplanos.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, el espacio de los números reales con la topología usual, es conexo.
• La línea Sorgenfrey está desconectada. ^{[ 5 ]}
• Si se elimina incluso un solo punto de${\displaystyle \mathbb {R} }$, el resto está desconectado. Sin embargo, si incluso una infinidad numerable de puntos se elimina de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dónde${\displaystyle n\geq 2,}$El resto está conectado. Si${\displaystyle n\geq 3}$, entonces${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$permanece simplemente conectado después de la eliminación de una cantidad contable de puntos.
• Cualquier espacio vectorial topológico , por ejemplo cualquier espacio de Hilbert o espacio de Banach , sobre un cuerpo conexo (como${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$), simplemente está conectado.
• Todo espacio topológico discreto con al menos dos elementos es disconexo; de hecho, dicho espacio es totalmente disconexo . El ejemplo más simple es el espacio discreto de dos puntos . ^{[ 6 ]}
• Por otro lado, un conjunto finito puede ser conexo. Por ejemplo, el espectro de un anillo de valuación discreta consta de dos puntos y es conexo. Es un ejemplo de un espacio de Sierpiński .
• El conjunto de Cantor es totalmente disconexo; dado que el conjunto contiene una cantidad incontable de puntos, tiene una cantidad incontable de componentes.
• Si un espacio${\displaystyle X}$Si la homotopía es equivalente a un espacio conexo, entonces${\displaystyle X}$está conectado en sí mismo.
• La curva sinusoidal del topólogo es un ejemplo de un conjunto que está conectado, pero que no está conectado por caminos ni está conectado localmente.
• El grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$(es decir, el grupo de${\displaystyle n}$-por-${\displaystyle n}$matrices reales e invertibles) consta de dos componentes conexas: una con matrices de determinante positivo y otra con determinante negativo. En particular, no es conexa. Por el contrario,${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$está conectado. De forma más general, el conjunto de operadores acotados invertibles en un espacio de Hilbert complejo está conectado.
• Los espectros de anillos locales conmutativos y dominios integrales están conectados. De manera más general, los siguientes son equivalentes ^{[ 7 ].}
  1. El espectro de un anillo conmutativo${\displaystyle R}$está conectado
  2. Cada módulo proyectivo generado finitamente sobre${\displaystyle R}$tiene rango constante.
  3. ${\displaystyle R}$no tiene idempotencia${\displaystyle \neq 0,1}$(es decir,${\displaystyle R}$no es un producto de dos anillos de una manera no trivial).

Un ejemplo de espacio no conexo es un plano al que se le ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha quitado un anillo , así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo presentan la topología de subespacio inducida por el espacio euclidiano bidimensional.

AEl espacio conectado por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino desde un punto${\displaystyle x}$hasta cierto punto${\displaystyle y}$en un espacio topológico${\displaystyle X}$es una función continua${\displaystyle f}$del intervalo unitario${\displaystyle [0,1]}$a${\displaystyle X}$con${\displaystyle f(0)=x}$y${\displaystyle f(1)=y}$. Acomponente de ruta de${\displaystyle X}$es una clase de equivalencia de${\displaystyle X}$bajo la relación de equivalencia que hace${\displaystyle x}$equivalente a${\displaystyle y}$si y solo si existe un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$. ^{[ 8 ]} El espacio${\displaystyle X}$se dice que está conectado por caminos (o conectado por caminos o${\displaystyle \mathbf {0} }$-conectado ) si hay exactamente un componente de ruta. ^{[ 9 ]}

De forma equivalente, un componente de trayectoria de${\displaystyle X}$es un subconjunto conectado por caminos máximo de${\displaystyle X}$(Para ver la equivalencia, observe que un componente de camino en el sentido anterior está conectado por camino). ^{[ 10 ]}

Todo espacio conectado por caminos está conectado. ^{[ 11 ]} Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida${\displaystyle L^{*}}$y la curva sinusoidal del topólogo .

Subconjuntos de la recta real${\displaystyle \mathbb {R} }$están conectados si y solo si están conectados por caminos; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de${\displaystyle \mathbb {R} }$. Además, los subconjuntos abiertos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$o${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$están conectados si y solo si son conexos por caminos. Además, la conexidad y la conexidad por caminos son lo mismo para espacios topológicos finitos . ^{[ 12 ]}

Un espacio${\displaystyle X}$Se dice que es conectado por arco o conectado por arco si dos puntos cualesquiera topológicamente distinguibles pueden unirse mediante un arco , que es una incrustación.${\displaystyle f:[0,1]\to X}$. Un componente de arco de${\displaystyle X}$es un subconjunto conectado por arcos maximal de${\displaystyle X}$; o equivalentemente una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles.

Todo espacio de Hausdorff que es conexo por caminos es también conexo por arcos; ^{[ 13 ]} más generalmente esto es cierto para un${\displaystyle \Delta }$-Espacio de Hausdorff , que es un espacio donde cada imagen de un camino es cerrada. Un ejemplo de un espacio que es conexo por camino pero no por arco está dado por la línea con dos orígenes ; sus dos copias de${\displaystyle 0}$Se pueden conectar mediante un camino, pero no mediante un arco.

La intuición para espacios conectados por caminos no se transfiere fácilmente a espacios conectados por arcos.${\displaystyle X}$Sea la recta con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos se cumplen para espacios conexos por caminos, pero no para espacios conexos por arcos:

• La imagen continua de un espacio conectado por arcos puede no ser conectada por arcos: por ejemplo, una aplicación cociente de un espacio conectado por arcos a su cociente con una cantidad numerable (al menos 2) de puntos topológicamente distinguibles no puede ser conectada por arcos debido a una cardinalidad demasiado pequeña.
• Los componentes de un arco pueden no ser disjuntos. Por ejemplo,${\displaystyle X}$tiene dos componentes de arco superpuestas.
• El espacio producto conectado por arcos puede no ser un producto de espacios conectados por arcos. Por ejemplo,${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$está conectado por arco, pero${\displaystyle X}$no lo es.
• Los componentes de arco de un espacio producto pueden no ser productos de componentes de arco de los espacios marginales. Por ejemplo,${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$tiene un único componente de arco, pero${\displaystyle X}$tiene dos componentes de arco.
• Si los subconjuntos conectados por arcos tienen una intersección no vacía, entonces su unión puede no estar conectada por arcos. Por ejemplo, los componentes de arco de${\displaystyle X}$Se intersecan, pero su unión no está conectada por un arco.

Se dice que un espacio topológico está conectado localmente en un punto.${\displaystyle x}$si cada barrio de${\displaystyle x}$contiene un entorno abierto conexo. Es localmente conexo si tiene una base de conjuntos conexos. Se puede demostrar que un espacio${\displaystyle X}$está conectado localmente si y solo si cada componente de cada conjunto abierto de${\displaystyle X}$está abierto.

De manera similar, se dice que un espacio topológico esUn espacio es localmente conexo por caminos si tiene una base de conjuntos conexos por caminos. Un subconjunto abierto de un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos. Esto generaliza la afirmación anterior sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, cada una de las cuales es localmente conexa por caminos. De manera más general, cualquier variedad topológica es localmente conexa por caminos.

La conexión local no implica conexión, ni la conexión por caminos local implica conexión por caminos. Un ejemplo sencillo de un espacio conectado localmente (y conectado por caminos localmente) que no está conectado (o conectado por caminos) es la unión de dos intervalos separados en${\displaystyle \mathbb {R} }$, como${\displaystyle (0,1)\cup (2,3)}$.

Un ejemplo clásico de un espacio conexo que no está conectado localmente es la llamada curva sinusoidal del topólogo , definida como${\displaystyle T=\{(0,0)\}\cup \left\{\left(x,\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\right):x\in (0,1]\right\}}$, con la topología euclidiana inducida por la inclusión en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

La intersección de conjuntos conexos no implica necesariamente que el conjunto sea conexo.

La unión de conjuntos conexos no es necesariamente conexa, como se puede ver al considerar${\displaystyle X=(0,1)\cup (1,2)}$.

Cada elipse es un conjunto conexo, pero la unión no es conexa, ya que se puede particionar en dos conjuntos abiertos disjuntos.${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$.

Esto significa que, si la unión${\displaystyle X}$está desconectado, entonces la colección${\displaystyle \{X_{i}\}}$puede dividirse en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean disjuntas y abiertas en${\displaystyle X}$(ver imagen). Esto implica que, en varios casos, la unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular:

1. Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía (${\textstyle \bigcap X_{i}\neq \emptyset }$), entonces obviamente no se pueden particionar en colecciones con uniones disjuntas . Por lo tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa.
2. Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía (${\displaystyle \forall i,j:X_{i}\cap X_{j}\neq \emptyset }$) por otra parte no se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada.
3. Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y${\displaystyle \forall i:X_{i}\cap X_{i+1}\neq \emptyset }$, entonces, su unión debe estar conectada.
4. Si los conjuntos son disjuntos dos a dos y el espacio cociente${\displaystyle X/\{X_{i}\}}$está conectado, entonces X debe estar conectado. De lo contrario, si${\displaystyle U\cup V}$es una separación de X entonces${\displaystyle q(U)\cup q(V)}$es una separación del espacio cociente (ya que${\displaystyle q(U),q(V)}$son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). ^{[ 14 ]}

La diferencia de conjuntos de conjuntos conectados no es necesariamente conexa. Sin embargo, si${\displaystyle X\supseteq Y}$y su diferencia${\displaystyle X\setminus Y}$está desconectado (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos)${\displaystyle X_{1}}$y${\displaystyle X_{2}}$), entonces la unión de${\displaystyle Y}$con cada uno de dichos componentes está conectado (es decir,${\displaystyle Y\cup X_{i}}$está conectado para todos${\displaystyle i}$).

• Teorema principal de la conexidad : Sea${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios topológicos y dejemos que${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$sea ​​una función continua. Si${\displaystyle X}$está (conectado por ruta) entonces la imagen${\displaystyle f(X)}$es (conexo por caminos). Este resultado puede considerarse una generalización del teorema del valor intermedio .
• Cada espacio conectado por un camino está conectado.
• En un espacio conectado por caminos localmente, todo conjunto abierto conectado es conectado por caminos.
• Cada espacio conectado localmente por una ruta está conectado localmente.
• Un espacio conectado localmente por caminos está conectado por caminos si y solo si está conectado.
• La clausura de un subconjunto conexo es conexa. Además, cualquier subconjunto entre un subconjunto conexo y su clausura es conexo.
• Los componentes conectados siempre están cerrados (pero en general no abiertos).
• Los componentes conectados de un espacio conectado localmente también son abiertos.
• Los componentes conexos de un espacio son uniones disjuntas de los componentes conectados por caminos (que en general no son ni abiertos ni cerrados).
• Todo cociente de un espacio conectado (resp. conectado localmente, conectado por caminos, conectado localmente por caminos) es conectado (resp. conectado localmente, conectado por caminos, conectado localmente por caminos).
• Todo producto de una familia de espacios conectados (resp. conectados por caminos) está conectado (resp. conectado por caminos).
• Todo subconjunto abierto de un espacio conectado localmente (o conectado por caminos localmente) está conectado localmente (o conectado por caminos localmente).
• Cada variedad está conectada localmente por caminos.
• El espacio conectado por arcos está conectado por caminos, pero el espacio conectado por caminos puede no estar conectado por arcos.
• La imagen continua de un conjunto conectado por arcos es conectada por arcos.

Los grafos tienen subconjuntos conectados por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Sin embargo, no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conectados. El grafo de 5 ciclos (y cualquier${\displaystyle n}$-ciclo con${\displaystyle n>3}$extraño) es un ejemplo de ello.

En consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. En efecto, existe una categoría de espacios conectivos formada por conjuntos con colecciones de subconjuntos conexos que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que mapean conjuntos conexos a otros conjuntos conexos ( Muscat y Buhagiar, 2006 ) . Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, todo grafo puede transformarse canónicamente en un espacio topológico, considerando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (véase Teoría topológica de grafos#Grafos como espacios topológicos ). Entonces, se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido de la teoría de grafos) si y solo si es conexo como espacio topológico.

Existen formas de conectividad más fuertes para los espacios topológicos , por ejemplo:

• Si no existen dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos en un espacio topológico${\displaystyle X}$,${\displaystyle X}$deben estar conectados, y por lo tanto los espacios hiperconectados también están conectados.
• Dado que un espacio simplemente conexo , por definición, también debe ser conexo por caminos, cualquier espacio simplemente conexo también está conectado. Si se elimina el requisito de "conexiones por caminos" de la definición de conectividad simple, un espacio simplemente conexo no necesita estar conectado.
• Sin embargo, las versiones más robustas de conectividad incluyen la noción de espacio contraíble . Todo espacio contraíble está conectado por caminos y, por lo tanto, también está conectado.

En general, cualquier espacio conectado por caminos debe ser conexo, pero existen espacios conexos que no lo son. El espacio peine eliminado proporciona un ejemplo de ello, al igual que la curva sinusoidal del topólogo mencionada anteriormente.

Un espacio bien encadenado es un espacio métrico en el que dos puntos arbitrarios pueden conectarse mediante una cadena de puntos que están arbitrariamente cerca. Mientras que cualquier conjunto bien encadenado${\displaystyle X}$está conectado, ^{[ 16 ] : Cap. I §8} lo contrario no es cierto (un ejemplo es${\displaystyle \mathbb {Q} }$).

• Componente conexo (teoría de grafos) : subgrafo maximal cuyos vértices pueden alcanzarse entre sí. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección. 
• lugar de conexión
• Dominio (análisis matemático) – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológico 
• Espacio extremadamente desconectado : espacio topológico en el que el cierre de cada conjunto abierto es abierto. 
• Espacio conectado localmente : propiedad de los espacios topológicos. 
• n -conectado
• Espacio uniformemente conectado – Tipo de espacio uniforme 
• Conectividad de píxeles

• Bredon, GE (2013). Topología y geometría . Textos de posgrado en matemáticas. Vol.  139. Springer Science & Business Media.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general (Edición revisada y completa  ). Lemgo: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
• Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Espacios conectivos" (PDF) . Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ., Serie B: Math. Sc . 39 : 1–13 . Archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016. Recuperado el 17 de mayo de 2010 ..
• Wilder, RL (1978). "Evolución del concepto topológico de "conectado"". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720– 726. doi : 10.2307/2321676 . JSTOR 2321676 . 
• Willard, Stephen (1970). Topología general . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 0-486-43479-6.