Función de Patterson

La función de Patterson se utiliza para resolver el problema de fase en la cristalografía de rayos X. Fue introducida en 1935 por Arthur Lindo Patterson mientras era investigador visitante en el laboratorio de Bertram Eugene Warren en el MIT . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La función de Patterson se define como

$${\displaystyle P(u,v,w)=\sum _{h,k,\ell \in \mathbb {Z} }\left|F_{h,k,\ell }\right|^{2}\;e^{-2\pi i(hu+kv+\ell w)}.}$$

Esencialmente, se trata de la transformada de Fourier de las intensidades, en lugar de los factores de estructura . La función de Patterson también es equivalente a la densidad electrónica convolucionada con su inversa:

${\displaystyle P\left({\vec {u}}\right)=\rho \left({\vec {r}}\right)*\rho \left(-{\vec {r}}\right).}$

Además, un mapa de Patterson de N puntos tendrá N ( N − 1) picos, excluyendo el pico central (origen) y cualquier superposición.

Las posiciones de los picos en la función de Patterson son los vectores de distancia interatómica y las alturas de los picos son proporcionales al producto del número de electrones en los átomos en cuestión.

Debido a que para cada vector entre los átomos i y j hay un vector de la misma longitud con orientación opuesta (entre los átomos j e i ), la función de Patterson siempre tiene centrosimetría .

Consideremos la serie de funciones delta dada por

${\displaystyle f(x)=\delta (x)+3\delta (x-2)+\delta (x-5)+3\delta (x-8)+5\delta (x-10).\,}$

La función de Patterson viene dada por la siguiente serie de funciones delta y funciones escalón unitario.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(u)={}&5\delta (u+10)+18\delta (u+8)+9\delta (u+6)+6\delta (u+5)+6\delta (u+3)\\&+18\delta (u+2)+45\delta (u)+18\delta (u-2)+6\delta (u-3)+6\delta (u-5)\\&+9\delta (u-6)+18\delta (u-8)+5\delta (u-10).\end{aligned}}}$

• "Resolución estructural. La función de Patterson y el método de Patterson" .