Pico en

En la teoría de sistemas integrables , un peakon ("solitón picudo") es un solitón con primera derivada discontinua ; el perfil de onda tiene la forma del gráfico de la función . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales con soluciones de (multi-)peakon son la ecuación de ondas en aguas poco profundas de Camassa-Holm , la ecuación de Degasperis-Procesi y la ecuación de Fornberg-Whitham . Dado que las soluciones de peakon solo son diferenciables por partes, deben interpretarse en un sentido débil adecuado . El concepto fue introducido en 1993 por Camassa y Holm en el artículo breve pero muy citado donde derivaron su ecuación de aguas poco profundas. ^[1]${\displaystyle e^{-|x|}}$

El ejemplo principal de una PDE que admite soluciones Peakon es

${\displaystyle u_{t}-u_{xxt}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},\,}$

donde es la función desconocida, y b es un parámetro. ^[2] En términos de la función auxiliar definida por la relación , la ecuación toma la forma más simple ${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle m(x,t)}$${\displaystyle m=u-u_{xx}}$

${\displaystyle m_{t}+m_{x}u+bmu_{x}=0.\,}$

Esta ecuación es integrable para exactamente dos valores de b , es decir, b = 2 (la ecuación de Camassa–Holm ) y b = 3 (la ecuación de Degasperis–Procesi ).

La ecuación diferencial parcial anterior admite la solución de onda viajera , que es una onda solitaria con pico de amplitud c y velocidad c . Esta solución se denomina solución de pico (único) o simplemente pico . Si c es negativo, la onda se mueve hacia la izquierda con el pico apuntando hacia abajo y, en ese caso, a veces se la denomina antipico . ${\displaystyle u(x,t)=c\,e^{-|x-ct|}}$

No resulta inmediatamente obvio en qué sentido la solución de peakon satisface la EDP. Puesto que la derivada u _x tiene una discontinuidad de salto en el pico, la segunda derivada u _xx debe tomarse en el sentido de distribuciones y contendrá una función delta de Dirac ; de hecho, . Ahora bien, el producto que se produce en la EDP parece no estar definido, puesto que la distribución m se sustenta en el mismo punto en el que la derivada u _x no está definida. Una interpretación ad hoc es tomar el valor de u _x en ese punto como igual al promedio de sus límites izquierdo y derecho (cero, en este caso). Una forma más satisfactoria de dar sentido a la solución es invertir la relación entre u y m escribiendo , donde , y utilizar esto para reescribir la EDP como una ley de conservación hiperbólica (no local) : ${\displaystyle m=u-u_{xx}=c\,\delta (x-ct)}$$Estilo de visualización mu_{x}$${\displaystyle m=(G/2)*u}$${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*\left({\frac {bu^{2}}{2}}+{\frac {(3-b)u_{x}^{2}}{2}}\right)\right]=0.}$

(La estrella denota convolución con respecto a x ). En esta formulación la función u puede interpretarse simplemente como una solución débil en el sentido habitual. ^[3]

Las soluciones multipeakon se forman tomando una combinación lineal de varios peakones, cada uno con su propia amplitud y posición dependiente del tiempo. (Esta es una estructura muy simple comparada con las soluciones multisolitón de la mayoría de otras EDP integrables, como la ecuación de Korteweg-de Vries , por ejemplo). La solución n -peakon toma la forma

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)\,e^{-|x-x_{i}(t)|},}$

donde las 2 n funciones y deben elegirse adecuadamente para que u satisfaga la EDP. Para la " familia b " anterior resulta que este ansatz de hecho da una solución, siempre que el sistema de EDO$Estilo de visualización x_{i}(t)}$$Estilo de visualización m_{i}(t)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}e^{-|x_{k}-x_{i}|},\qquad {\dot {m}}_{k}=(b-1)\sum _{i=1}^{n}m_{k}m_{i}\operatorname {sgn}(x_{k}-x_{i})e^{-|x_{k}-x_{i}|}\qquad (k=1,\dots ,n)}$

se satisface. (Aquí sgn denota la función de signo .) Nótese que el lado derecho de la ecuación para se obtiene sustituyendo en la fórmula para u . De manera similar, la ecuación para se puede expresar en términos de , si uno interpreta la derivada de en x = 0 como siendo cero. Esto da la siguiente notación abreviada conveniente para el sistema: $Estilo de visualización x_{k}}$${\displaystyle x=x_{k}}$${\displaystyle m_{k}}$$estilo de visualización u_{x}}$${\displaystyle \exp(-|x|)}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=u(x_{k}),\qquad {\dot {m}}_{k}=-(b-1)m_{k}u_{x}(x_{k})\qquad (k=1,\dots ,n).}$

La primera ecuación proporciona una intuición útil sobre la dinámica de los picos: la velocidad de cada pico es igual a la elevación de la onda en ese punto.

En los casos integrables b = 2 y b = 3, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que describe la dinámica de los picos se puede resolver explícitamente para un valor arbitrario de n en términos de funciones elementales, utilizando técnicas espectrales inversas. Por ejemplo, la solución para n = 3 en el caso de Camassa–Holm b = 2 se da mediante ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=\log {\frac {(\lambda _{1}-\lambda _{2})^{2}(\lambda _{1}-\lambda _{3})^{2}(\lambda _{2}-\lambda _{3})^{2}a_{1}a_{2}a_{3}}{\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\x_{2}(t)&=\log {\frac {\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}}}\\x_{3}(t)&=\log(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\m_{1}(t)&={\frac {\sum _{j<k}\lambda _{j}^{2}\lambda _{k}^{2}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{2}(t)&={\frac {\left(\lambda _{1}^{2}a_{1}+\lambda _{2}^{2}a_{2}+\lambda _{3}^{2}a_{3}\right)\sum _{j<k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}{\left(\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}\right)\sum _{j<k}\lambda _{j}\lambda _{k}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{2}a_{j}a_{k}}}\\m_{3}(t)&={\frac {a_{1}+a_{2}+a_{3}}{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\lambda _{3}a_{3}}}\end{alineado}}}$

donde , y donde las 2 n constantes y se determinan a partir de las condiciones iniciales. La solución general para un valor arbitrario de n se puede expresar en términos de funciones simétricas de y . La solución general de n -peakon en el caso de Degasperis–Procesi b = 3 es similar en su estructura, aunque la estructura detallada es más complicada. ^[5]${\displaystyle a_{k}(t)=a_{k}(0)e^{t/\lambda _{k}}}$$estilo de visualización a_{k}(0)}$${\displaystyle \lambda _{k}}$$Estilo de visualización ak$${\displaystyle \lambda _{k}}$