Teorema del núcleo de Peano

En análisis numérico , el teorema del núcleo de Peano es un resultado general sobre límites de error para una amplia clase de aproximaciones numéricas (como las cuadraturas numéricas ), definidas en términos de funcionales lineales . Se atribuye a Giuseppe Peano . ^{[ 1 ]}

Dejar ${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$ser el espacio de todas las funciones${\displaystyle f}$que son diferenciables en${\displaystyle (a,b)}$que son de variación limitada en${\displaystyle [a,b]}$y dejar${\displaystyle L}$sea ​​un funcional lineal en${\displaystyle {\mathcal {V}}[a,b]}$. Supongamos que eso${\displaystyle L}$aniquila todos los polinomios de grado${\displaystyle \leq \nu }$, es decir$${\displaystyle Lp=0,\qquad \forall p\in \mathbb {P} _{\nu }[x].}$$Supongamos además que para cualquier función bivariada${\displaystyle g(x,\theta )}$con${\displaystyle g(x,\cdot ),\,g(\cdot ,\theta )\in C^{\nu +1}[a,b]}$Lo siguiente es válido:$${\displaystyle L\int _{a}^{b}g(x,\theta )\,d\theta =\int _{a}^{b}Lg(x,\theta )\,d\theta ,}$$y definir el núcleo de Peano de${\displaystyle L}$como$${\displaystyle k(\theta )=L[(x-\theta )_{+}^{\nu }],\qquad \theta \in [a,b],}$$utilizando la notación$${\displaystyle (x-\theta )_{+}^{\nu }={\begin{cases}(x-\theta )^{\nu },&x\geq \theta ,\\0,&x\leq \theta .\end{cases}}}$$El teorema del núcleo de Peano ^{[ 1 ] [ 2 ]} establece que, si${\displaystyle k\in {\mathcal {V}}[a,b]}$, entonces para cada función${\displaystyle f}$eso es${\textstyle \nu +1}$tiempos continuamente diferenciables , tenemos $${\displaystyle Lf={\frac {1}{\nu$$ !}}\int _{a}^{b}k(\theta )f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta .}

En la práctica, la principal aplicación del teorema del núcleo de Peano es acotar el error de una aproximación que es exacta para todo${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$El teorema anterior se deduce del polinomio de Taylor para${\displaystyle f}$con resto entero:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=f(a)+{}&(xa)f'(a)+{\frac {(xa)^{2}}{2}}f''(a)+\cdots \\[6pt]&\cdots +{\frac {(xa)^{\nu }}{\nu$ !}}f^{(\nu )}(a)+{\frac {1}{\nu  !}}\int _{a}^{x}(x-\theta )^{\nu }f^{(\nu +1)}(\theta )\,d\theta ,\end{aligned}}}

definición${\displaystyle L(f)}$como el error de la aproximación, utilizando la linealidad de${\displaystyle L}$junto con exactitud para${\displaystyle f\in \mathbb {P} _{\nu }}$para aniquilar todos excepto el último término del lado derecho y usar el${\displaystyle (\cdot )_{+}}$anotación para eliminar el${\displaystyle x}$-dependencia de los límites integrales. ^{[ 3 ]}

• Diferencias divididas