La desigualdad de Pedoe

En geometría , la desigualdad de Pedoe (también desigualdad de Neuberg-Pedoe ), que recibe su nombre de Daniel Pedoe (1910-1998) y Joseph Jean Baptiste Neuberg (1840-1926), establece que si a , b y c son las longitudes de los lados de un triángulo con área ƒ , y A , B y C son las longitudes de los lados de otro triángulo con área F , entonces

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff,\,}$

con igualdad si y solo si los dos triángulos son semejantes con pares de lados correspondientes ( A, a ), ( B, b ) y ( C, c ).

La expresión de la izquierda no solo es simétrica bajo cualquiera de las seis permutaciones del conjunto {  ( A , a ), ( B , b ), ( C , c ) } de pares, sino que también —quizás no tan obviamente— permanece igual si se intercambia a con A , b con B y c con C. En otras palabras, es una función simétrica del par de triángulos.       

La desigualdad de Pedoe es una generalización de la desigualdad de Weitzenböck , que es el caso en el que uno de los triángulos es equilátero .

Pedoe descubrió la desigualdad en 1941 y la publicó posteriormente en varios artículos. Más tarde supo que Neuberg ya la conocía en el siglo XIX, aunque no demostró que la igualdad implicara la semejanza de los dos triángulos.

Según la fórmula de Herón , el área de los dos triángulos se puede expresar como:

${\displaystyle 16f^{2}=(a+b+c)(a+bc)(a-b+c)(b+ca)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle 16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})}$

y luego, utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz , tenemos:

${\displaystyle 16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle \leq {\sqrt {16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4}}}{\sqrt {16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4}}}}$

${\displaystyle =(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})}$

Entonces,

${\displaystyle 16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle =A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

y la proposición queda demostrada.

La igualdad se cumple si y solo si${\displaystyle {\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {f}{F}}}}$, es decir, los dos triángulos son semejantes.

• Lista de desigualdades triangulares

• Pedoe, Daniel (diciembre de 1941). "Una desigualdad que conecta dos triángulos cualesquiera". The Mathematical Gazette . 25 (267): 310– 311. doi : 10.2307/3606570 . JSTOR 3606570 . 
• Pedoe, Daniel (noviembre de 1963). "Una desigualdad de dos triángulos". The American Mathematical Monthly . 70 (9): 1012.
• Pedoe, Daniel (1943). "Una desigualdad para dos triángulos". Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 38 (4): 397– 398. doi : 10.1017/S030500410002209X .
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). Cuando menos es más: Visualizando desigualdades básicas . MAA Press. pág.  108. ISBN 978-0-88385-342-9.
• Mitrinović, DS; Pečarić, JE (enero de 1988). "Acerca de las desigualdades de Neuberg-Pedoe y Oppenheim" . Journal of Mathematical Analysis and Applications . 129 (1): 196– 210. doi : 10.1016/0022-247X(88)90242-9 .
• Poh, KS "Una breve nota sobre un teorema de Pedoe acerca de dos triángulos" (PDF) . Sociedad Matemática de Singapur, Medley Matemático . 11 (2).