Transformación de Penrose

En física teórica , la transformada de Penrose , introducida por Roger Penrose ( 1967 , 1968 , 1969 ) , es un análogo complejo de la transformada de Radon que relaciona campos sin masa en el espaciotiempo, o más precisamente el espacio de soluciones de ecuaciones de campo sin masa , con grupos de cohomología de haces en el espacio proyectivo complejo . El espacio proyectivo en cuestión es el espacio twistor , un espacio geométrico asociado naturalmente al espaciotiempo original, y la transformada twistor también es geométricamente natural en el sentido de la geometría integral . La transformada de Penrose es un componente fundamental de la teoría twistor clásica . 

En abstracto, la transformada de Penrose opera sobre una doble fibración de un espacio Y , sobre dos espacios X y Z.

${\displaystyle Z{\xleftarrow {\eta }}Y{\xrightarrow {\tau }}X.}$

En la transformada clásica de Penrose, Y es el fibrado de espín , X es una forma compactificada y complejizada del espacio de Minkowski (que como variedad compleja es${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$) y Z es el espacio twistor (que es${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$). Ejemplos más generales provienen de fibraciones dobles de la forma

${\displaystyle G/H_{1}{\xleftarrow {\eta }}G/(H_{1}\cap H_{2}){\xrightarrow {\tau }}G/H_{2}}$

donde G es un grupo de Lie semisimple complejo y H ₁ y H ₂ son subgrupos parabólicos .

La transformada de Penrose opera en dos etapas. Primero, se realiza una retracción de los grupos de cohomología de haces H ^r ( Z , F ) a la cohomología de haces H ^r ( Y ,η ^{− 1} F ) en Y ; en muchos casos donde la transformada de Penrose es de interés, esta retracción resulta ser un isomorfismo. Luego se extienden las clases de cohomología resultantes a X ; es decir, se investiga la imagen directa de una clase de cohomología mediante la secuencia espectral de Leray . La imagen directa resultante se interpreta entonces en términos de ecuaciones diferenciales. En el caso de la transformada de Penrose clásica, las ecuaciones diferenciales resultantes son precisamente las ecuaciones de campo sin masa para un espín dado.

El ejemplo clásico se da de la siguiente manera:

• El "espacio twistor" Z es el espacio proyectivo complejo de 3 dimensiones CP ³ , que también es la grassmanniana Gr ₁ ( C ⁴ ) de líneas en el espacio complejo de 4 dimensiones.
• X = Gr ₂ ( C ⁴ ), la grassmanniana de 2-planos en el espacio complejo de 4 dimensiones. Esta es una compactificación del espacio de Minkowski complejo.
• Y es la variedad de banderas cuyos elementos corresponden a una línea en un plano de C ⁴ .
• G es el grupo SL ₄ ( C ) y H ₁ y H ₂ son los subgrupos parabólicos que fijan una línea o un plano que contiene esta línea.

Los mapas de Y a X y Z son las proyecciones naturales.

Utilizando la notación de índices espinoriales, la transformada de Penrose proporciona una biyección entre soluciones al espín${\displaystyle \pm n/2}$ecuación de campo sin masa $${\displaystyle \partial _{A}\,^{A_{1}'}\phi _{A_{1}'A_{2}'\cdots A_{n}'}=0}$$ y el primer grupo de cohomología de haces${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(\pm n-2))}$, dónde${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$es la esfera de Riemann ,${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$son los haces de líneas holomorfos usuales sobre el espacio proyectivo, y los haces que se consideran son los haces de secciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$. ^{[ 1 ]}

La transformada de Penrose-Ward es una modificación no lineal de la transformada de Penrose, introducida por Ward (1977) , que (entre otras cosas) relaciona los haces vectoriales holomorfos en el espacio proyectivo complejo tridimensional CP ³ con las soluciones de las ecuaciones autoduales de Yang-Mills en S ⁴ . Atiyah y Ward (1977) la utilizaron para describir instantones en términos de haces vectoriales algebraicos en el espacio proyectivo complejo tridimensional y Atiyah (1979) explicó cómo podría utilizarse para clasificar instantones en una 4-esfera.

• Correspondencia de Twistor