Pentadecágono

En geometría , un pentadecágono , pentakaidecágono o 15-gono es un polígono de quince lados .

Un pentadecágono regular se representa mediante el símbolo de Schläfli {15}.

Un pentadecágono regular tiene ángulos interiores de 156 ° , y con una longitud lateral a , tiene un área dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {15}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{15}}&={\frac {15}{4}}{\sqrt {7+2{\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}}a^{2}\\&={\frac {15a^{2}}{8}}\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)\\&\simeq 17.6424\,a^{2}.\end{aligned}}}$

Como 15 = 3 × 5, un producto de primos de Fermat distintos , un pentadecágono regular es construible usando compás y regla : Las siguientes construcciones de pentadecágonos regulares con un circuncírculo dado son similares a la ilustración de la proposición XVI en el Libro IV de los Elementos de Euclides . ^[1]

Compara la construcción según Euclides en esta imagen: Pentadecágono

En la construcción de un círculo circunscrito dado: es un lado de un triángulo equilátero y es un lado de un pentágono regular. ^[2] El punto divide el radio en proporción áurea :${\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|}$$estilo de visualización |E_{2}E_{5}|}$${\estilo de visualización H}$${\displaystyle {\overline {AM}}}$${\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

En comparación con la primera animación (con líneas verdes), en las dos imágenes siguientes se muestran los dos arcos circulares (para los ángulos de 36° y 24°) rotados 90° en sentido antihorario. No se utiliza el segmento , sino que se utiliza el segmento como radio para el segundo arco circular (ángulo de 36°). ${\displaystyle {\overline {CG}}}$${\displaystyle {\overline {MG}}}$${\displaystyle {\overline {AH}}}$

Construcción con regla y compás para una longitud de lado dada. La construcción es casi igual a la del pentágono en un lado dado , luego también la presentación se logra por extensión de un lado y genera un segmento, aquí que se divide según la proporción áurea: ${\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}$

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Circunradio Longitud lateral Ángulo${\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}$${\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}$${\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2.40486\cdot a\end{aligned}}}$

El pentadecágono regular tiene simetría diedral Dih ₁₅ , orden 30, representada por 15 líneas de reflexión. Dih ₁₅ tiene 3 subgrupos diedros: Dih ₅ , Dih ₃ y Dih ₁ . Y cuatro simetrías cíclicas más: Z ₁₅ , Z ₅ , Z ₃ y Z ₁ , donde Z _n representa una simetría rotacional de π/ n radianes.

En el pentadecágono, hay 8 simetrías distintas. John Conway etiqueta estas simetrías con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. ^[3] Da r30 para la simetría reflexiva completa, Dih ₁₅ . Da d (diagonal) con líneas de reflexión a través de vértices, p con líneas de reflexión a través de aristas (perpendicular), y para el pentadecágono de lados impares i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría cíclica. a1 no etiqueta simetría.

Estas simetrías inferiores permiten grados de libertad en la definición de pentadecágonos irregulares. Solo el subgrupo g15 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Hay tres polígonos estrellados regulares : {15/2}, {15/4}, {15/7}, construidos a partir de los mismos 15 vértices de un pentadecágono regular, pero conectados saltando cada segundo, cuarto o séptimo vértice respectivamente.

También hay tres figuras estelares regulares : {15/3}, {15/5}, {15/6}, siendo la primera un compuesto de tres pentágonos , la segunda un compuesto de cinco triángulos equiláteros y la tercera un compuesto de tres pentagramas .

La figura compuesta {15/3} puede considerarse vagamente como el equivalente bidimensional del compuesto tridimensional de cinco tetraedros .

Truncamientos más profundos del pentadecágono regular y de los pentadecagramas pueden producir formas de polígonos estrellados intermedios isogonales ( transitivos de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de arista. ^[4]

El pentadecágono regular es el polígono de Petrie para algunos politopos de dimensiones superiores, proyectados en una proyección ortogonal sesgada :

Un triángulo regular, un decágono y un pentadecágono pueden llenar por completo un vértice plano . Sin embargo, debido al número impar de lados del triángulo, las figuras no pueden alternarse alrededor del triángulo, por lo que el vértice no puede producir una teselación semirregular .

• Construcción del pentadecágono con un lado dado, cálculo del radio circunscrito R {\displaystyle R} (alemán)
• Construcción del pentadecágono con una longitud de lado dada, ejemplificación: circunradio C G ¯ = R {\displaystyle {\overline {CG}}=R}

• Weisstein, Eric W. "Pentadecágono". MathWorld .