Pentágono

En geometría , un pentágono ( del griego πέντε (pente) ' cinco ' y γωνία (gonia) ' ángulo ' ^{[ 1 ]} ) es cualquier polígono de cinco lados o 5-gono. La suma de los ángulos internos de un pentágono simple es 540°.  

Un pentágono puede ser simple o autointersecante . Un pentágono regular autointersecante (o pentágono estrellado ) se llama pentagrama .

Un pentágono regular tiene el símbolo de Schläfli {5} y ángulos interiores de 108°. También tiene cinco ejes de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 5 (que pasa por 72°, 144°, 216° y 288°). Las diagonales de un pentágono regular convexo están en proporción áurea con sus lados. Dado su lado,${\displaystyle t,}$su altura${\displaystyle H}$(distancia de un lado al vértice opuesto), ancho${\displaystyle W}$(distancia entre los dos puntos más alejados, que es igual a la longitud de la diagonal)${\displaystyle D}$) y radio circunscrito${\displaystyle R}$son dados por:

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

El área de un pentágono regular convexo con lado de longitud${\displaystyle t}$es dado por

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

Si el radio circunscrito${\displaystyle R}$Se da el tamaño de un pentágono regular y la longitud de su arista.${\displaystyle t}$se encuentra mediante la expresión

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

y su área es

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

ya que el área del círculo circunscrito es${\displaystyle \pi R^{2},}$El pentágono regular ocupa aproximadamente el 0,7568 de su círculo circunscrito.

Construcciones geométricas

El pentágono regular se puede construir con compás y regla , ya que 5 es un número primo de Fermat . Se conocen diversos métodos para construir un pentágono regular. Algunos se describen a continuación.

El método de Richmond

^{Richmond [ 3 ]} describe un método para construir un pentágono regular en un círculo dado , y lo analiza con más detalle en Polyhedra de Cromwell ^{[ 4 ]} .

El panel superior muestra la construcción utilizada en el método de Richmond para crear el lado del pentágono inscrito. El círculo que define el pentágono tiene radio unitario. Su centro se encuentra en el punto C y se marca un punto medio M a la mitad de su radio. Este punto se une a la periferia verticalmente por encima del centro en el punto D. El ángulo CMD se biseca, y la bisectriz interseca el eje vertical en el punto Q. Una línea horizontal que pasa por Q interseca el círculo en el punto P , y la cuerda PD es el lado requerido del pentágono inscrito.

Para determinar la longitud de este lado, los dos triángulos rectángulos DCM y QCM se representan debajo del círculo. Usando el teorema de Pitágoras y dos lados, la hipotenusa del triángulo mayor se encuentra como${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$El lado h del triángulo más pequeño se calcula utilizando la fórmula del ángulo mitad :

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

donde el coseno y el seno de ϕ se conocen a partir del triángulo más grande. El resultado es:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Si DP es realmente el lado de un pentágono regular,${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$, entonces DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos ² (54°), y CQ = 1 − 2cos ^{2 (54°), que es igual a −cos(108°) por la} fórmula del coseno del ángulo doble . Este es el coseno de 72°, que es igual a${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$como se desee.

Círculos de Carlyle

El círculo de Carlyle se inventó como un método geométrico para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática . ^{[ 5 ]} Esta metodología conduce a un procedimiento para construir un pentágono regular. Los pasos son los siguientes: ^{[ 6 ]}

1. Dibuja un círculo en el que inscribir el pentágono y marca el punto central O.
2. Dibuja una línea horizontal que pase por el centro del círculo. Marca la intersección izquierda con el círculo como el punto B.
3. Construye una línea vertical que pase por el centro. Marca una intersección con el círculo como punto A.
4. Construye el punto M como el punto medio de O y B.
5. Dibuja un círculo centrado en M que pase por el punto A. Marca su intersección con la línea horizontal (dentro del círculo original) como el punto W y su intersección fuera del círculo como el punto V.
6. Dibuja un círculo de radio OA y centro W. Este círculo interseca al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
7. Dibuja un círculo de radio OA y centro V. Este círculo interseca al círculo original en dos de los vértices del pentágono.
8. El quinto vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

Los pasos 6 a 8 son equivalentes a la siguiente versión, que se muestra en la animación:

6a. Construya el punto F como el punto medio de O y W.

7a. Traza una línea vertical que pase por F. Esta línea interseca el círculo original en dos de los vértices del pentágono. El tercer vértice es la intersección más a la derecha de la línea horizontal con el círculo original.

8a. Construye los otros dos vértices usando el compás y la longitud del vértice encontrado en el paso 7a.

Utilizando trigonometría

Desde${\displaystyle \cos(36^{\circ })={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$Podemos construir un pentágono regular construyendo un triángulo rectángulo específico y duplicándolo, como sigue:

• En primer lugar, observamos que un pentágono regular se puede dividir en 10 triángulos congruentes, como se muestra en la Observación .
• En el paso 1 , utilizamos cuatro unidades (mostradas en azul) y un ángulo recto para construir un segmento de longitud${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$– específicamente mediante la creación de un${\displaystyle 1-2-{\sqrt {5}}}$triángulo rectángulo y luego extendiendo la hipotenusa de${\displaystyle {\sqrt {5}}}$por una longitud de 1. Luego dividimos ese segmento por la mitad, y luego lo dividimos de nuevo por la mitad, para crear un segmento de longitud${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$(mostrado en rojo.)
• En el paso 2 , construimos dos círculos concéntricos centrados en${\displaystyle O}$con radios de longitud 1 y longitud${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$Luego colocamos.${\displaystyle P}$arbitrariamente en el círculo más pequeño, como se muestra. Construyendo una línea perpendicular a${\displaystyle {\overline {OP}}}$pasando por${\displaystyle P}$Construimos un lado de la longitud adecuada utilizando los puntos que se forman en la intersección de la tangente y el círculo unitario. Al repetir esa longitud cuatro veces, obtenemos un pentágono regular.

El método de Euclides

Un pentágono regular se puede construir utilizando un compás y una regla , ya sea inscribiéndolo en un círculo dado o construyéndolo sobre un borde dado. Este proceso fue descrito por Euclides en sus Elementos alrededor del año 300 a. C. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

Métodos de construcción física

• Se puede crear un pentágono regular a partir de una simple tira de papel atando un nudo simple y aplanándolo cuidadosamente al tirar de los extremos de la tira. Al doblar uno de los extremos sobre el pentágono, se revelará un pentagrama al iluminarlo desde atrás. ^{[ 9 ]}
• Dibuja un hexágono regular sobre papel o cartulina rígida. Dobla a lo largo de los tres diámetros entre vértices opuestos. Corta desde un vértice hasta el centro para formar una solapa triangular equilátera. Fija esta solapa debajo de la contigua para formar una pirámide pentagonal . La base de la pirámide es un pentágono regular.

Simetría

El pentágono regular tiene simetría Dih ₅ , orden 10. Como 5 es un número primo , hay un subgrupo con simetría diedral: Dih ₁ , y 2 simetrías de grupo cíclico : Z ₅ y Z ₁ .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el pentágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. ^{[ 10 ]} La simetría completa de la forma regular es r10 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diedrales se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonal) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g5 no tiene grados de libertad, pero puede verse como aristas dirigidas .

Un pentágono equilátero es un polígono con cinco lados de igual longitud. Sin embargo, sus cinco ángulos internos pueden tomar diversos valores, lo que le permite formar una familia de pentágonos. En cambio, el pentágono regular es único salvo por similitud, ya que es equilátero y equiangular (sus cinco ángulos son iguales).

Un pentágono cíclico es aquel en el que una circunferencia circunscrita pasa por sus cinco vértices. El pentágono regular es un ejemplo de pentágono cíclico. El área de un pentágono cíclico, sea regular o no, se puede expresar como un cuarto de la raíz cuadrada de una de las raíces de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones de los lados del pentágono. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

Existen pentágonos cíclicos con lados racionales y área racional; estos se denominan pentágonos de Robbins . Se ha demostrado que las diagonales de un pentágono de Robbins deben ser todas racionales o todas irracionales, y se conjetura que todas las diagonales deben ser racionales. ^{[ 14 ]} Véase también Polígono cíclico §  Área y longitudes de lados enteros .

Para todos los pentágonos convexos con lados${\displaystyle a,b,c,d,e}$y diagonales${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$, se cumple la siguiente desigualdad: ^{[ 15 ] : p.75, #1854}

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

Un pentágono regular no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares. Primero, para demostrar que un pentágono no puede formar un teselado regular (uno en el que todas las caras son congruentes, lo que requiere que todos los polígonos sean pentágonos), observe que 360° / 108° = 3 1/3 (donde 108° es el ángulo interior), que no es un número entero; por lo tanto, no existe un número entero de pentágonos que compartan un solo vértice y no dejen huecos entre ellos. Más difícil es demostrar que un pentágono no puede estar en ningún teselado de arista a arista formado por polígonos regulares:

La densidad de empaquetamiento máxima conocida de un pentágono regular es${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$, logrado mediante el empaquetamiento de doble red mostrado. En una preimpresión publicada en 2016, Thomas Hales y Wöden Kusner anunciaron una prueba de que este empaquetamiento de doble red del pentágono regular (conocido como el diseño de red chino "rayo de hielo pentagonal", que data de alrededor de 1900) tiene la densidad óptima entre todos los empaquetamientos de pentágonos regulares en el plano. ^{[ 16 ]}

No existen combinaciones de polígonos regulares con 4 o más lados que converjan en un vértice y que contengan un pentágono. Para combinaciones con  3 lados, si 3 polígonos convergen en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros 2 deben ser congruentes. Esto se debe a que los polígonos que tocan los bordes del pentágono deben alternarse alrededor de este, lo cual es imposible debido a que el pentágono tiene un número impar de lados. Para el pentágono, esto resulta en un polígono cuyos ángulos son todos (360 − 108) / 2 = 126° . Para hallar el número de lados de este polígono, el resultado es 360 / (180 − 126) = 6 2 / 3 , que no es un número entero. Por lo tanto, un pentágono no puede aparecer en ningún teselado formado por polígonos regulares.

Existen 15 clases de pentágonos que pueden recubrir el plano de forma monoédrica . Ninguno de los pentágonos posee simetría en general, aunque algunos presentan casos especiales con simetría especular.

• 
  El Pentágono , sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos .
• 
  Plato de home de un campo de béisbol

• Asociaedro ; Un pentágono es un asociaedro de orden 4.
• Dodecaedro , un poliedro cuya forma regular está compuesta por 12 caras pentagonales.
• proporción áurea
• Lista de formas geométricas
• Números pentagonales
• Pentagrama
• Mapa del pentagrama
• Pentastar , el logotipo de Chrysler
• Teorema de Pitágoras
• Constantes trigonométricas para un pentágono

• Weisstein, Eric W. "Pentágono" . MathWorld .
• Demostración animada de la construcción de un pentágono inscrito con compás y regla.
• Cómo construir un pentágono regular utilizando únicamente un compás y una regla.
• Cómo doblar un pentágono regular usando solo una tira de papel.
• Definición y propiedades del pentágono , con animación interactiva.
• Construcciones aproximadas de pentágonos regulares realizadas por artistas del Renacimiento. Archivado el 13 de abril de 2021 en Wayback Machine.
• Pentágono. Cómo calcular las distintas dimensiones de los pentágonos regulares.