cubo de 5

En geometría pentadimensional , un 5-cubo (o penteracto ) es un hipercubo pentadimensional con 32 vértices , 80 aristas , 80 caras cuadradas , 40 celdas cúbicas y 10 caras teseractos de 4 lados .

Se representa mediante el símbolo de Schläfli {4,3,3,3} o {4,3 ³ }, construido como 3 teseractos, {4,3,3}, alrededor de cada arista cúbica .

Es parte de una familia infinita de hipercubos . El dual de un penteract es el 5-ortoplexo , de la familia infinita de ortoplexos .

Al aplicar una operación de alternancia , eliminando vértices alternos del 5-cubo, se crea otro 5-politopo uniforme , llamado 5-demicubo , que también forma parte de una familia infinita llamada demihipercubos .

El penteracto puede verse como un panal teseractico de orden 3 en una 4-esfera . Está relacionado con el panal teseractico euclidiano de 4-espacios (orden 4) y el panal teseractico de orden 5 de panal hiperbólico paracompacto .

Esta matriz de configuración representa el 5-cubo. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4-caras. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en todo el 5-cubo. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}32&5&10&10&5\\2&80&4&6&4\\4&4&80&3&3\\8&12&6&40&2\\16&32&24&8&10\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

Las coordenadas cartesianas de los vértices de un 5-cubo centrado en el origen y con arista de longitud 2 son

(±1,±1,±1,±1,±1),

mientras que el interior de este 5-cubo consta de todos los puntos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) con −1 < x _i < 1 para todo i .

Las proyecciones del plano de Coxeter de n- cubos en los grupos de Coxeter B _k se proyectan en grafos de k-cubos, con potencias de dos vértices superpuestos en los grafos proyectivos.

El 5-cubo se puede proyectar a 3 dimensiones con una envoltura de icosaedro rómbico . Hay 22 vértices exteriores y 10 vértices interiores. Los 10 vértices interiores tienen la envoltura convexa de un antiprisma pentagonal . Las 80 aristas se proyectan en 40 aristas externas y 40 internas. Los 40 cubos se proyectan en romboedros áureos que se pueden usar para diseccionar el icosaedro rómbico. Los vectores de proyección son u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, donde φ es la proporción áurea .${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$.

También es posible proyectar penteracts en el espacio tridimensional, de forma similar a como se proyecta un cubo en el espacio bidimensional.

El 5-cubo tiene simetría de grupo de Coxeter B ₅ , estructura abstracta${\displaystyle C_{2}\wr S_{5}}$, orden 3840, que contiene 25 hiperplanos de reflexión. El símbolo de Schläfli para el 5-cubo, {4,3,3,3}, coincide con la simetría de la notación de Coxeter [4,3,3,3].

El 5-cubo es el quinto de una serie de hipercubos :

El poliedro sesgado regular {4,5| 4} se puede realizar dentro del 5-cubo, con sus 32 vértices, 80 aristas y 40 caras cuadradas, y las otras 40 caras cuadradas del 5-cubo se convierten en agujeros cuadrados .

Este politopo es uno de los 31 5-politopos uniformes generados a partir del 5-cubo regular o 5-ortoplex .

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Politopos regulares , 1973, 3.ª edición, Dover, Nueva York, págs. 294-295, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n ≥ 5), ISBN 0-486-61480-8
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  • Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
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