teoría de la percolación

En física estadística y matemáticas , la teoría de la percolación describe el comportamiento de una red al añadir nodos o enlaces. Se trata de una transición de fase geométrica, ya que, al alcanzar una fracción crítica de adición, la red de pequeños grupos desconectados se fusiona en grupos conectados significativamente mayores , denominados grupos de expansión.

Introducción

Un gráfico de percolación de sitios tridimensional

Una pregunta representativa (y el origen del nombre) es la siguiente: Supongamos que se vierte un líquido sobre un material poroso . ¿Podrá el líquido pasar de un orificio a otro y llegar al fondo? Esta cuestión física se modela matemáticamente como una red tridimensional de $n \times n \times n$ vértices , generalmente llamados "sitios", en la que la arista o "enlace" entre cada par de vecinos puede estar abierta (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad $p$ , o cerrada con probabilidad $1 - p$ , y se supone que son independientes. Por lo tanto, para un $p$ dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino abierto (es decir, un camino cuyos enlaces son enlaces "abiertos") desde arriba hasta abajo? El comportamiento para $n$ grande es de interés primordial. Este problema, ahora llamado percolación de enlaces , fue introducido en la literatura matemática por Broadbent y Hammersley (1957) ^[¹^] y ha sido estudiado intensamente por matemáticos y físicos desde entonces.

En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un grafo aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad $p$ o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus aristas) con probabilidad $1 - p$ ; el problema correspondiente se denomina percolación de sitios . La pregunta es la misma: para un p dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre la parte superior e inferior? De manera similar, se puede preguntar, dado un grafo conectado, ¿con qué fracción $1 - p$ de fallos el grafo se desconectará (sin un componente grande)?

Las mismas preguntas pueden plantearse para cualquier dimensión de la red. Como suele ser habitual, resulta más sencillo examinar redes infinitas que redes grandes. En este caso, la pregunta correspondiente es: ¿existe un clúster abierto infinito? Es decir, ¿existe un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Según la ley cero-uno de Kolmogorov , para cualquier $p$ dado , la probabilidad de que exista un clúster infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de $p$ (demostración mediante el argumento de acoplamiento ), debe existir un $p$ crítico (denotado por $p$ $c$ ) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre 1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para $n$ tan pequeño como 100, la probabilidad de un camino abierto desde arriba hasta abajo aumenta bruscamente de muy cerca de cero a muy cerca de uno en un corto intervalo de valores de $p$ .

Historia

La teoría de Flory-Stockmayer (1941), que estudió la transición a la gelificación en las reacciones de polimerización, fue la primera teoría que investigó los procesos de percolación. ^{[ 2 ]}

La historia del modelo de percolación, tal como lo conocemos, tiene sus raíces en la industria del carbón. Desde la revolución industrial, la importancia económica de esta fuente de energía impulsó numerosos estudios científicos para comprender su composición y optimizar su uso. Durante las décadas de 1930 y 1940, el análisis cualitativo mediante química orgánica dio paso a estudios más cuantitativos. ^{[ 3 ]}

En este contexto, en 1938 se creó la Asociación Británica de Investigación sobre la Utilización del Carbón (BCURA, por sus siglas en inglés). Esta asociación de investigación estaba financiada por los propietarios de las minas de carbón. En 1942, Rosalind Franklin , recién graduada en química por la Universidad de Cambridge, se unió a la BCURA. Inició una investigación sobre la densidad y la porosidad del carbón. Durante la Segunda Guerra Mundial, el carbón fue un recurso estratégico fundamental. Se utilizó como fuente de energía, pero también fue el componente principal de las máscaras antigás.

El carbón es un medio poroso. Para medir su densidad «real», se sumergía en un líquido o un gas cuyas moléculas fueran lo suficientemente pequeñas como para llenar sus poros microscópicos. Al intentar medir la densidad del carbón utilizando varios gases (helio, metanol, hexano, benceno), y al encontrar valores diferentes según el gas empleado, Rosalind Franklin demostró que los poros del carbón están formados por microestructuras de diversas longitudes que actúan como un tamiz microscópico para discriminar los gases. También descubrió que el tamaño de estas estructuras depende de la temperatura de carbonatación durante la producción del carbón. Con esta investigación, obtuvo un doctorado y dejó la BCURA en 1946. ^{[ 4 ]}

A mediados de la década de 1950, Simon Broadbent trabajó en la BCURA como estadístico. Entre otros intereses, estudió el uso del carbón en las máscaras antigás. Una de las cuestiones que investigaba era cómo un fluido podía difundirse en los poros del carbón, modelados como un laberinto aleatorio de túneles abiertos o cerrados. En 1954, durante un simposio sobre métodos de Monte Carlo , le planteó preguntas a John Hammersley sobre el uso de métodos numéricos para analizar este modelo. ^{[ 5 ]}

En su artículo de 1957, Broadbent y Hammersley introdujeron un modelo matemático para modelar este fenómeno, denominado percolación.

Cálculo del parámetro crítico

Para la mayoría de los grafos reticulares infinitos, $p c$ no se puede calcular con exactitud, aunque en algunos casos existe un valor exacto. Por ejemplo:

Para la red cuadrada $ℤ 2$ en dos dimensiones, $p c = ⁠ 1 / 2 ⁠$ para la percolación de enlaces, un hecho que fue una cuestión abierta durante más de 20 años y que finalmente fue resuelto por Harry Kesten a principios de la década de 1980, ^{[ 6 ]} véase Kesten (1982) . Para la percolación de sitios en la red cuadrada, el valor de $p c$ no se conoce a partir de una derivación analítica sino solo a través de simulaciones de redes grandes que proporcionan la estimación $p c =$ 0,59274621 ± 0,00000013. ^{[ 7 ]}
Un caso límite para retículos en dimensiones altas viene dado por el retículo de Bethe , cuyo umbral se encuentra en $p c = ⁠ 1 / z - 1 ⁠$ para un número de coordinación $z$ . En otras palabras: para el árbol regular de grado $z$ , $p_{c}$ es igual a $1/(z-1)$ .

Para una red aleatoria tipo árbol sin correlación grado-grado, se puede demostrar que dicha red puede tener un componente gigante , y el umbral de percolación (probabilidad de transmisión) viene dado por $p_{c}={\frac {1}{g_{1}'(1)}}$ , dónde $g_{1}(z)$ es la función generadora correspondiente a la distribución de grado en exceso . Por lo tanto, para redes aleatorias de Erdős-Rényi de grado promedio $\langle k\rangle$ , $p c = ⁠ 1 / ⟨ k ⟩ ⁠$ . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}
En redes con baja agrupación , $0<C\ll 1$ , el punto crítico se escala por $(1-C)^{-1}$ de tal manera que:

$p_{c}={\frac {1}{1-C}}{\frac {1}{g_{1}'(1)}}.$ ^{[ 11 ]}

Esto indica que, para una distribución de grados dada, el agrupamiento conduce a un umbral de percolación mayor, principalmente porque, para un número fijo de enlaces, la estructura de agrupamiento refuerza el núcleo de la red a costa de diluir las conexiones globales. Para redes con alto agrupamiento, un agrupamiento fuerte podría inducir la estructura núcleo-periferia, en la que el núcleo y la periferia podrían percolar en diferentes puntos críticos, y el tratamiento aproximado anterior no es aplicable. ^{[ 12 ]}

Fases

Subcrítico y supercrítico

El hecho principal en la fase subcrítica es el "decaimiento exponencial". Es decir, cuando $p < p c$ , la probabilidad de que un punto específico (por ejemplo, el origen) esté contenido en un clúster abierto (es decir, un conjunto conectado máximo de aristas "abiertas" del grafo) de tamaño $r$ decae exponencialmente a cero en $r$ . Esto fue demostrado para la percolación en tres o más dimensiones por Menshikov (1986) e independientemente por Aizenman y Barsky (1987) . En dos dimensiones, formó parte de la demostración de Kesten de que $p$ $c$ $=$ $⁠$ $1$ $/$ $2$ $⁠$ . ^[¹³^]

El grafo dual de la red cuadrada $ℤ 2$ es también la red cuadrada. De ello se deduce que, en dos dimensiones, la fase supercrítica es dual a un proceso de percolación subcrítica. Esto proporciona información prácticamente completa sobre el modelo supercrítico con $d = 2.$ El resultado principal para la fase supercrítica en tres o más dimensiones es que, para $N$ suficientemente grande , existe casi con certeza un cúmulo abierto infinito en la lámina bidimensional $ℤ$ $2$ $\times [0,$ $N$ $]$ $d$ $- 2.$ Esto fue demostrado por Grimmett y Marstrand (1990) . ^[¹⁴^]

En dos dimensiones con $p < 1/2,$ existe con probabilidad uno un único clúster cerrado infinito (un clúster cerrado es un conjunto conectado maximal de aristas "cerradas" del grafo). Por lo tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano cerrado infinito. Cuando $p$ $>$ $1/2$ $ocurre$ $justo lo contrario, con islas cerradas$ finitas en un océano abierto infinito. La imagen es más complicada cuando $d \geq 3$ ya que $p$ $c < 1/2, y$ existe coexistencia de clústeres abiertos y cerrados $infinitos$ $para$ $p$ $entre$ p $c y$ 1 $-$ $p$ $c$ .

Criticidad

La percolación tiene una singularidad en el punto crítico $p = p c$ y muchas propiedades se comportan como una ley de potencias con $p-p_{c}$ , cerca $p_{c}$ La teoría de escalamiento predice la existencia de exponentes críticos , que dependen del número d de dimensiones, y que determinan la clase de la singularidad. Cuando $d = 2$ , estas predicciones están respaldadas por argumentos de la teoría de campos conformes y la evolución de Schramm-Loewner , e incluyen valores numéricos predichos para los exponentes. La mayoría de estas predicciones son conjeturales, excepto cuando el número $d$ de dimensiones satisface $d = 2$ o $d \geq 6.$ Incluyen:

No existen clústeres infinitos (abiertos o cerrados).
La probabilidad de que exista un camino abierto desde un punto fijo (digamos el origen) hasta una distancia r disminuye polinómicamente , es decir, es del orden de r ^α para algún α.
- $α$ no depende de la red elegida ni de otros parámetros locales. Depende únicamente de la dimensión $d$ (este es un ejemplo del principio de universalidad ).
- $α d$ disminuye desde $d = 2$ hasta $d = 6$ y luego permanece fijo.
- $α 2 = - 5 / 48 $
- $α 6 = -1$ .
La forma de un gran cúmulo en dos dimensiones es conformemente invariante .

Véase Grimmett (1999) . ^{[ 15 ]} En 11 o más dimensiones, estos hechos se demuestran en gran medida utilizando una técnica conocida como expansión de encaje . Se cree que una versión de la expansión de encaje debería ser válida para 7 o más dimensiones, quizás con implicaciones también para el caso umbral de 6 dimensiones. La conexión de la percolación con la expansión de encaje se encuentra en Hara y Slade (1990) . ^{[ 16 ]}

En dos dimensiones, el primer hecho ("no hay percolación en la fase crítica") se demuestra para muchas redes, utilizando la dualidad. Se ha avanzado considerablemente en la percolación bidimensional gracias a la conjetura de Oded Schramm de que el límite de escala de un gran cúmulo puede describirse en términos de una evolución de Schramm-Loewner . Esta conjetura fue demostrada por Smirnov (2001) ^{[ 17 ]} en el caso especial de percolación de sitios en la red triangular.

Diferentes modelos

La percolación dirigida que modela el efecto de las fuerzas gravitacionales que actúan sobre el líquido también fue introducida en Broadbent y Hammersley (1957) ^{[ 1 ]} y tiene conexiones con el proceso de contacto .
El primer modelo estudiado fue la percolación de Bernoulli. En este modelo, todos los enlaces son independientes. Los físicos lo denominan percolación de enlaces.
A continuación se introdujo una generalización denominada modelo de clúster aleatorio de Fortuin-Kasteleyn , que tiene muchas conexiones con el modelo de Ising y otros modelos de Potts .
$La percolación de Bernoulli (o de$ enlace) en grafos completos es un ejemplo de grafo aleatorio . La probabilidad crítica es $p$ $=$ $1$ $/$ $N$ $,$ donde $N$ es el número de vértices (sitios) del grafo.
La percolación bootstrap elimina las células activas de los clústeres cuando tienen muy pocos vecinos activos y analiza la conectividad de las células restantes. ^{[ 18 ]}
Percolación de primer paso .
Percolación de la invasión .

Aplicaciones

En biología, bioquímica y virología física

La teoría de la percolación se ha utilizado para predecir con éxito la fragmentación de las cápsides de virus biológicos, ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} con el umbral de fragmentación de la cápside del virus de la hepatitis B predicho y detectado experimentalmente. ^[²¹^] Cuando se ha eliminado aleatoriamente un número crítico de subunidades de la cápside nanoscópica, esta se fragmenta y esta fragmentación puede detectarse utilizando espectrometría de masas con detección de carga (CDMS), entre otras técnicas de partícula única. Esto es un análogo molecular del juego de mesa Jenga , y tiene relevancia para el estudio más amplio del desensamblaje de virus. Las partículas virales más estables (teselados con mayores umbrales de fragmentación) se encuentran en mayor abundancia en la naturaleza. ^[¹⁹^]

En ecología

La teoría de la percolación se ha aplicado a estudios sobre cómo la fragmentación ambiental afecta los hábitats animales ^{[ 22 ]} y a modelos sobre cómo se propaga la bacteria de la peste Yersinia pestis . ^{[ 23 ]}

Véase también

Conjetura de la litera – Conjetura en combinatoria probabilística
Teoría de la percolación continua : rama de las matemáticas en la teoría de la probabilidad.
Exponente crítico : parámetro que describe la física cerca de los puntos críticos.
Percolación dirigida : modelos físicos de filtrado bajo fuerzas como la gravedad.
Modelo Erdős-Rényi : dos modelos estrechamente relacionados para generar gráficos aleatorios
Fractal : estructura matemática infinitamente detallada.
Componente gigante : componente conectado de gran tamaño de un grafo aleatorio.
Teoría de grafos – Área de las matemáticas discretas
Redes interdependientes – Subcampo de la ciencia de redes
percolación de invasión
Conjetura de Kahn-Kalai – Proposición matemática
Teoría de redes : estudio de los grafos como representación de las relaciones entre objetos discretos.
Ciencia de redes – Campo académico
Umbral de percolación – Umbral de los modelos de la teoría de la percolación
Exponentes críticos de percolación : parámetro matemático en la teoría de la percolación.
Red libre de escala : red cuya distribución de grados sigue una ley de potencias.
Problema del camino más corto : un problema computacional de la teoría de grafos.
Modelo del queso suizo : modelo utilizado en el análisis de riesgos.

Referencias

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Lecturas adicionales

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Enlaces externos

PercoVIS: un programa para macOS que permite visualizar la percolación en redes en tiempo real.
Percolación interactiva
Curso en línea de Nanohub sobre la teoría de la percolación.

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