Umbral de percolación

Nota: a veces se usa "hexagonal" en lugar de "panal", aunque en algunos contextos una red triangular también se denomina red hexagonal . z = número de coordinación global .

En esta sección, sq-1,2,3 corresponde a cuadrado (NN+2NN+3NN), ^{[ 42 ]} etc. Equivalente a cuadrado-2N+3N+4N, ^{[ 43 ]} sq(1,2,3). ^{[ 44 ]} tri = triangular, hc = panal.

Aquí NN = vecino más cercano, 2NN = segundo vecino más cercano (o siguiente vecino más cercano), 3NN = tercer vecino más cercano (o siguiente vecino más cercano), etc. En algunos artículos también se les denomina 2N, 3N y 4N respectivamente. ^{[ 42 ]}

• Para cuadrados superpuestos o que se tocan,${\displaystyle p_{c}}$(sitio) que se muestra aquí es la fracción neta de sitios ocupados${\displaystyle \phi _{c}}$similar a la${\displaystyle \phi _{c}}$en percolación continua. El caso de un cuadrado de 2×2 es equivalente a la percolación de una red cuadrada NN+2NN+3NN+4NN o sq-1,2,3,4 con umbral.${\displaystyle 1-(1-\phi _{c})^{1/4}=0.196724(10)\ldots }$con${\displaystyle \phi _{c}=0.58365(2)}$. ^{[ 56 ]} El cuadrado de 3×3 corresponde a sq-1,2,3,4,5,6,7,8 con z =44 y${\displaystyle p_{c}=1-(1-\phi _{c})^{1/9}=0.095765(5)\ldots }$. El valor de z para un cuadrado k × k es (2 k +1) ² -5.

Aquí, se distorsiona una red regular de espaciado unitario moviendo los vértices uniformemente dentro de la caja.${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha )}$y considera la percolación cuando los sitios están dentro de la distancia euclidiana.${\displaystyle d}$del otro.

El umbral del sitio es el número de objetos superpuestos por sitio de la red. k es la longitud (área neta). Los cuadrados superpuestos se muestran en la sección de vecindario complejo. Aquí z es el número de coordinación a k-meros de cualquier orientación, con${\displaystyle z=k^{2}+10k-2}$para${\displaystyle 1\times k}$palos.

La cobertura se calcula a partir de${\displaystyle p_{c}}$por${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{2k}}$para ${\displaystyle 1\times k}$palos, porque hay ${\displaystyle 2k}$sitios donde un palo provocará una superposición con un sitio determinado.

Para alineado${\displaystyle 1\times k}$palitos:${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{k}}$

En la percolación AB, un${\displaystyle p_{\mathrm {site} }}$es la proporción de sitios A entre sitios B, y se dibujan enlaces entre sitios de especies opuestas. ^{[ 63 ]} También se denomina antipercolación.

En la percolación coloreada, a los sitios ocupados se les asigna uno de${\displaystyle n}$colores con igual probabilidad, y la conexión se realiza a lo largo de los enlaces entre vecinos de diferentes colores. ^{[ 64 ]}

Percolación de enlaces del sitio. Aquí${\displaystyle p_{s}}$es la probabilidad de ocupación del sitio y${\displaystyle p_{b}}$es la probabilidad de ocupación del enlace, y la conectividad se establece solo si tanto los sitios como los enlaces a lo largo de una ruta están ocupados. La condición de criticidad se convierte en una curva${\displaystyle f(p_{s},p_{b})}$= 0, y algunos pares críticos específicos${\displaystyle (p_{s},p_{b})}$se enumeran a continuación.

Rejilla cuadrada:

Estructura reticular hexagonal (tipo panal):

Celosía de Kagome:

* Para valores en diferentes redes, véase "Una investigación de la percolación de enlaces de sitio en muchas redes". ^{[ 69 ]}

Fórmula aproximada para la percolación de enlaces de sitio en una red de panal

Las retículas de Laves son las duales de las retículas arquimedianas. Dibujos de. ^{[ 6 ]} Véase también Teselaciones uniformes .

Tres retículas superiores: #13 #12 #36 Tres retículas inferiores: #34 #37 #11

^{[ 3 ]}

Dos retículas superiores: #35 #30 Dos retículas inferiores: #41 #42

^{[ 3 ]}

4 rejillas superiores: #22 #23 #21 #20 3 rejillas inferiores: #16 #17 #15

^{[ 3 ]}

Dos retículas superiores: #31 #32 Retícula inferior: #33

^{[ 3 ]}

Esta figura muestra algo similar a la red 2-uniforme n.° 37, excepto que los polígonos no son todos regulares (hay un rectángulo en lugar de los dos cuadrados) y su tamaño ha cambiado. Esta red se encuentra en la representación isoradial, donde cada polígono está inscrito en un círculo de radio unitario. Los dos cuadrados de la red 2-uniforme deben representarse ahora como un único rectángulo para satisfacer la condición isoradial. La red se muestra con bordes negros y la red dual con líneas discontinuas rojas. Los círculos verdes muestran la restricción isoradial tanto en la red original como en la dual. Los polígonos amarillos resaltan los tres tipos de polígonos en la red, y los polígonos rosas resaltan los dos tipos de polígonos en la red dual. La red tiene tipos de vértice ( 1 ⁄ 2 )(3 ³ ,4 ² ) + ( 1 ⁄ 2 )(3,4,6,4), mientras que la red dual tiene tipos de vértice ( 1 ⁄ 15 )(4 ⁶ )+( 6 ⁄ 15 )(4 ² ,5 ² )+( 2 ⁄ 15 )(5 ³ )+( 6 ⁄ 15 )(5 ² ,4). El punto crítico es donde los enlaces más largos (tanto en la red como en la red dual) tienen una probabilidad de ocupación p = 2 sin (π/18) = 0,347296... que es el umbral de percolación de enlaces en una red triangular, y los enlaces más cortos tienen una probabilidad de ocupación 1 − 2 sin(π/18) = 0,652703..., que es la percolación de enlaces en una red hexagonal. Estos resultados se derivan de la condición isoradial ^{[ 75 ]} , pero también se derivan de aplicar la transformación estrella-triángulo a ciertas estrellas en la red de panal. Finalmente, se puede generalizar a tener tres probabilidades diferentes en las tres direcciones diferentes, p ₁ , p ₂ y p ₃ para los enlaces largos, y 1 − p ₁ , 1 − p ₂ , y 1 − p ₃ para los enlaces cortos, donde p ₁ , p ₂ y p ₃ satisfacen la superficie crítica para la red triangular no homogénea.

A la izquierda, en el centro y a la derecha se encuentran: la red martini, la red martini-A y la red martini-B. Abajo: la red de recubrimiento/medial martini, igual que la subred de 2×2 y 1×1 para redes tipo kagome (eliminada).

Otros ejemplos de retículos de pajarita generalizados (ad) y los duales de los retículos (eh):

Las subredes kagome de 2 × 2, 3 × 3 y 4 × 4. La subred de 2 × 2 también se conoce como la red "kagome triangular". ^{[ 84 ]}

(Para obtener más resultados y una comparación con la densidad de atasco, consulte Adsorción secuencial aleatoria ).

El umbral indica la fracción de sitios ocupados por los objetos cuando comienza la percolación de sitios (no cuando se produce el bloqueo total). Para k-meros más largos, véase la referencia ^{[ 93 ] .}

Aquí, trabajamos con redes que se obtienen cubriendo una red con dímeros, y luego consideramos la percolación de enlaces en los enlaces restantes. En matemáticas discretas, este problema se conoce como el problema del " emparejamiento perfecto " o el problema del "recubrimiento de dímeros".

El sistema está compuesto por caminatas aleatorias ordinarias (no evitativas) de longitud l en la red cuadrada. ^{[ 95 ]}

Para discos,${\displaystyle n_{c}=4r^{2}N/L^{2}}$es igual al número crítico de discos por unidad de área, medido en unidades del diámetro${\displaystyle 2r}$, dónde${\displaystyle N}$es el número de objetos y${\displaystyle L}$es el tamaño del sistema

Para discos,${\displaystyle \eta _{c}=\pi r^{2}N/L^{2}=(\pi /4)n_{c}}$equivale al área total crítica del disco.

${\displaystyle 4\eta _{c}}$da el número de centros de disco dentro del círculo de influencia (radio 2 r).

${\displaystyle r_{c}=L{\sqrt {\frac {\eta _{c}}{\pi N}}}={\frac {L}{2}}{\sqrt {\frac {n_{c}}{N}}}}$es el radio crítico del disco.

${\displaystyle \eta _{c}=\pi abN/L^{2}}$para elipses de semiejes mayor y menor a y b, respectivamente. Relación de aspecto${\displaystyle \epsilon =a/b}$con${\displaystyle a>b}$.

${\displaystyle \eta _{c}=\ell mN/L^{2}}$para rectángulos de dimensiones${\displaystyle \ell }$y${\displaystyle m}$Relación de aspecto${\displaystyle \epsilon =\ell /m}$con${\displaystyle \ell >m}$.

${\displaystyle \eta _{c}=\pi \times N/(4L^{2}(x-2))}$ para discos distribuidos de ley de potencias con${\displaystyle {\hbox{Prob(radius}}\geq R)=R^{-x}}$,${\displaystyle R\geq 1}$.

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$es igual a la fracción del área crítica.

Para discos, consulte la referencia [ ^{104 ] .}${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\pi \times /2}}$dónde${\displaystyle x}$es la densidad de discos de radio${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle n_{c}=\ell ^{2}N/L^{2}}$igual al número de objetos de longitud máxima${\displaystyle \ell =2a}$ por unidad de área.

Para elipsis,${\displaystyle n_{c}=(4\epsilon /\pi )\eta _{c}}$

Para la percolación de vacíos,${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$es la fracción de vacío crítica.

Para más valores de elipse, consulte ^{[ 114 ] [ 118 ]}

Para obtener más valores de rectángulo, consulte ^{[ 122 ].}

Tanto las elipses como los rectángulos pertenecen a las superelipses, con${\displaystyle |x/a|^{2m}+|y/b|^{2m}=1}$^{Para obtener más valores de percolación de superelipses, consulte [ 107 ]} .

Para los sistemas de partículas monodispersas, los umbrales de percolación de superdiscos de forma cóncava se obtienen como se ve en ^{[ 129 ].}

Para dispersiones binarias de discos, véase ^{[ 100 ] [ 130 ] [ 117 ]}

* Estimación teórica

Suponiendo correlaciones de ley de potencias${\displaystyle C(r)\sim |r|^{-\alpha }}$

h es el espesor de la losa, h × ∞ × ∞. Las condiciones de contorno (bc) se refieren a los planos superior e inferior de la losa.

Aquí, se distorsiona una red regular de espaciado unitario moviendo los vértices uniformemente dentro del cubo.${\displaystyle (x-\alpha ,x+\alpha ),(y-\alpha ,y+\alpha ),(z-\alpha ,z+\alpha )}$y considera la percolación cuando los sitios están dentro de la distancia euclidiana.${\displaystyle d}$del otro.

El umbral del sitio es el número de objetos superpuestos por sitio de la red. La cobertura φ _c es la fracción neta de sitios cubiertos, y v es el volumen (número de cubos). Los cubos superpuestos se dan en la sección sobre umbrales de redes 3D. Aquí z es el número de coordinación a k-meros de cualquier orientación, con${\displaystyle z=6k^{2}+18k-4}$

La cobertura se calcula a partir de${\displaystyle p_{c}}$por ${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k}}$para palos y${\displaystyle \phi _{c}=1-(1-p_{c})^{3k^{2}}}$para plaquetas.

Todo se superpone, excepto las esferas atascadas y la matriz polimérica.

${\displaystyle \eta _{c}=(4/3)\pi r^{3}N/L^{3}}$es el volumen total (para esferas), donde N es el número de objetos y L es el tamaño del sistema.

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$es la fracción de volumen crítica, válida para objetos superpuestos colocados aleatoriamente.

Para discos y placas, se trata de volúmenes efectivos y fracciones de volumen.

Para el modelo vacío ("queso suizo"),${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$es la fracción de vacío crítica.

Para obtener más resultados sobre la percolación de vacíos alrededor de elipsoides y placas elípticas, consulte ^{[ 222 ] .}

Para obtener más valores de percolación elipsoidal, consulte ^{[ 207 ] .}

Para un análisis del efecto sinérgico de la forma y la polidispersidad de tamaño de óvalos 2D sobre el umbral de percolación de redes de grietas en el espacio 3D, véase ^{[ 223 ]} . La influencia de la forma y la polidispersidad de tamaño de los poros y las partículas duras es un factor crítico que debe considerarse en la práctica industrial. Los trabajos preliminares en esta área ^{[ 224 ] [ 225 ]} pueden ayudar a mejorar nuestra comprensión de su importancia para las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos.

Para los esferocilindros, H/D es la relación entre la altura y el diámetro del cilindro, que luego está rematado por hemisferios. Se proporcionan valores adicionales en ^{[ 204 ] .}

Para las superbolas, m es el parámetro de deformación, los valores de percolación se dan en ^{[ 226 ] [ 227 ]} Además, los umbrales de las superbolas de forma cóncava también se determinan en ^{[ 129 ]}

Para partículas con forma de cuboide (superelipsoides), m es el parámetro de deformación; se proporcionan más valores de percolación en ^{[ 206 ] .}

Un estudio derivó una ley de mezcla para la percolación en medios porosos fracturados, combinando poros 3D superpuestos (superovoides) y fracturas 2D (superóvalos) ^{[ 228 ]} . El modelo considera la polidispersidad en tamaño y forma, validada mediante simulaciones y datos de la literatura. Este modelo conecta la percolación teórica y aplicada, facilitando la hidrología subterránea, los materiales cementicios y el diseño de nanocompuestos.

La percolación del vacío se refiere a la percolación en el espacio alrededor de objetos superpuestos. Aquí ${\displaystyle \phi _{c}}$se refiere a la fracción del espacio ocupado por los huecos (no por las partículas) en el punto crítico, y está relacionada con${\displaystyle \eta _{c}}$por ${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$. ${\displaystyle \eta _{c}}$se define como en la sección de percolación continua anterior.

${\displaystyle ^{*}}$En la percolación de perforación, el umbral del sitio${\displaystyle p_{c}}$representa la fracción de columnas en cada dirección que no han sido eliminadas, y${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}^{3}}$. Para la perforación 1D, tenemos${\displaystyle \phi _{c}=p_{c}}$(columnas)${\displaystyle p_{c}}$(sitios).

^† En la percolación de tubos, el umbral de enlace representa el valor del parámetro${\displaystyle \mu }$de tal manera que la probabilidad de establecer una unión entre segmentos de tubo vertical vecinos es${\displaystyle 1-e^{-\mu h_{i}}}$, dónde${\displaystyle h_{i}}$es la altura de superposición de dos segmentos de tubo adyacentes. ^{[ 246 ]}

${\displaystyle \eta _{c}=(\pi ^{d/2}/\Gamma [d/2+1])r^{d}N/L^{d}.}$

En 4d,${\displaystyle \eta _{c}=(1/2)\pi ^{2}r^{4}N/L^{4}}$.

En 5d,${\displaystyle \eta _{c}=(8/15)\pi ^{2}r^{5}N/L^{5}}$.

En 6d,${\displaystyle \eta _{c}=(1/6)\pi ^{3}r^{6}N/L^{6}}$.

${\displaystyle \phi _{c}=1-e^{-\eta _{c}}}$es la fracción de volumen crítica, válida para objetos superpuestos.

Para modelos vacíos,${\displaystyle \phi _{c}=e^{-\eta _{c}}}$es la fracción de vacío crítica, y${\displaystyle \eta _{c}}$es el volumen total de los objetos superpuestos

For thresholds on high dimensional hypercubic lattices, we have the asymptotic series expansions ^{[249][257][260]}

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {site} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {3}{2}}\sigma ^{-2}+{\frac {15}{4}}\sigma ^{-3}+{\frac {83}{4}}\sigma ^{-4}+{\frac {6577}{48}}\sigma ^{-5}+{\frac {119077}{96}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

${\displaystyle p_{c}^{\mathrm {bond} }(d)=\sigma ^{-1}+{\frac {5}{2}}\sigma ^{-3}+{\frac {15}{2}}\sigma ^{-4}+57\sigma ^{-5}+{\frac {4855}{12}}\sigma ^{-6}+{\mathcal {O}}(\sigma ^{-7})}$

where ${\displaystyle \sigma =2d-1}$. For 13-dimensional bond percolation, for example, the error with the measured value is less than 10⁻⁶, and these formulas can be useful for higher-dimensional systems.

In a one-dimensional chain we establish bonds between distinct sites ${\displaystyle i}$ and ${\displaystyle j}$ with probability ${\displaystyle p={\frac {C}{|i-j|^{1+\sigma }}}}$ decaying as a power-law with an exponent ${\displaystyle \sigma >0}$. Percolation occurs^[263][264] at a critical value ${\displaystyle C_{c}<1}$ for ${\displaystyle \sigma <1}$. The numerically determined percolation thresholds are given by:^[265]

In these lattices there may be two percolation thresholds: the lower threshold is the probability above which infinite clusters appear, and the upper is the probability above which there is a unique infinite cluster.

Note: {m,n} is the Schläfli symbol, signifying a hyperbolic lattice in which n regular m-gons meet at every vertex

For bond percolation on {P,Q}, we have by duality ${\displaystyle p_{c,\ell }(P,Q)+p_{c,u}(Q,P)=1}$. For site percolation, ${\displaystyle p_{c,\ell }(3,Q)+p_{c,u}(3,Q)=1}$ because of the self-matching of triangulated lattices.

Cayley tree (Bethe lattice) with coordination number ${\displaystyle z:p_{c}=1/(z-1)}$

nn = nearest neighbors. For a (d + 1)-dimensional hypercubic system, the hypercube is in d dimensions and the time direction points to the 2D nearest neighbors.

(1+1)-d square with z NN, square lattice for z odd, tilted square lattice for z even

For large z, p_c ~ 1/z ^[291]

p_b = bond threshold

p_s = site threshold

Site-bond percolation is equivalent to having different probabilities of connections:

P₀ = probability that no sites are connected = (1-p_s) + p_s(1-p_b)²

P₂ = probability that exactly one descendant is connected to the upper vertex (two connected together) = p_s p_b (1-p_b)

P₃ = probability that both descendants are connected to the original vertex (all three connected together)= p_s p_b²

Normalization: P₀ + 2P₂ + P₃ = 1

Here we have a cross between ordinary bond percolation (OP) and directed percolation (DP)^[293]. On an oriented system such as shown in the figure "(1+1)d Square Lattice" above, we consider the down probability p↓ = p p_d and the up probability p↑ = p(1 − p_d ), with p representing the average bond occupation probability and p_d controlling the anisotropy. When p_d = 0 or 1, we have pure DP, while when p_d = 1/2 we have the random diode model or essentially OP, with the threshold twice the OP value. For other values of p_d, we have a mixture of the two types of percolation. For a given p_d, the critical values of p = p_c are given below:

Inhomogeneous triangular lattice bond percolation^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}-p_{2}-p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Inhomogeneous honeycomb lattice bond percolation = kagome lattice site percolation^[20]

${\displaystyle 1-p_{1}p_{2}-p_{1}p_{3}-p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{3}=0}$

Inhomogeneous (3,12^2) lattice, site percolation^[7][294]

${\displaystyle 1-3(s_{1}s_{2})^{2}+(s_{1}s_{2})^{3}=0,}$ or ${\displaystyle s_{1}s_{2}=1-2\sin(\pi /18)}$

Inhomogeneous union-jack lattice, site percolation with probabilities ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$^[295]

${\displaystyle p_{3}=1-p_{1};\qquad p_{4}=1-p_{2}}$

Inhomogeneous martini lattice, bond percolation^[78][296]

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{1}+p_{1}p_{3}r_{2})-(p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}+p_{1}p_{3}r_{1}r_{3}+p_{2}p_{3}r_{2}r_{3})+p_{1}p_{2}p_{3}(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})+r_{1}r_{2}r_{3}(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3})-2p_{1}p_{2}p_{3}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Inhomogeneous martini lattice, site percolation. r = site in the star

${\displaystyle 1-r(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}-p_{1}p_{2}p_{3})=0}$

Inhomogeneous martini-A (3–7) lattice, bond percolation. Left side (top of "A" to bottom): ${\displaystyle r_{2},\ p_{1}}$. Right side: ${\displaystyle r_{1},\ p_{2}}$. Cross bond: ${\displaystyle \ r_{3}}$.

${\displaystyle 1-p_{1}r_{2}-p_{2}r_{1}-p_{1}p_{2}r_{3}-p_{1}r_{1}r_{3}-p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{1}r_{3}+p_{1}p_{2}r_{2}r_{3}+p_{1}r_{1}r_{2}r_{3}+p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}-p_{1}p_{2}r_{1}r_{2}r_{3}=0}$

Inhomogeneous martini-B (3–5) lattice, bond percolation

Inhomogeneous martini lattice with outside enclosing triangle of bonds, probabilities ${\displaystyle y,x,z}$ from inside to outside, bond percolation^[296]

${\displaystyle 1-3z+z^{3}-(1-z^{2})[3x^{2}y(1+y-y^{2})(1+z)+x^{3}y^{2}(3-2y)(1+2z)]=0}$

Inhomogeneous checkerboard lattice, bond percolation^[62][98]

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}=0}$

Inhomogeneous bow-tie lattice, bond percolation^[61][98]

${\displaystyle 1-(p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{1}p_{4}+p_{2}p_{3}+p_{2}p_{4}+p_{3}p_{4})+p_{1}p_{2}p_{3}+p_{1}p_{2}p_{4}+p_{1}p_{3}p_{4}+p_{2}p_{3}p_{4}-u(1-p_{1}p_{2}-p_{3}p_{4}+p_{1}p_{2}p_{3}p_{4})=0}$

where ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}}$ are the four bonds around the square and ${\displaystyle u}$ is the diagonal bond connecting the vertex between bonds ${\displaystyle p_{4},p_{1}}$ and ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$.

Assuming a finite graph with unbending bonds, rigidity percolation refers to a situation where the entire graph is rigid everywhere with respect to shear forces being put on it.^{[297][298][299][300]} Another way to say this is that constraints are sufficient to eliminate all zero-frequency vibrational modes, transforming a mechanically floppy network into one capable of supporting stress^[301].

The Geiringer–Laman theorem gives a combinatorial characterization of generically rigid graphs in 2-dimensional Euclidean space

Generic lattices have bonds of different lengths, and can be made by randomly displacing the sites of a regular lattice.

Numerical results:

Feng, Sen (1984)^[302] p_c = 0.58, f = 2.4 ± 0.4.

Lemieux, Breton, Tremblay (1985)^[303] p_c= 0.649, f = 1.4

Sahimi, Goddard (1985) bond triangular p_c=0.65^[304]

Arababi, Sahimi (1988): ^[305]. 3d bond cubic elastic network p_c = 0.2492,

Roux, Hansen (1988): central force elastic network: p* = 0.642(2), flv = 3.0(4) , glv = 0.97(2)^[306]

Jacobs and Thorpe (1996)^[307] Bond threshold, triangular lattice: p_c = 0.6602(3), p_c = 0.69755(3)

Site percolation, triangular lattice p_c = 0.69755(3),^[307] 0.6975(3)^[308]

Correlation-length exponent: ν = 1.16(3), 1.19(1),^[309] 1.21(6)^[307], 1/ν = 0.850(3)^[301]

Arbibi Sahimi (1993)^[310]: 2d bond tri: p_c = 0.641(1), site: p_c = 0.713(2).

Moukarzel and Duxbury (1995)^[308]: 0.6975(3) 𝛼 = -0.48(5) β = 0.175(2)

Fractal dimension d_f = 1.86(2)^[307]. 1.853(5)^[311], 1.850(2)^[301]

Backbone fractal dimension d_b = 1.80(3),^[307] 1.78(2)^[308]

Duxbury, Jacobs, Thorpe, Moukarzel (1999)^[312] Bethe lattice z = 6, p_c = 0.656

Chubynsky and Thorpe (2007)^[313]. 3d: bond fcc, p_c = 0.495. bcc: p_c = 0.7485

Javerzat (2024) ^[314] 2d hull fractal dimension: d_f =1.355(10).

A fast algorithm for 2D Rigidity Percolation, Javerzat and Notarmuzi.^[315] (2026) ν = 1.1694(8), d_f = 1.8423(7), p_c = 0.6602741(4).

Lu, Song, Shi, Li, Deng (2026)^[316] p_c = 0.6602778(10), 1/ν = 0.850(3), and d_f = 1.850(2),