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Articulo de referencia

teoría de la obstrucción perfecta

En geometría algebraica, dada una pila de Deligne-Mumford X , una teoría de obstrucción perfecta para X consiste en: un complejo perfecto de dos términos mi = [ mi − 1 → mi 0 ] ...

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En geometría algebraica, dada una pila de Deligne-Mumford X , una teoría de obstrucción perfecta para X consiste en:

  1. un complejo perfecto de dos términosmi=[mi−1→mi0]{\displaystyle E=[E^{-1}\a E^{0}]}en la categoría derivadaD(Qcoh(incógnita)mit){\displaystyle D({\text{Qcoh}}(X)_{et})}de haces étales cuasi-coherentes en X y
  2. un morfismoφ:mi→Lincógnita{\displaystyle \varphi \colon E\to {\textbf {L}}_{X}}, dóndeLincógnita{\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}es el complejo cotangente de X , que induce un isomorfismo enh0{\displaystyle h^{0}}y un epimorfismo enh−1{\displaystyle h^{-1}}.

La noción fue introducida por Kai Behrend y Barbara Fantechi ( 1997 ) para una aplicación a la teoría de intersección en pilas de módulos; en particular, para definir una clase fundamental virtual . 

Ejemplos

Esquemas

Consideremos una incrustación regularI:Y→W{\displaystyle I\colon Y\to W}encajando en un cuadrado cartesiano

incógnita→jVgramo↓↓FY→iW{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\xrightarrow {j}}&V\\g\downarrow &&\downarrow f\\Y&{\xrightarrow {i}}&W\end{matrix}}}

dóndeV,W{\displaystyle V,W}son suaves. Luego, el complejo

mi∙=[gramo∗norteY/W∨→j∗ΩV]{\displaystyle E^{\bullet }=[g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to j^{*}\Omega _{V}]}(en grados)−1,0{\displaystyle -1,0})

forma una teoría de obstrucción perfecta para X. [ 1 ] El mapa proviene de la composición

gramo∗norteY/W∨→gramo∗i∗ΩW=j∗F∗ΩW→j∗ΩV{\displaystyle g^{*}N_{Y/W}^{\vee }\to g^{*}i^{*}\Omega _{W}=j^{*}f^{*}\Omega _{W}\to j^{*}\Omega _{V}}

Esta es una teoría de obstrucción perfecta porque el complejo viene equipado con un mapa paraLincógnita∙{\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}provenientes de los mapasgramo∗LY∙→Lincógnita∙{\displaystyle g^{*}\mathbf {L} _{Y}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}yj∗LV∙→Lincógnita∙{\displaystyle j^{*}\mathbf {L} _{V}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X}^{\bullet }}. Tenga en cuenta que la clase fundamental virtual asociada es[incógnita,mi∙]=i¡[V]{\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[V]}

Ejemplo 1

Consideremos una variedad proyectiva suave.Y⊂PAGnorte{\displaystyle Y\subset \mathbb {P} ^{n}}Si establecemos .V=W{\displaystyle V=W}, entonces la teoría de la obstrucción perfecta enD[−1,0](incógnita){\displaystyle D^{[-1,0]}(X)}es

[norteincógnita/PAGnorte∨→ΩPAGnorte]{\displaystyle [N_{X/\mathbb {P} ^{n}}^{\vee }\to \Omega _{\mathbb {P} ^{n}}]}

y la clase fundamental virtual asociada es

[incógnita,mi∙]=i¡[PAGnorte]{\displaystyle [X,E^{\bullet }]=i^{!}[\mathbb {P} ^{n}]}

En particular, siY{\displaystyle Y}Si se trata de una intersección completa local suave, entonces la teoría de la obstrucción perfecta es el complejo cotangente (que es lo mismo que el complejo cotangente truncado).

Pilas Deligne-Mumford

La construcción anterior también funciona con chimeneas Deligne-Mumford.

Teoría de la obstrucción simétrica

Por definición, una teoría de obstrucción simétrica es una teoría de obstrucción perfecta junto con una forma bilineal simétrica no degenerada.

Ejemplo: Sea f una función regular en una variedad lisa (o pila). Entonces, el conjunto de puntos críticos de f posee una teoría de obstrucción simétrica de forma canónica.

Ejemplo: Sea M una variedad simpléctica compleja. Entonces, la intersección (en teoría de esquemas) de subvariedades lagrangianas de M posee una teoría de obstrucción simétrica canónica.

Notas

Referencias

Véase también