Emparejamiento

En matemáticas , un emparejamiento es una aplicación R - bilineal del producto cartesiano de dos R - módulos , donde el anillo subyacente R es conmutativo .

Sea R un anillo conmutativo con unidad , y sean M , N y L R - módulos .

Un emparejamiento es cualquier mapa bilineal R${\displaystyle e:M\times N\to L}$. Es decir, satisface

${\displaystyle e(r\cdot m,n)=e(m,r\cdot n)=r\cdot e(m,n)}$,

${\displaystyle e(m_{1}+m_{2},n)=e(m_{1},n)+e(m_{2},n)}$y${\ Displaystyle e (m, n_ {1} + n_ {2}) = e (m, n_ {1}) + e (m, n_ {2})}$

para cualquier${\displaystyle r\in R}$y cualquier${\displaystyle m,m_{1},m_{2}\in M}$y cualquier${\displaystyle n,n_{1},n_{2}\in N}$De forma equivalente, un emparejamiento es un mapa lineal R.

${\displaystyle M\otimes _{R}N\to L}$

dónde${\displaystyle M\otimes _{R}N}$denota el producto tensorial de M y N.

Un emparejamiento también puede considerarse como un mapa lineal R.${\displaystyle \Phi :M\to \operatorname {Hom} _{R}(N,L)}$, que coincide con la primera definición al establecer ${\displaystyle \Phi (m)(n):=e(m,n)}$.

Se dice que un emparejamiento es perfecto si el mapa anterior${\displaystyle \Phi }$es un isomorfismo de R- módulos y el otro mapa de evaluación${\displaystyle \Phi '\colon N\to \operatorname {Hom} _{R}(M,L)}$es también un isomorfismo. En casos agradables, basta con que solo uno de ellos sea un isomorfismo, por ejemplo, cuando R es un cuerpo, M,N son espacios vectoriales de dimensión finita y L=R .

Un emparejamiento se denomina no degenerado por la derecha si para el mapa anterior tenemos que${\displaystyle e(m,n)=0}$a pesar de${\displaystyle m}$implica${\displaystyle n=0}$; similarmente,${\displaystyle e}$se denomina no degenerado por la izquierda si${\displaystyle e(m,n)=0}$a pesar de${\displaystyle n}$implica${\displaystyle m=0}$.

Cuando${\displaystyle N=M}$, un emparejamiento se denomina simétrico si${\displaystyle e(m,n)=e(n,m)}$para todo m , n y alternando si${\displaystyle e(m,m)=0}$para todo m . En particular, esto implica${\displaystyle e(m+n,m+n)=0}$, mientras que la bilinealidad muestra${\displaystyle e(m+n,m+n)=e(m,m)+e(m,n)+e(n,m)+e(n,n)=e(m,n)+e(n,m)}$. Por lo tanto, para un emparejamiento alterno,${\displaystyle e(m,n)=-e(n,m)}$.

Para un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre un campo${\displaystyle k}$, un emparejamiento${\displaystyle V\times V\to k}$También se denomina forma bilineal . Algunos ejemplos incluyen cualquier producto escalar en un espacio vectorial real V , o la aplicación determinante (matrices de 2 × 2 sobre k ) → k cuando se considera como un emparejamiento.${\displaystyle k^{2}\times k^{2}\to k}$.

Para el módulo doble${\displaystyle M^{*}}$de${\displaystyle M}$, el mapa de evaluación${\displaystyle M^{*}\times M\to R}$,${\displaystyle (\lambda ,m)\mapsto \lambda (m)}$Se le conoce como la pareja natural.

Otros ejemplos de emparejamientos aparecen en diversas teorías de la dualidad , como la dualidad de Serre o la dualidad de Poincaré . Véase también Sistema dual .

Otro ejemplo es el producto de Yoneda entre grupos Ext .

El mapa de Hopf${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$escrito como${\displaystyle h:S^{2}\times S^{2}\to S^{2}}$es un ejemplo de emparejamiento. Por ejemplo, Hardie et al. ^{[ 1 ]} presentan una construcción explícita del mapa utilizando modelos de conjuntos parcialmente ordenados.

En criptografía , a menudo se utiliza la siguiente definición especializada: ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle \textstyle G_ {1}, G_ {2}}$ser grupos aditivos y${\displaystyle \textstyle G_{T}}$un grupo multiplicativo , todos de orden primo${\displaystyle \textstyle p}$. Dejar${\displaystyle \textstyle P\en G_{1},Q\en G_{2}}$ser generadores de${\displaystyle \textstyle G_ {1}}$y${\displaystyle \textstyle G_ {2}}$respectivamente.

Un emparejamiento es un mapa:${\displaystyle e:G_{1}\times G_{2}\rightarrow G_{T}}$

para lo cual se cumple lo siguiente:

1. Bilinealidad :${\displaystyle \textstyle \forall a,b\in \mathbb {Z}$ :\ e\left(aP,bQ\right)=e\left(P,Q\right)^{ab}}
2. No degeneración :${\displaystyle \textstyle e\left(P,Q\right)\neq 1}$
3. Para fines prácticos,${\displaystyle \textstyle e}$debe poder calcularse de manera eficiente.

Cabe señalar que también es común en la literatura criptográfica que todos los grupos se escriban en notación multiplicativa.

En los casos en que${\displaystyle \textstyle G_{1}=G_{2}=G}$, el emparejamiento se denomina simétrico. Como${\displaystyle \textstyle G}$es cíclico , el mapa${\displaystyle e}$será conmutativo ; es decir, para cualquier${\displaystyle P,Q\in G}$, tenemos${\displaystyle e(P,Q)=e(Q,P)}$Esto se debe a que para un generador${\displaystyle g\in G}$, existen números enteros${\displaystyle p}$,${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle P=g^{p}}$y${\displaystyle Q=g^{q}}$. Por lo tanto${\displaystyle e(P,Q)=e(g^{p},g^{q})=e(g,g)^{pq}=e(g^{q},g^{p})=e(Q,P)}$.

El emparejamiento de Weil es un concepto importante en la criptografía de curvas elípticas ; por ejemplo, puede utilizarse para atacar ciertas curvas elípticas (véase el ataque MOV ). Este y otros emparejamientos se han utilizado para desarrollar esquemas de cifrado basados ​​en la identidad .

Los productos escalares en espacios vectoriales complejos a veces se denominan emparejamientos, aunque no son bilineales. Por ejemplo, en la teoría de representaciones , se tiene un producto escalar sobre los caracteres de representaciones complejas de un grupo finito que frecuentemente se denomina emparejamiento de caracteres .

• La biblioteca criptográfica basada en emparejamientos