Poder perfecto

En matemáticas , una potencia perfecta es un número natural que es producto de factores naturales iguales, o, dicho de otro modo, un entero que puede expresarse como un cuadrado o como una potencia entera mayor que uno. Formalmente, n es una potencia perfecta si existen números naturales m > 1 y k > 1 tales que m ^k = n . En este caso, n se denomina potencia perfecta k -ésima . Si k = 2 o k = 3, entonces n se denomina cuadrado perfecto o cubo perfecto , respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0 ^k = 0 para cualquier k > 0, 1 ^k = 1 para cualquier k ).

Se puede generar una secuencia de potencias perfectas iterando a través de los posibles valores de m y k . Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (mostrando potencias duplicadas) son (secuencia A072103 en la OEIS ) :

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluyendo duplicados como 3 ⁴ y 9 ² , ambos iguales a 81) es 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

lo cual puede demostrarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

Los primeros poderes perfectos sin duplicados son:

(a veces 0 y 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (secuencia A001597 en el OEIS )

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

donde μ ( k ) es la función de Möbius y ζ ( k ) es la función zeta de Riemann .

Según Euler , Goldbach demostró (en una carta ahora perdida) que la suma de ⁠ 1 / p − 1 ⁠ sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Esto se conoce a veces como el teorema de Goldbach-Euler .

Detectar si un número natural dado n es una potencia perfecta o no se puede lograr de muchas maneras diferentes, con distintos niveles de complejidad . Uno de los métodos más simples consiste en considerar todos los valores posibles de k en cada uno de los divisores de n , hasta${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$. Entonces, si los divisores de${\displaystyle n}$son${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$entonces uno de los valores${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$debe ser igual a n si n es efectivamente una potencia perfecta.

Este método se puede simplificar inmediatamente considerando solo valores primos de k . Esto se debe a que si${\displaystyle n=m^{k}}$para un compuesto${\displaystyle k=ap}$donde p es primo, entonces esto se puede reescribir simplemente como${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.

Si se conoce la factorización completa de n , por ejemplo${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$donde el${\displaystyle p_{i}}$son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$donde mcd denota el máximo común divisor . Como ejemplo, consideremos n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴ . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, n es una potencia perfecta de 12 (y una potencia perfecta de 6, 4, cubo y cuadrado, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12).

En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 2 ³ = 8 y 3 ² = 9, demostrando así la conjetura de Catalan .

La conjetura de Pillai afirma que para cualquier entero positivo k dado, solo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k . Este es un problema sin resolver. ^{[ 2 ]}

• Poder principal

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detección de potencias perfectas en tiempo esencialmente lineal" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 67 (223): 1253– 1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader y Jaume Paradís, Sobre una serie de Goldbach y Euler, 2004 (Pdf)