Mapeo de períodos

En matemáticas , en el campo de la geometría algebraica , la aplicación de periodos relaciona familias de variedades de Kähler con familias de estructuras de Hodge .

Sea f  : X → B un morfismo sumergido holomorfo. Para un punto b de B , denotamos la fibra de f sobre b por X _b . Fijemos un punto 0 en B . El teorema de Ehresmann garantiza que existe un pequeño entorno abierto U alrededor de 0 en el que f se convierte en un fibrado . Es decir, f ^{− 1} ( U ) es difeomorfo a X ₀ × U . En particular, el mapa compuesto

${\displaystyle X_{b}\hookrightarrow f^{-1}(U)\cong X_{0}\times U\twoheadrightarrow X_{0}}$

es un difeomorfismo. Este difeomorfismo no es único porque depende de la elección de la trivialización. La trivialización se construye a partir de caminos suaves en U , y se puede demostrar que la clase de homotopía del difeomorfismo depende únicamente de la elección de una clase de homotopía de caminos de b a 0. En particular, si U es contraíble, existe un difeomorfismo bien definido salvo homotopía.

El difeomorfismo de X _b a X ₀ induce un isomorfismo de grupos de cohomología.

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{b}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0}\times U,\mathbf {Z} )\cong H^{k}(X_{0},\mathbf {Z} ),}$

y dado que los mapas homotópicos inducen mapas idénticos en cohomología, este isomorfismo depende solo de la clase de homotopía del camino de b a 0.

Supongamos que f es propia y que X ₀ es una variedad de Kähler. La condición de Kähler es abierta, por lo que, tras una posible contracción de U , X _b es compacto y de Kähler para todo b en U. Tras una mayor contracción de U , podemos suponer que es contraíble. Entonces existe un isomorfismo bien definido entre los grupos de cohomología de X ₀ y X _b . Estos isomorfismos de grupos de cohomología no preservarán, en general, las estructuras de Hodge de X ₀ y X _b porque están inducidos por difeomorfismos, no por biholomorfismos . Sea F ^p H ^k ( X _b , C ) el p -ésimo paso de la filtración de Hodge . Los números de Hodge de X _b son los mismos que los de X ₀ , ^{[ 1 ]} por lo que el número b _{p , k} = dim F ^p H ^k ( X _b , C ) es independiente de b . El mapa de periodos es el mapa

${\displaystyle {\mathcal {P}}:U\rightarrow F=F_{b_{1,k},\ldots ,b_{k,k}}(H^{k}(X_{0},\mathbf {C} )),}$

donde F es la variedad de banderas de cadenas de subespacios de dimensiones b _{p , k} para todo p , que envía

${\displaystyle b\mapsto (F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} ))_{p}.}$

Debido a que X _b es una variedad de Kähler, la filtración de Hodge satisface las relaciones bilineales de Hodge-Riemann . Estas implican que

${\displaystyle H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )=F^{p}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )\oplus {\overline {F^{k-p+1}H^{k}(X_{b},\mathbf {C} )}}.}$

No todas las banderas de los subespacios satisfacen esta condición. El subconjunto de la variedad de banderas que satisface esta condición se llama dominio de período local no polarizado y se denota${\displaystyle {\mathcal {D}}}$. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$es un subconjunto abierto de la variedad de banderas F.

Supongamos ahora no solo que cada X _b es de Kähler, sino que existe una clase de Kähler que varía holomorfamente en b . En otras palabras, supongamos que existe una clase ω en H ² ( X , Z ) tal que para cada b , la restricción ω _b de ω a X _b es una clase de Kähler. ω _b determina una forma bilineal Q en H ^k ( X _b , C ) mediante la regla

${\displaystyle Q(\xi ,\eta )=\int \omega _{b}^{nk}\wedge \xi \wedge \eta .}$

Esta forma varía holomorfamente en b y, en consecuencia, la imagen del mapeo periódico satisface restricciones adicionales que, a su vez, provienen de las relaciones bilineales de Hodge - Riemann. Estas son:

1. Ortogonalidad : F ^p H ^k ( X _b , C ) es ortogonal a F ^{k − p + 1} H ^k ( X _b , C ) con respecto a Q .
2. Definición positiva : Para todo p + q = k , la restricción de${\displaystyle \textstyle (-1)^{k(k-1)/2}i^{pq}Q}$para las clases primitivas de tipo ( p , q ) es definida positiva.

El dominio del periodo local polarizado es el subconjunto del dominio del periodo local no polarizado cuyas banderas satisfacen estas condiciones adicionales. La primera condición es cerrada y la segunda es abierta; por consiguiente, el dominio del periodo local polarizado es un subconjunto localmente cerrado del dominio del periodo local no polarizado y de la variedad de banderas F. La función de mapeo del periodo se define de la misma manera que antes.

El dominio del período local polarizado y el mapeo del período polarizado todavía se denotan${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, respectivamente.

Centrarse únicamente en las aplicaciones de periodo local ignora la información presente en la topología del espacio base B. Las aplicaciones de periodo global se construyen de manera que esta información siga estando disponible. La dificultad en la construcción de aplicaciones de periodo global proviene de la monodromía de B : ya no hay una única clase de homotopía de difeomorfismos que relacione las fibras X _b y X ₀ . En cambio, distintas clases de homotopía de caminos en B inducen posiblemente distintas clases de homotopía de difeomorfismos y, por lo tanto, posiblemente distintos isomorfismos de grupos de cohomología. En consecuencia, ya no hay una bandera bien definida para cada fibra. En cambio, la bandera se define solo hasta la acción del grupo fundamental .

En el caso no polarizado, definimos el grupo de monodromía Γ como el subgrupo de GL( H ^k ( X ₀ , Z )) que consta de todos los automorfismos inducidos por una clase de homotopía de curvas en B como se indicó anteriormente. La variedad de banderas es un cociente de un grupo de Lie por un subgrupo parabólico, y el grupo de monodromía es un subgrupo aritmético del grupo de Lie. El dominio de periodo no polarizado global es el cociente del dominio de periodo no polarizado local por la acción de Γ (es, por lo tanto, una colección de clases laterales dobles ). En el caso polarizado, se requiere que los elementos del grupo de monodromía también preserven la forma bilineal Q , y el dominio de periodo polarizado global se construye como un cociente por Γ de la misma manera. En ambos casos, el mapeo de periodo lleva un punto de B a la clase de la filtración de Hodge en X _b .

Griffiths demostró que el mapa de periodos es holomorfo. Su teorema de transversalidad limita el rango del mapa de periodos.

La filtración de Hodge se puede expresar en coordenadas usando matrices de periodos. Elija una base δ ₁ , ..., δ _r para la parte libre de torsión del k -ésimo grupo de homología integral H _k ( X , Z ) . Fije p y q con p + q = k , y elija una base ω ₁ , ..., ω _s para las formas armónicas de tipo ( p , q ) . La matriz de periodos de X ₀ con respecto a estas bases es la matriz

${\displaystyle \Omega ={\Big (}\int _{\delta _{i}}\omega _{j}{\Big )}_{1\leq i\leq r,1\leq j\leq s}.}$

Las entradas de la matriz de periodos dependen de la elección de la base y de la estructura compleja. Los δ pueden variar mediante la elección de una matriz Λ en SL( r , Z ) , y los ω pueden variar mediante la elección de una matriz A en GL( s , C ) . Una matriz de periodos es equivalente a Ω si puede escribirse como A Ω Λ para alguna elección de A y Λ .

Consideremos la familia de curvas elípticas.

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

donde λ es cualquier número complejo distinto de cero o uno. La filtración de Hodge en el primer grupo de cohomología de una curva tiene dos pasos, F ⁰ y F ¹ . Sin embargo, F ⁰ es todo el grupo de cohomología, por lo que el único término interesante de la filtración es F ¹ , que es H ^{1,0 , el espacio de} 1-formas armónicas holomorfas .

H ^1,0 es unidimensional porque la curva es elíptica y, para todo λ , está generada por la forma diferencial ω = dx / y . Para encontrar representantes explícitos del grupo de homología de la curva, observe que la curva puede representarse como la gráfica de la función multivaluada.

${\displaystyle y={\sqrt {x(x-1)(x-\lambda )}}}$

en la esfera de Riemann . Los puntos de ramificación de esta función están en cero, uno, λ e infinito. Haga dos cortes de rama, uno que va de cero a uno y el otro que va de λ a infinito. Estos agotan los puntos de ramificación de la función, por lo que cortan la función multivaluada en dos hojas univaluadas. Fije un ε > 0 pequeño . En una de estas hojas, trace la curva γ ( t ) = 1/2 + (1/2 + ε )exp(2 π i t ) . Para ε suficientemente pequeño, esta curva rodea el corte de rama [0, 1] y no se encuentra con el corte de rama [ λ , ∞ ] . Ahora tracemos otra curva δ ( t ) que comienza en una hoja como δ ( t ) = 1 + 2( λ − 1) t para 0 ≤ t ≤ 1/2 y continúa en la otra hoja como δ ( t ) = λ + 2(1 − λ )( t − 1/2) para 1/2 ≤ t ≤ 1. Cada mitad de esta curva conecta los puntos 1 y λ en las dos hojas de la superficie de Riemann . Según el teorema de Seifert-van Kampen , el grupo de homología de la curva es libre de rango dos. Debido a que las curvas se encuentran en un solo punto, 1 + ε , ninguna de sus clases de homología es un múltiplo propio de alguna otra clase de homología, y por lo tanto forman una base de H1 . La matriz de periodos para esta familia es, por lo tanto _,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\int _{\gamma }\omega \\\int _{\delta }\omega \end{pmatrix}}.}$

La primera entrada de esta matriz la abreviaremos como A , y la segunda como B.

La forma bilineal √ − 1 Q es definida positiva porque localmente, siempre podemos escribir ω como f dz , por lo tanto

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}\omega \wedge {\bar {\omega }}={\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}|f|^{2}\,dz\wedge d{\bar {z}}>0.}$

Por dualidad de Poincaré , γ y δ corresponden a las clases de cohomología γ ^* y δ ^* que juntas forman una base para H ¹ ( X ₀ , Z ) . De ello se deduce que ω puede escribirse como una combinación lineal de γ ^* y δ ^* . Los coeficientes se obtienen evaluando ω con respecto a los elementos de la base dual γ y δ :

${\displaystyle \omega =A\gamma ^{*}+B\delta ^{*}.}$

Cuando reescribimos la definición positiva de Q en estos términos, tenemos

${\displaystyle {\sqrt {-1}}\int _{X_{0}}A{\bar {B}}\gamma ^{*}\wedge {\bar {\delta }}^{*}+{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*}=\int _{X_{0}}\operatorname {Im} \,(2{\bar {A}}B{\bar {\gamma }}^{*}\wedge \delta ^{*})>0}$

Dado que γ ^* y δ ^* son enteros, no cambian bajo conjugación. Además, como γ y δ se intersecan en un solo punto y un solo punto es un generador de H ₀ , el producto de copa de γ ^* y δ ^* es la clase fundamental de X ₀ . En consecuencia, esta integral es igual a${\displaystyle \operatorname {Im} \,2{\bar {A}}B}$La integral es estrictamente positiva, por lo que ni A ni B pueden ser cero.

Tras reescalar ω , podemos suponer que la matriz de periodos es igual a (1 τ ) para algún número complejo τ con parte imaginaria estrictamente positiva. Esto elimina la ambigüedad derivada de la acción GL(1, C ) . La acción de SL(2, Z ) es entonces la acción usual del grupo modular sobre el semiplano superior . En consecuencia, el dominio de periodos es la esfera de Riemann. Esta es la parametrización usual de una curva elíptica como una red.

• teoría de Hodge
• variedad jacobita
• Grupo modular

• Mapeo de periodos en la Enciclopedia de Matemáticas