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Articulo de referencia

Capacidad

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La capacitancia es la capacidad de un objeto para almacenar carga eléctrica . Se mide por el cambio en la carga en respuesta a una diferencia en el potencial eléctrico , expresado como la relación de esas cantidades. Comúnmente se reconocen dos nociones estrechamente relacionadas de capacitancia: la autocapacitancia y la capacitancia mutua . [ 1 ] : 237–238 Un objeto que puede cargarse eléctricamente exhibe autocapacitancia, para la cual el potencial eléctrico se mide entre el objeto y tierra. La capacitancia mutua se mide entre dos componentes y es particularmente importante en el funcionamiento del capacitor , un componente electrónico lineal elemental diseñado para agregar capacitancia a un circuito eléctrico .

La capacitancia entre dos conductores depende de la superficie de contacto de los conductores, la distancia entre ellos y la permitividad del material dieléctrico intermedio . Para muchos materiales dieléctricos, la permitividad, y por lo tanto la capacitancia, es independiente de la diferencia de potencial entre los conductores y de la carga total que contienen.

La unidad del SI de capacitancia es el faradio (símbolo: F), llamado así en honor al físico inglés Michael Faraday . [ 2 ] Un condensador de 1 faradio, cuando se carga con 1 culombio de carga eléctrica, tiene una diferencia de potencial de 1 voltio entre sus placas. [ 3 ] El recíproco de la capacitancia se llama elastancia .

Autocapacidad

Al hablar de circuitos eléctricos, el término capacitancia suele referirse a la capacitancia mutua entre dos conductores adyacentes, como las placas de un condensador. Sin embargo, todo conductor aislado también presenta capacitancia, denominada aquí autocapacitancia . Esta se mide por la cantidad de carga eléctrica que debe añadirse a un conductor aislado para elevar su potencial eléctrico en una unidad de medida, por ejemplo, un voltio . [ 4 ] El punto de referencia para este potencial es una esfera conductora hueca teórica, de radio infinito, con el conductor centrado en su interior.

La autocapacitancia de un conductor se define por la relación entre la carga y el potencial eléctrico: do=qV,{\displaystyle C={\frac {q}{V}},} dónde

  • q{\textstyle q}es el cargo sostenido,
  • V=14πε0∫σrdS{\textstyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\sigma }{r}}\,dS}es el potencial eléctrico,
  • σ{\textstyle \sigma }es la densidad de carga superficial,
  • dS{\textstyle dS}es un elemento infinitesimal de área en la superficie del conductor, sobre el cual se integra la densidad de carga superficial,
  • r{\textstyle r}es la longitud desdedS{\textstyle dS}a un punto fijo M en el conductor,
  • ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}}es la permitividad del vacío .

Utilizando este método, la autocapacitancia de una esfera conductora de radioR{\textstyle R}en el espacio libre (es decir, lejos de cualquier otra distribución de carga) es: [ 2 ]do=4πε0R.{\displaystyle C=4\pi \varepsilon _ {0}R.}

Ejemplos de valores de autocapacidad son:

La capacitancia entre espiras de una bobina se denomina a veces autocapacitancia, [ 6 ] pero se trata de un fenómeno distinto. En realidad, es la capacitancia mutua entre las espiras individuales de la bobina y constituye una forma de capacitancia parásita o residual . Esta autocapacitancia es un factor importante a considerar a altas frecuencias: modifica la impedancia de la bobina y da lugar a resonancia paralela . En muchas aplicaciones, este efecto resulta indeseable y establece un límite de frecuencia superior para el correcto funcionamiento del circuito.

Capacitancia mutua

Un ejemplo común es el condensador de placas paralelas , que consta de dos placas conductoras aisladas entre sí, generalmente intercaladas con un material dieléctrico . En un condensador de placas paralelas, la capacitancia es casi proporcional a la superficie de las placas conductoras e inversamente proporcional a la distancia que las separa.

Si las cargas en las placas son+q{\textstyle +q}y−q{\textstyle -q}, yV{\textstyle V}da el voltaje entre las placas, luego la capacitanciado{\textstyle C}es dado pordo=qV,{\displaystyle C={\frac {q}{V}},}lo que da como resultado la relación voltaje/ corriente.i(t)=dodv(t)dt+Vddodt,{\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}}+V{\frac {dC}{dt}},} dóndedv(t)dt{\textstyle {\frac {dv(t)}{dt}}}es la tasa instantánea de cambio de voltaje, yddodt{\textstyle {\frac {dC}{dt}}}es la tasa de cambio instantánea de la capacitancia. Para la mayoría de las aplicaciones, el cambio de capacitancia en el tiempo es insignificante, por lo que la fórmula se reduce a: i(t)=dodv(t)dt,{\displaystyle i(t)=C{\frac {dv(t)}{dt}},}

La energía almacenada en un condensador se obtiene integrando el trabajo.W{\textstyle W}: Wcargando=12doV2.{\displaystyle W_{\text{carga}}={\frac {1}{2}}CV^{2}.}

Matriz de capacitancia

La discusión anterior se limita al caso de dos placas conductoras, aunque de tamaño y forma arbitrarios. La definicióndo=Q/V{\displaystyle C=Q/V}No se aplica cuando hay más de dos placas cargadas, o cuando la carga neta en las dos placas es distinta de cero. Para abordar este caso, James Clerk Maxwell introdujo sus coeficientes de potencial . Si se asignan cargas a tres conductores (casi ideales),Q1,Q2,Q3{\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3}}, entonces el voltaje (en realidad potencial) en el conductor 1 viene dado por V1=PAG11Q1+PAG12Q2+PAG13Q3,{\displaystyle V_{1}=P_{11}Q_{1}+P_{12}Q_{2}+P_{13}Q_{3},} y de forma similar para los demás voltajes. Hermann von Helmholtz y Sir William Thomson demostraron que los coeficientes de potencial son simétricos, de modo quePAG12=PAG21{\displaystyle P_{12}=P_{21}}, etc. Por lo tanto, el sistema puede describirse mediante un conjunto de coeficientes conocido como matriz de elasticidad , que se define como: PAGij=∂Vi∂Qj.{\displaystyle P_{ij}={\frac {\partial V_{i}}{\partial Q_{j}}}.}

De manera similar, la carga se puede escribir en términos de voltajes (en realidad, potenciales): Q1=do11V1+do12V2+do13V3,{\ Displaystyle Q_ {1} = C_ {11} V_ {1} + C_ {12} V_ {2} + C_ {13} V_ {3},} La colección de coeficientesdoij=∂Qi∂Vj{\displaystyle C_{ij}={\frac {\partial Q_{i}}{\partial V_{j}}}}se conoce como la matriz de capacitancia . [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

En sistemas abiertos que no son eléctricamente neutros, de modo que las líneas de campo pueden terminar en el infinito (que se asume implícitamente que tiene un potencial de 0 en las ecuaciones anteriores), las matrices de capacitancia y elastancia son inversas entre sí:do−1=PAG{\displaystyle C^{-1}=P}En sistemas cerrados, sin embargo, la matriz de capacitancia es singular (tiene un valor propio de 0 debido a la neutralidad de carga), por lo que formalmente la matriz de elastancia, como inversa de la matriz de capacitancia, está mal definida; requeriría variar las cargas de forma independiente. [ 8 ]

Caso 2×2 — A partir de esto, la capacitancia mutuadometro{\displaystyle C_{\text{m}}}La relación entre dos objetos se puede definir [ 10 ] resolviendo para la carga total.Q{\textstyle Q}y utilizandodometro=Q/(V1−V2){\displaystyle C_{\text{m}}=Q/(V_{1}-V_{2})}.

dometro=−do12=1(PAG11+PAG22)−(PAG12+PAG21).{\displaystyle C_{\text{m}}=-C_{12}={\frac {1}{(P_{11}+P_{22})-(P_{12}+P_{21})}}.}

Dado que ningún dispositivo real mantiene cargas perfectamente iguales y opuestas en cada una de las dos "placas", lo que se indica en los condensadores es la capacitancia mutua.

condensadores

La capacitancia de la mayoría de los capacitores utilizados en circuitos electrónicos es generalmente varios órdenes de magnitud menor que el faradio . Las unidades de capacitancia más comunes son el microfaradio (μF), el nanofaradio (nF), el picofaradio (pF) y, en microcircuitos, el femtofaradio (fF). Algunas aplicaciones también utilizan supercondensadores que pueden ser mucho mayores, hasta cientos de faradios, y los elementos capacitivos parásitos pueden ser menores que un femtofaradio. Los textos históricos utilizan otros submúltiplos obsoletos del faradio, como "mf" y "mfd" para el microfaradio (μF); "mmf", "mmfd", "pfd", "μμF" para el picofaradio (pF). [ 11 ] [ 12 ]

La capacitancia se puede calcular si se conocen la geometría de los conductores y las propiedades dieléctricas del aislante entre ellos. La capacitancia es proporcional al área de superposición e inversamente proporcional a la separación entre las láminas conductoras. Cuanto más cerca estén las láminas, mayor será la capacitancia.

Un ejemplo es la capacitancia de un capacitor construido con dos placas paralelas, ambas de área A{\textstyle A}separados por una distanciad{\textstyle d}. Sid{\textstyle d}es suficientemente pequeño con respecto a la cuerda más pequeña deA{\textstyle A}Allí se cumple, con un alto grado de precisión:  do=εAd;{\displaystyle \ C=\varepsilon {\frac {A}{d}};}ε=ε0εr,{\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _ {0}\varepsilon _ {\text{r}},} dónde

  • do{\textstyle C}es la capacitancia, en faradios;
  • A{\textstyle A}es el área de superposición de las dos placas, en metros cuadrados;
  • ε0{\textstyle \varepsilon _{0}}es la constante eléctrica (ε0≈8.854×10−12 F⋅metro−1{\textstyle \varepsilon _{0}\approx 8.854\times 10^{-12}~\mathrm {F{\cdot }m^{-1}} });
  • εr{\textstyle \varepsilon _ {\text{r}}}es la permitividad relativa (también constante dieléctrica) del material entre las placas (εr≈1{\textstyle \varepsilon _{\text{r}}\aprox 1}para el aire); y
  • d{\textstyle d}es la separación entre las placas, en metros.

La ecuación es una buena aproximación si d es pequeño en comparación con las otras dimensiones de las placas, de modo que el campo eléctrico en el área del capacitor sea uniforme y el llamado campo de borde alrededor de la periferia proporcione solo una pequeña contribución a la capacitancia.

Combinando la ecuación de capacitancia con la ecuación anterior para la energía almacenada en un capacitor, para un capacitor de placa plana la energía almacenada es: Walmacenado=12doV2=12εAdV2.{\displaystyle W_{\text{almacenado}}={\frac {1}{2}}CV^{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon {\frac {A}{d}}V^{2}.} dóndeW{\textstyle W}es la energía, en julios;do{\textstyle C}es la capacitancia, en faradios; yV{\textstyle V}es el voltaje, en voltios.

capacitancia parásita

Dos conductores adyacentes pueden funcionar como un capacitor, aunque la capacitancia es pequeña a menos que estén muy cerca unos de otros o abarquen una gran área. Esta capacitancia (a menudo no deseada) se denomina capacitancia parásita o dispersa. La capacitancia dispersa puede permitir que las señales se filtren entre circuitos que, de otro modo, estarían aislados (un efecto llamado diafonía ), y puede ser un factor limitante para el correcto funcionamiento de los circuitos a alta frecuencia .

La capacitancia parásita entre la entrada y la salida en los circuitos amplificadores puede ser problemática porque puede formar una ruta de retroalimentación , lo que puede causar inestabilidad y oscilación parásita en el amplificador. A menudo, para fines analíticos, es conveniente reemplazar esta capacitancia con una combinación de una capacitancia de entrada a tierra y una capacitancia de salida a tierra; la configuración original, que incluye la capacitancia de entrada a salida, se conoce como configuración pi. El teorema de Miller se puede utilizar para realizar este reemplazo: establece que, si la relación de ganancia de dos nodos es 1 /K, entonces una impedancia Z que conecta los dos nodos se puede reemplazar con una impedancia Z / 1 - K entre el primer nodo y tierra y una impedancia KZ / K - 1 entre el segundo nodo y tierra . Dado que la impedancia varía inversamente con la capacitancia, la capacitancia entre nodos, C , se reemplaza por una capacitancia de KC entre la entrada y tierra, y una capacitancia de ( K − 1 ) C / K entre la salida y tierra. Cuando la ganancia de entrada a salida es muy grande, la impedancia equivalente de entrada a tierra es muy pequeña , mientras que la impedancia de salida a tierra es esencialmente igual a la impedancia original (de entrada a salida).      

Capacitancia de conductores con formas simples

Calcular la capacitancia de un sistema equivale a resolver la ecuación de Laplace.∇2φ=0{\textstyle \nabla ^{2}\varphi =0}con un potencial constanteφ{\textstyle \varphi }en la superficie bidimensional de los conductores incrustados en el espacio tridimensional. Esto se simplifica mediante simetrías. En casos más complejos, no existe una solución en términos de funciones elementales.

Para situaciones planas, se pueden utilizar funciones analíticas para relacionar diferentes geometrías entre sí. Véase también la transformación de Schwarz-Christoffel .

Almacenamiento de energía

La energía (medida en julios ) almacenada en un condensador es igual al trabajo necesario para introducir las cargas en él, es decir, para cargarlo. Consideremos un condensador de capacitancia C , que contiene una carga + q en una placa y −q en la otra. Mover un pequeño elemento de carga dq de una placa a la otra contra la diferencia de potencial V = q / C requiere el trabajo dW : dW=qdodq,{\displaystyle \mathrm {d} W={\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,} donde W es el trabajo medido en julios, q es la carga medida en culombios y C es la capacitancia, medida en faradios.

La energía almacenada en un capacitor se encuentra integrando esta ecuación. Partiendo de una capacitancia descargada ( q = 0 ) y moviendo carga de una placa a la otra hasta que las placas tengan carga + Q y −Q se requiere el trabajo W : Wcargando=∫0Qqdodq=12Q2do=12QV=12doV2=Walmacenado.{\displaystyle W_{\text{charging}}=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C}}={\frac {1}{2}}QV={\frac {1}{2}}CV^{2}=W_{\text{stored}}.}

Sistemas a nanoescala

La capacitancia de los capacitores dieléctricos a nanoescala, como los puntos cuánticos, puede diferir de la de los capacitores convencionales de mayor tamaño. En particular, la diferencia de potencial electrostático que experimentan los electrones en los capacitores convencionales está bien definida espacialmente y determinada por la forma y el tamaño de los electrodos metálicos, además del elevado número de electrones presentes. En los capacitores a nanoescala, sin embargo, los potenciales electrostáticos que experimentan los electrones están determinados por el número y la ubicación de todos los electrones que contribuyen a las propiedades electrónicas del dispositivo. En estos dispositivos, el número de electrones puede ser muy pequeño, por lo que la distribución espacial resultante de las superficies equipotenciales dentro del dispositivo es extremadamente compleja.

Dispositivos de un solo electrón

La capacitancia de un dispositivo de un solo electrón conectado, o "cerrado", es el doble de la capacitancia de un dispositivo de un solo electrón desconectado, o "abierto". [ 23 ] Este hecho puede atribuirse de manera más fundamental a la energía almacenada en el dispositivo de un solo electrón, cuya energía de interacción de "polarización directa" puede dividirse equitativamente entre la interacción del electrón con la carga polarizada en el propio dispositivo debido a la presencia del electrón y la cantidad de energía potencial requerida para formar la carga polarizada en el dispositivo (la interacción de las cargas en el material dieléctrico del dispositivo con el potencial debido al electrón). [ 24 ]

dispositivos de pocos electrones

La derivación de una "capacitancia cuántica" de un dispositivo de pocos electrones implica el potencial químico termodinámico de un sistema de N partículas dado porμ(norte)=U(norte)−U(norte−1),{\displaystyle \mu (N)=U(N)-U(N-1),}

cuyos términos de energía pueden obtenerse como soluciones de la ecuación de Schrödinger . La definición de capacitancia, 1do≡ΔVΔQ,{\displaystyle {1 \over C}\equiv {\Delta V \over \Delta Q},} con la diferencia potencial ΔV=Δμmi=μ(norte+Δnorte)−μ(norte)mi{\displaystyle \Delta V={\Delta \mu \, \over e}={\mu (N+\Delta N)-\mu (N) \over e}}

puede aplicarse al dispositivo con la adición o eliminación de electrones individuales, Δnorte=1{\displaystyle \Delta N=1}yΔQ=mi.{\displaystyle \Delta Q=e.}

La "capacitancia cuántica" del dispositivo es entonces [ 25 ]doQ(norte)=mi2μ(norte+1)−μ(norte)=mi2mi(norte).{\displaystyle C_{Q}(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{E(N)}}.}

Esta expresión de "capacitancia cuántica" puede escribirse como doQ(norte)=mi2U(norte),{\displaystyle C_{Q}(N)={e^{2} \over U(N)},} que difiere de la expresión convencional descrita en la introducción dondeWalmacenado=U{\displaystyle W_{\text{stored}}=U}, la energía potencial electrostática almacenada, do=Q22U,{\displaystyle C={Q^{2} \over 2U},}por un factor de 1/2 con​Q=nortemi{\displaystyle Q=Ne}.

Sin embargo, dentro del marco de las interacciones electrostáticas puramente clásicas, la aparición del factor de 1/2 es el resultado de la integración en la formulación convencional que involucra el trabajo realizado al cargar un capacitor, Wcargando=U=∫0Qqdodq,{\displaystyle W_{\text{charging}}=U=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}\,\mathrm {d} q,}

lo cual es apropiado ya quedq=0{\displaystyle \mathrm {d} q=0}para sistemas que involucran muchos electrones o electrodos metálicos, pero en sistemas de pocos electrones,dq→ΔQ=mi{\displaystyle \mathrm {d} q\to \Delta \,Q=e}La integral generalmente se convierte en una sumatoria. Se pueden combinar trivialmente las expresiones de capacitancia. Q=doV{\displaystyle Q=CV} y energía de interacción electrostática, U=QV,{\displaystyle U=QV,} para obtener do=Q1V=QQU=Q2U,{\displaystyle C=Q{1 \over V}=Q{Q \over U}={Q^{2} \over U},} lo cual es similar a la capacitancia cuántica. En la literatura se informa una derivación más rigurosa. [ 26 ] En particular, para sortear los desafíos matemáticos de las superficies equipotenciales espacialmente complejas dentro del dispositivo, se utiliza un potencial electrostático promedio experimentado por cada electrón en la derivación.

Las aparentes diferencias matemáticas pueden entenderse de manera más fundamental. La energía potencial,U(norte){\displaystyle U(N)}La capacitancia propia de un dispositivo aislado es el doble de la almacenada en un dispositivo "conectado" en el límite inferior.norte=1{\displaystyle N=1}. Comonorte{\displaystyle N}crece mucho,U(norte)→U{\displaystyle U(N)\to U}. [ 24 ] Por lo tanto, la expresión general de capacitancia es do(norte)=(nortemi)2U(norte).{\displaystyle C(N)={(Ne)^{2} \over U(N)}.}

En dispositivos a nanoescala, como los puntos cuánticos, el condensador suele ser un componente aislado o parcialmente aislado dentro del dispositivo. Las principales diferencias entre los condensadores a nanoescala y los condensadores macroscópicos (convencionales) radican en la cantidad de electrones en exceso (portadores de carga, o electrones, que contribuyen al comportamiento electrónico del dispositivo) y en la forma y el tamaño de los electrodos metálicos. En los dispositivos a nanoescala, los nanocables formados por átomos metálicos generalmente no presentan las mismas propiedades conductoras que sus contrapartes macroscópicas o de material a granel.

Capacitancia en dispositivos electrónicos y semiconductores

En los dispositivos electrónicos y semiconductores, la corriente transitoria o dependiente de la frecuencia entre terminales contiene componentes tanto de conducción como de desplazamiento. La corriente de conducción está relacionada con los portadores de carga en movimiento (electrones, huecos, iones, etc.), mientras que la corriente de desplazamiento es causada por un campo eléctrico variable en el tiempo. El transporte de portadores se ve afectado por campos eléctricos y por una serie de fenómenos físicos, como la deriva y difusión de portadores, el atrapamiento, la inyección, los efectos relacionados con el contacto, la ionización por impacto, etc. Como resultado, la admitancia del dispositivo depende de la frecuencia y una fórmula electrostática simple para la capacitanciado=q/V,{\displaystyle C=q/V,}no es aplicable. Una definición más general de capacitancia, que abarca la fórmula electrostática, es: [ 27 ]do=Soy⁡(Y(ω))ω,{\displaystyle C={\frac {\operatorname {Im} (Y(\omega ))}{\omega }},} dóndeY(ω){\displaystyle Y(\omega )}es la admitancia del dispositivo, yω{\displaystyle \omega }es la frecuencia angular.

En general, la capacitancia es función de la frecuencia. A altas frecuencias, la capacitancia se aproxima a un valor constante, igual a la capacitancia "geométrica", determinada por la geometría de los terminales y el contenido dieléctrico del dispositivo. Un artículo de Steven Laux [ 27 ] presenta una revisión de las técnicas numéricas para el cálculo de la capacitancia. En particular, la capacitancia se puede calcular mediante la transformada de Fourier de una corriente transitoria en respuesta a una excitación de voltaje escalonada: do(ω)=1ΔV∫0∞[i(t)−i(∞)]porque⁡(ωt)dt.{\displaystyle C(\omega )={\frac {1}{\Delta V}}\int _{0}^{\infty }[i(t)-i(\infty )]\cos(\omega t)dt.}

Capacitancia negativa en dispositivos semiconductores

Generalmente, la capacitancia en los dispositivos semiconductores es positiva. Sin embargo, en algunos dispositivos y bajo ciertas condiciones (temperatura, voltajes aplicados, frecuencia, etc.), la capacitancia puede volverse negativa. Se ha propuesto que el comportamiento no monótono de la corriente transitoria en respuesta a una excitación escalonada es el mecanismo de la capacitancia negativa. [ 28 ] La capacitancia negativa se ha demostrado y explorado en muchos tipos diferentes de dispositivos semiconductores. [ 29 ]

Medición de capacitancia

Un medidor de capacitancia es un equipo de prueba electrónico que se utiliza para medir la capacitancia, principalmente de condensadores discretos . Para la mayoría de los fines y en la mayoría de los casos, el condensador debe estar desconectado del circuito .

Muchos voltímetros digitales (DVM ) cuentan con una función de medición de capacitancia. Generalmente, funcionan cargando y descargando el condensador bajo prueba con una corriente conocida y midiendo la velocidad de aumento de la tensión resultante ; cuanto menor sea la velocidad de aumento, mayor será la capacitancia. Los DVM suelen medir capacitancias desde nanofaradios hasta unos cientos de microfaradios, aunque no es raro encontrar rangos más amplios. También es posible medir la capacitancia haciendo pasar una corriente alterna de alta frecuencia conocida a través del dispositivo bajo prueba y midiendo la tensión resultante (este método no funciona con condensadores polarizados).

Un puente de capacitancia

Los instrumentos más sofisticados emplean otras técnicas, como insertar el condensador bajo prueba en un circuito puente . Al variar los valores de las demás ramas del puente (para equilibrarlo), se determina el valor del condensador desconocido. Este método indirecto de medición de capacitancia garantiza una mayor precisión. Mediante el uso de conexiones Kelvin y otras técnicas de diseño cuidadosas, estos instrumentos suelen poder medir capacitancias en un rango que va desde picofaradios hasta faradios.

Véase también

Referencias

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  29. ↑ Ershov, M.; Liu, HC; Li, L.; Buchanan, M.; Wasilewski, ZR; Jonscher, AK (octubre de 1998). "Efecto de capacitancia negativa en dispositivos semiconductores". Traducción IEEE. Dispositivos electrónicos . 45 (10): 2196–2206 . arXiv : cond-mat/9806145 . Código Bib : 1998ITED...45.2196E . doi : 10.1109/16.725254 . S2CID 204925581 . 

Lecturas adicionales

  • Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: Vol. 2: Electricidad y magnetismo, luz (4.ª ed.). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6
  • Serway, Raymond; Jewett, John (2003). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40842-7
  • Saslow, Wayne M. (2002). Electricidad, magnetismo y luz . Thomson Learning. ISBN 0-12-619455-6Consulte el capítulo 8, y especialmente las páginas  255-259, para obtener los coeficientes de potencial.
  • Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con la capacitancia en Wikimedia Commons
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